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第六章
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习题课
平面向量数量积的综合应用
1.掌握平面向量数量积的计算、向量垂直的条件与数量积的性质.(难点)
2.重视数形结合与转化化归思想的考查.
学习目标
平面向量的数量积运算是高考考查的热点.其中，平面向量数量积的计算与性质应用，向量垂直的充要条件等内容，常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、逻辑推理和直观想象等核心素养.
导 语
一、平面向量数量积的计算
二、平面向量数量积的应用
课时对点练
三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题
随堂演练
内容索引
四、利用向量的数量积证明
一
平面向量数量积的计算
　在△ABC中，AC=BC=3，AB=2，点M，N分别是边BC和AB上的
点，且满足=2，=，则·=　　.
例 1
-
以N为坐标原点，AB所在的直线为x轴，CN所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(-1，0)，B(1，0)，N(0，0)，
由AC=BC=3，AN=1可得CN==2，
所以C(0，2=(1，2=(2，0)，
所以=+=+=+-)=+=(1，2)+(2，0)
=，
又=(0，-2)，所以·=×(-2)=-.
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
(3)如果向量的模和夹角以及坐标都未知时，可以选择合适的基底或建立坐标系，转化为上述两类问题去解决.
提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.
反
思
感
悟
平面向量数量积的运算方法
　在△ABC中，已知与的夹角是90°，||=2，||=1，M是BC上的一点，且=λ+μ(λ，μ∈R)，且·=0，则的值为　　　.
跟踪训练 1
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，
所以=(0，2)，=(1，0)，=(1，-2).
设M(x，y)，则=(x，y)，
由·=(x，y)·(1，-2)=x-2y=0，
得x=2y，又=λ+μ，
即(x，y)=λ(0，2)+μ(1，0)=(μ，2λ)，
所以x=μ，y=2λ，所以==.
二
平面向量数量积的应用
　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|=，|b|=2，在△ABC中，=2a+2b，=2a-6b，D为BC的中点，则||=　　　.
例 2
因为=+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b，
所以||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2)=4×=4，
则||=2.
角度1　求模
　 已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2=，设向量，
的夹角为θ，则cos θ=　　　　.
例 3
角度2　求夹角
因为2=，
所以E为BC的中点.
设正方形的边长为2，则||=，||=2，
·=·(-)
=||2-||2+·=×22-22=-2，
所以cos θ===-.
已知O为坐标原点，=(2，5)，=(3，1)，=(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
例 4
角度3　垂直问题
假设存在点M，且=λ=(6λ，3λ)(0≤λ≤1).
则=(2-6λ，5-3λ)，=(3-6λ，1-3λ)，
∵⊥，
∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0，
即45λ2-48λ+11=0，解得λ=或λ=，
∴=(2，1)或=，
∴存在M(2，1)或M满足题意.
反
思
感
悟
(1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解.
(2)求平面向量的夹角的方法
由向量数量积的定义知，cos θ=，其中θ为非零向量a与b的夹角，范围为［0，π］，在求解a·b，|a|，|b|或找三个量的关系时，可以用基底进行运算，也可以用坐标运算.
(3)两向量a与b垂直 a·b=0 |a-b|=|a+b|(其中a≠0，b≠0).
　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，1)，若a⊥b，则b与a+b夹角的余弦值为
A. B. C. D.-
跟踪训练 2
√
因为a⊥b，所以a·b=m-2=0，即m=2.
所以b=(2，1)，a+b=(3，-1)，
所以cos〈b，a+b〉====.
(2)已知向量a=(1，-)，a在b上的投影向量为b，|a+b|=，则|b|=　　.
向量a=(1，-)，|a|=2，
a在b上的投影向量为b，
则·=b，得2a·b=|b|2，
|a+b|=，则(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|b|2=4+2|b|2=7，
解得|b|=.
三
平面向量的数量积与三角函数的综合问题
　已知向量a=(sin x，cos x)，b=(，-1)，x∈［0，π］.
(1)若a⊥b，求x的值；
例 5
因为a⊥b，
所以a·b=sin x-cos x=0，
于是tan x==，
又x∈［0，π］，所以x=.
(2)记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
f(x)=a·b=(sin x，cos x)·(，-1)=sin x-cos x=2sin.
因为x∈［0，π］，所以x-∈，
从而-1≤2sin≤2，
于是，当x-=，即x=时，
f(x)取到最大值2；
当x-=-，即x=0时，f(x)取到最小值-1.
反
思
感
悟
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解.
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
　已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a-b|=，求证：a⊥b；
跟踪训练 3
由题意得|a-b|2=2，
即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2，
又因为a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，
所以2-2a·b=2，即a·b=0，故a⊥b.
(2)设c=(0，1)，若a+b=c，求cos(α-β)的值.
因为a+b=(cos α+cos β，sin α+sin β)=(0，1)，
所以
由①得cos α=cos(π-β)，
由0<β<α<π，得0<π-β<π，又0<α<π，故α=π-β，
代入②可得sin α=sin β=，而α>β，
所以α=，β=.所以cos(α-β)=cos=cos=-.
