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专题26 实际应用之喷泉问题
例．（2024 罗湖区校级三模）
1．【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式喷泉景观
【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组，开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数密切关系
【项目素材】
某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
任务一：模型构建
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的垂直高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
数量任务二：模型分析
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
任务三：问题解决
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
对应练习：
（2024春 北京月考）
2．小腾去公园游玩时在湖边看到了一个美丽的喷泉(图1)，善于思考的小腾想到了二次函数的图象，回家后他尝试构造了一个函数来刻画喷泉的形状，下表是小腾列出的部分对应值
0 1 2 3
0 3 m 4 3 n 3 0
(1)计算___________，___________；
(2)在平面直角坐标系中，请你描出小腾所列表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(3)小腾发现平行于轴的直线和函数图象的交点个数跟的取值有关，若直线与函数的图象有4个不同的交点，请你帮小腾直接写出实数的取值范围．
（2023秋 鞍山期末）
3．某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示．
(1)经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式；
(2)计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？
（2022秋 门头沟区期末）
4．某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
请根据测得的数据，解决以下问题：
(1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
(3)求所画图象对应的二次函数表达式；
(4)公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
（2024秋 梁园区校级月考）
5．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置（如图），喷水能力最强，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间满足二次函数关系式．
(1)求水流喷出的最大高度是多少米？此时，最高处离喷水装置的水平距离为多少米？
(2)现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？
（2024秋 北京期中）
6．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．
(1)的值为__________；
(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
(3)若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
（2024秋 拱墅区期中）
7．要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为4m，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
（2024 陕西）
8．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
(1)求A喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
（2024 深圳模拟）
9．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．

(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
（2024秋 长丰县期中）
10．综合与实践
【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为．
【问题解决】
(1)求喷水管的高度；
(2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度．
（2024秋 鲤城区校级月考）
11．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．
(1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由；
(3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）
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参考答案：
1．（1）
（2）
（3）米
【分析】（1）由题意可得，第一象限内抛物线的顶点坐标为，设第一象限内抛物线的解析式为，将点代入，可得，解方程即可求出的值，进而可得第一象限内抛物线的解析式；
（2）令，则有，解方程即可求出此时的值，由可知抛物线的开口向下，于是由函数图象可求出时的取值范围；
（3）作的平行线，与抛物线相切于点，交轴于点，过点作于点，则，可设直线的解析式为，将直线的解析式与抛物线的解析式相联立，得，即，由与抛物线相切可知，一元二次方程有两个相等的实数根，于是可得，解方程即可求出的值，进而求出直线的解析式为，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点坐标，同理可求得点的坐标，于是可得，由题意可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据勾股定理可得，然后根据即可求出光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【详解】解：（1）由题意可得：第一象限内抛物线的顶点坐标为，
设第一象限内抛物线的解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
第一象限内抛物线的解析式为：；
（2）令，则有：
，
解得：，，
，
抛物线的开口向下，
时，，
的取值范围为：；
（3）如图，作的平行线，与抛物线相切于点，交轴于点，过点作于点，则，
可设直线的解析式为：，
，
，
整理，得：，
与抛物线相切，
一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
点的坐标为，
同理可求得：点的坐标为，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（喷水问题），的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与系数的关系，垂线的性质，一元二次方程根的判别式，求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，等式的性质等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（喷水问题）是解题的关键．
2．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质：
（1）将x的值代入，求出相应函数值即可；
（2）描点，画出函数图象即可；
（3）画出相应函数图象进行说明即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：
（2）解：如图，即为所求作：
（3）解：如图，
，顶点坐标为．
由图象可知，直线与函数的图象有4个不同的交点时，实数的取值范围为．
3．(1)
(2)米
【详解】解：（1）由题意，得：抛物线顶点为
∵
∴
设抛物线解析式为
∴
∴
∴
（2）∵抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，对称轴为直线
∴设平移后的抛物线为
∴由题意：得：抛物线过点
∴
∴
∴
当时，
∴此时点A坐标为
∴水管最多可以设计为米
4．(1)见解析
(2)3.2
(3)
(4)1或9
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）观察函数图象可得答案；
（3）用待定系数法可得解析式；
（4）结合解析式，令可解得答案．
【详解】（1）解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）解：由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为，
故答案为：3.2；
（3）解：设二次函数表达式为将，，代入得：
，
解得：
∴二次函数表达式为；
（4）解：在中，令得：
，
解得或，
∴石柱距喷水枪的水平距离为或．
故答案为：1或9．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数解析式．
5．(1)最大高度为，且最高处离喷水装置的水平距离为米
(2)花盆需至少离喷水装置有3.5米处
【分析】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键．
（1）将化为顶点式，顶点坐标，故最大高度为，最高处离喷水装置的水平距离为米；
（2）由，求出时x的值即可．
【详解】（1）解：由化为顶点式可得：，
∴顶点为：，
，
∴开口向下，
故最大高度为，且最高处离喷水装置的水平距离为米；
（2）由（1）知该函数顶点式为：，
∴若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，
∴只需求时即可，
，
解得：或（舍），
，
∴花盆需至少离喷水装置有米处．
6．(1)1
(2)米
(3)不能
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用
（1）把点代入即可；
（2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可；
（3）根据平移的性质先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，
故答案为：1；
（2）解：设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
抛物线的解析式为，
即，
坡地经过点，
的解析式为，
如解图，
设抛物线上一点，过点作轴交于点，
则，的长为，
，
函数图象开口向下，有最大值，最大值为，
水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；
（3）解：不能；
理由：当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为．
将代入抛物线解析式，得，
将代入直线解析式，得，
，
水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
7．(1)喷出的水流最高处距离地面4米
(2)喷出的水流不会落在池外，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点的实际意义是解题的关键．
（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度；
（2）令，则可以求得最大水平距离．
【详解】（1）
解：，且，
当时，y取最大值，最大值为4，
喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）
喷出的水流不会落在池外；理由如下：
当时，，
解得或（不合题意，舍去），
，
喷出的水流不会落在池外．
8．(1)
(2)不会
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键．
（1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可；
（2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断．
【详解】（1）解：根据题意，令，易得，
令，，可求得，
因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
函数的对称轴为，此时，
因此A喷头喷出的水流的最大高度是；
（2）解：函数，令，
，
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
9．(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
(2)；
(3)不能．
【分析】（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可；
【详解】（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，与轴交点等问题，解题的关键是理解题意，正确求得解析式．
10．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.
（1）依据题意，由抛物线为再令 则，从而可以判断得解；
（2）依据题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为结合抛物线过，从而可得新抛物线为 再令 ，进而可以判断得解.
【详解】（1）解：∵抛物线为 ，
∴令则，
∴喷水管的高度为；
（2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为，
又∵抛物线过，
，
，
∴新抛物线为，
又令，
，
由（1）得 ，
∴喷水管要降低的高度为： ．
11．(1)；
(2)能达点处，理由见解析；
(3)．
【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解；
（）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解；
（）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解；
本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）解：能达点处，理由如下：
由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，
令，可得，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过，
∴水流能到达点处；
（3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到，
∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为，
∵水流未达到最高点且恰好到达点处，
∴过点，且对称轴，
∴，
将点代入得，，
解得或（不合，舍去），
∴，
故答案为：．

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