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专题21 实际应用之区间端点最值
例
1．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？
(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
对应练习：
2．某景区商店销售一种进价为18元/件的纪念品，销售过程中发现，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系为．已知销售单价不低于进价，且不高于30元．设商店每月销售该纪念品获得的利润为w（单位：元）．
(1)求利润w与销售单价x之间的函数解析式以及销售单价x的取值范围．
(2)当销售单价定为多少元时，该商店每月销售该纪念品可获得最大利润？最大利润是多少？
（2024秋 鹿城区期中）
3．国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式 ．
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）
（2024秋 崇川区期中）
4．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】
销售单价x（元）
日销售量y（件）
日销售利润w（元）
(1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式；
(2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ；
②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值．
（2024秋 南川区期中）
5．某服装商场购进一批恤，每件进价40元，当销售单价为44元时，每天的销量是72件．在销售中发现该恤销售单价每上涨1元时，销售量将减少2件．出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元且不得高于60元．
(1)当商场每天销售这种恤获得350元的利润时，每件的销售单价是多少元？
(2)设该商场每天销售这种恤所获得的利润为元，将该恤销售单价定为多少元时，才能使商场销售该恤获利最大？最大利润是多少？
（2024秋 思明区校级期中）
6．某公司成功研制出电子产品后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于23元，不高于29元．在销售过程中发现：销售量（万件）与销售价格（元/件）的关系如表，投入成本（万元）与销售量（万件）的关系为二次函数，其图象如图，其中点是图象的顶点．
（元/件） 23 23.5 25 27 29
（万件） 7 6.5 5 3 1

(1)求投入成本与销售量之间的函数解析式；
(2)应如何定价才能使得销售这种电子产品的利润达到最大？最大利润为多少？
（2024秋 天河区校级期中）
7．某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元．
(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
（2024秋 白云区期中）
8．华联商场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表：
销售价(x元) 10 15 18 20
销售量(y件) 30 25 22 20
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求商场每天的销售利润w(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
（2024秋 大连期中）
9．某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
（2024秋 鹿城区校级期中）
10．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
(1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示）
(2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？
(3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值．
（2023秋 莱州市期末）
11．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
（2024秋 海安市期中）
12．海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克，每涨价1元日销售量减少20千克，设日销售利润为W元．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式；
(2)若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？
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参考答案：
1．(1)
(2)销售单价为90元
(3)最大利润是10000元
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
（1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式；
（2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值；
（3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润．
【详解】（1）解：由题意得：，
整理得：；
答：与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
整理，得：，
解得：（舍去），
答：该玩具销售单价为90元；
（3）解：由题意得：，
解得：；
∵，，
∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000；
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．
2．(1)
(2)当销售单价定为元时，每月可以获得最大利润，最大利润为元
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据每月销售利润每件销售利润销售量，即可得出利润w与销售单价x之间的函数解析式，结合销售单价不低于进价，且不高于30元即可得出销售单价x的取值范围；
（2）将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵销售单价不低于进价，且不高于30元，
∴，
∴；
（2）解：，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当销售单价定为元时，每月可以获得最大利润，最大利润为元．
3．(1)；
(2)70元时，最大总利润是6000元；
(3)．
【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）利用总利润＝总销售额﹣总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值；
（3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：（1）设y与x的函数关系式为：，
∵函数图象经过点和，
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）解：由题意可得出：
，
自变量取值范围：．
∵，．
∴函数图象开口向下，对称轴是直线．
∵，此时y随x的增大而增大，
∴当时，；
故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元；
（3）解：由，
当时，，
解得：，
∵，
∴，
又∵；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用函数增减性得出是解题关键．
4．(1)一次函数解析式为
(2)①；②该商品日销售利润的最大值为元
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）①设该产品的成本单价是n元，根据题意，得，可求，则，计算求解即可．②根据题意，得，由，，可知当时，w最大，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：设，
把代入得：，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）①解：设该产品的成本单价是n元，
根据题意，得，
解得，
∴．
故答案为：；
②解：根据题意，得，
，且销售单价不低于元，即，
当时，w最大，最大值为，
答：该商品日销售利润的最大值为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值是解题的关键．
5．(1)每件产品的售价为45元时，每日销售利润为350元
(2)每件产品的售价为60元时，获利最大，最大为800元
【分析】（1）设商场每件恤的销售单价是元，根据“商场每天销售这种恤获得350元的利润”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）根据题意求出关于的解析式，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设商场每件恤的销售单价是元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
，
，
每件产品的销售价为45时该产品每日销售利润为350元；
（2）解：由题意得：，
，，
当时，最大，此时，
每件产品的销售价为60元时，商场销售该恤获得最大，最大利润为800元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程及求出二次函数解析式是解此题的关键．
6．(1)
(2)定价为23元时，利润最大，最大利润是155万元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）设投入成本与销售量之间的函数解析式为，将代入可求得函数关系式；
（2）先用待定系数法求出销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为，设销售这种电子产品的利润为元，根据题意得：
，再求出，最后根据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：点是图象的顶点，
设投入成本与销售量之间的函数解析式为，
将代入得：，
解得：，
投入成本与销售量之间的函数解析式为；
（2）解：根据表格中的数据可以得出销售量（万件）与销售价格（元/件）是一次函数关系，
设销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为，
，解得：，
销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为，
设销售这种电子产品的利润为元，根据题意得：
；
，且，
当时，取最大值为，
定价为23元时，利润最大，最大利润是155万元．
7．(1)
(2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合；
（1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将点，代入得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得：
，
，
该函数图象开口向下，且其对称轴为，
又，
在此范围内，随的增大而增大，
当时，取最大值，此时，
即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元．
8．(1)与之间的函数关系式为，；
(2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
（1）设与之间的函数关系式为，把代入求出k和b的值即可得出函数关系式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
把代入得：
，解得：，
∴与之间的函数关系式为，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，
∴；
（2）根据题意可得：
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值，此时，
∴每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
9．(1)
(2)售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键．
（1）设与之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为．
由图象，把代入得，
解得，
∴与之间的函数关系式为．
（2）解：∵，
∴
∵，开口向下，对称轴为直线，
∴当随的增大而增大，
∴当时，
答：当每件商品的售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元．
10．(1)
(2)销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元
(3)0.8
【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可；
（2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案；
（3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当时，w有最大值，即可求解．
本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键．
【详解】（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为，即，
故答案为：，
（2）解：由题意，∵日销售量为，
∴销售该文具的日利润为，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元．
（3）解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套，
∴，
∴，
又此时日销量利润，
∴对称轴为直线．
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴，
∴．
11．（1）w=-10x2+700x-10000；（2） 当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）2000．
【分析】（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）利用二次函数增减性直接求出最值即可．
【详解】（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，
则w=（x-20）（-10x+500）
=-10x2+700x-10000；
（2）w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250．
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，wmax=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）20＜x≤30，对称轴左侧w随x的增大而增大，
故当x=30时，w有最大值，此时w=2000．
12．(1)，
(2)当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得与的函数关系式，根据利润（售价进价）销量，可表示出；
（2）根据日销量不低于160千克，可得，由，可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，，当时，，
设，则，得，
∴；
则日销售利润；
（2）∵，
∴，即，
，
则，对称轴为直线，该图象开口向下，
∴当时，随增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时，（元），
即：当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元．

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