四
利用向量的数量积证明
　用向量法证明公式：sin 2α=2sin αcos α.
例 6
如图，在平面直角坐标系Oxy中，作单位圆O，令单位圆与x轴正半轴交点为A，以x轴的非负半轴为始边作角α，2α，使它们的终边与单位圆分别交于点C和点B，连接AB交OC于点M，则=(cos α，sin α)，=(cos 2α，sin 2α)，
∵OA=OB=1，∠AOC=∠BOC=α，
∴OM⊥AB，AM=BM，
∴AB=2AM=2sin α，
取与y轴平行的单位向量为j，
∴j·=sin 2α，
∵=+，
∴j·=j·(+)=j·+j·
=j·=|j|||cos
=||cos α=2sin αcos α，
∴sin 2α=2sin αcos α.
反
思
感
悟
(1)运用向量工具进行探索证明可使证明过程简洁明了.
(2)一般地，若角α的终边与单位圆的交点为P，则P点坐标为(cos α，sin α)，从而=(cos α，sin α).
　在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(2，0)，
B(10，0)，C(11，3)，D(10，6).
(1)①证明：cos∠ABC+cos∠ADC=0；
跟踪训练 4
因为A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6)，
所以=(-8，0)，=(1，3)，=(-8，-6)，=(1，-3)，
得cos∠ABC===-，
cos∠ADC===，
所以cos∠ABC+cos∠ADC=0.
②证明：存在点P，使得PA=PB=PC=PD，并求出P点
的坐标；
由PA=PB=PC=PD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心.
因为=(8，0)，=(0，6)，=(9，3)，=(-1，3)，
所以·=0，·=0，
所以AB⊥BD，AC⊥CD，
四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，
所以点P的坐标为(6，3)，即存在点P，使得PA=PB=PC=PD，得证.
(2)若点E在四边形ABCD的四条边上运动，且CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求点E的坐标.
易得AB=8，BC=CD=，AD=10.
因为CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，
则点E在AD上，且=9.
设点E的坐标为(x，y)，则=(10-x，6-y)，=(x-2，y)，
所以则
故点E的坐标为.
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的计算及应用.
(2)平面向量的数量积与三角函数的综合问题.
(3)利用平面向量数量积证明.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：向量的夹角大小.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.已知a=(m，1)，b=(2，6+m)，a⊥b，则|a-b|等于
A. B. C.2 D.5
√
∵a⊥b，∴a·b=2m+6+m=0，
∴m=-2，
∴a-b=(-4，-3)，∴|a-b|=5.
2.已知点O(0，0)，A(-1，2)，B(1，1)，则与的夹角的余弦值为
A.- B. C.- D.
1
2
3
4
√
由题意知，=(-1，2)，=(2，-1).
所以cos〈〉===-.
3.如果平面向量a=(2，1)，b=(1，3).那么下列结论中正确的是
A.|b|=3|a|
B.a∥b
C.a与b的夹角为
D.a在b上的投影向量的模为
1
2
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4
√
1
2
3
4
对于A，|a|==，|b|==，则|b|≠3|a|，A错误；
对于B，2×3≠1×1，则a，b不平行，B错误；
对于C，cos〈a，b〉===，又〈a，b〉∈，则〈a，b〉=，C错误；
对于D，a在b上的投影向量的模为==，D正确.
4.已知向量a=(λ+1，2)，b=(-2，2)，若|a-2b|=|a+2b|，则λ等于
A.2 B.1 C.-1 D.-3
1
2
3
4
√
由|a-2b|=|a+2b|两边同时平方可得，|a-2b|2=|a+2b|2，
整理得，a·b=0，而a·b=-2(λ+1)+4=0，
解得λ=1.
课时对点练
六
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D BD A A B e -1
题号 11 12 13 14 　15
答案 B B ABC ABD
对一对
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9.
(1)因为A(2，1)，B(3，2)，
D(-1，4)，
所以=(1，1)，=(-3，3)，
所以·=1×(-3)+1×3=0，
所以⊥，即AB⊥AD.
答案
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9.
(2)因为⊥，
四边形ABCD为矩形，
所以=，设点C的坐标为(x，y)，
则由=(1，1)，=(x+1，y-4)，
得解得所以点C的坐标为(0，5)，
从而=(-2，4)，=(-4，2)，
答案
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9.
所以||=2，||=2，
·=8+8=16.
设与的夹角为θ，
则cos θ===，
所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为.
答案
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10.
答案
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(1)设a=(x，y)，
依题意有=(4，3)，||=5，|a|=1，
且a⊥，即a·=0，所以
解得或所以a=或a=.
10.
答案
1
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(2)设向量与单位向量a的夹角为θ，向量在向量a上的投影向量为h，
则|h|=|||cos θ|==|·a|.
又因为=(1，4)，
所以当a=时，|h|==；
当a=时，|h|==.
所以向量在向量a上的投影向量的模为.
16.
设u=(a，b)，v=(c，d)，
因为u·v=|u||v|cos θ(θ为向量u，v的夹角)，
所以ac+bd=· cos θ，
因此(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2) cos2θ≤(a2+b2)(c2+d2).
答案
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1.已知=(2，3)，=(-3，y)，若⊥，则||等于
A.2 B. C.5 D.
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15
基础巩固
√
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答案
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因为⊥，
所以·=0，
即2×(-3)+3y=0，解得y=2.
所以=(-3，2)，=(-5，-1)，
所以||==.
答案
2.向量a=(1，)，b=(，1)，则向量a+b与a-b的夹角为
A. B. C. D.
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√
16
设a+b与a-b的夹角为θ，
∵a=(1，)，b=(，1)，∴a+b=(1+，1+)，a-b=(1--1)，
则|a+b|=+，|a-b|=-，
∴cos θ===0，
∵0≤θ≤π，∴θ=.
答案
3.(多选)已知a=(1，2)，b=(3，4)，若a+kb与a-kb(k∈R且k≠0)垂直，则k等于
A. B.- C.- D.
√
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答案
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因为a=(1，2)，b=(3，4)，
所以a+kb=(1+3k，2+4k)，a-kb=(1-3k，2-4k)，
又因为a+kb与a-kb垂直，
所以(a+kb)·(a-kb)=1-9k2+4-16k2=0，
解得k=±.
答案
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15
4.若a=(2，3)，b=(-4，7)，b方向上的单位向量为e.则a在b上的投影向量为
A.e B.e
C.e D.e
√
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答案
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设a与b的夹角为θ，则cos θ===，所以a在b上的投影向量为|a|cos θe=×e=e.
答案
5.已知A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)，则△ABC的形状是
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
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√
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由题设知=(8，-4)，=(2，4)，=(-6，8)，所以·=2×8+
(-4)×4=0，即⊥，所以∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形.
答案
6.设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
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答案
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∵四边形OABC是平行四边形，
∴=，即(4-0，2-0)=(a-2，8-a)，
∴a=6，∴=(4，2)，=(2，6)，
设向量的夹角为θ，
则cos θ===，
又θ∈(0，π)，∴.
答案
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7.已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，方向上的单位向量为e，则向量在上的投影向量为　　　　.
由已知得=(2，1)，=(5，5)，因此e=e=e.
e
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答案
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8.在△ABC中，若∠BAC=60°，AB=AC=3，=3，则·=　　　　.
-1
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答案
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由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(3，0)，C.设D(x，y)，
则==.
由=3，得=，
解得x=2，y=.
∴D(2，=(1，-=(2，)，
∴·=1×2-×=-1.
答案
9.已知点A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
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因为A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)，
所以=(1，1)，=(-3，3)，
所以·=1×(-3)+1×3=0，
所以⊥，即AB⊥AD.
答案
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
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答案
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因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以=，设点C的坐标为(x，y)，
则由=(1，1)，=(x+1，y-4)，
得
所以点C的坐标为(0，5)，
从而=(-2，4)，=(-4，2)，
所以||=2，||=2，·=8+8=16.
答案
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设的夹角为θ，
则cos θ===，
所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为.
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10.如图，已知A(1，1)，B(5，4)，C(2，5)，设向量a是与向量垂直的单位向量.
(1)求单位向量a的坐标；
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答案
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设a=(x，y)，
依题意有=(4，3)，||=5，|a|=1，
且a⊥，即a·=0，
所以解得
所以a=或a=.
答案
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(2)求向量在向量a上的投影向量的模.
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答案
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设向量与单位向量a的夹角为θ，
向量在向量a上的投影向量为h，
则|h|=|||cos θ|==|·a|.
又因为=(1，4)，所以当a=时，
|h|==；
当a=时，|h|==.
所以向量在向量a上的投影向量的模为.
答案
11.已知向量=，||=5，且·=3，则||等于
A.3 B.3 C.4 D.4
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√
综合运用
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答案
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设A(0，0)，C(x，y)，则=(x，y)，
则=-=(x，y)-=.
∵·=3，
∴+=3，
即x+y=8. ①
又∵||=5，
∴x2+y2=25. ②
答案
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||=
=，
将①②代入上式解得||==3.
答案
12.已知函数y=tan的部分图象如图所示，则(+)·等于
A.1 B.6
C.3 D.2
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√
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由y=tan=0，得x-=kπ(k∈Z)，
即x=4k+2(k∈Z)，
由图可知，A的坐标为(2，0)，
由y=tan=1，得x-=kπ+(k∈Z)，
即x=4k+3(k∈Z)，
由图可知，B的坐标为(3，1)，
所以+=(5，1)，=(1，1)，
所以(+)·=5×1+1×1=6.
答案
13.(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念之一.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则以下结论正确的是
A.·=0
B.·=-
C.+=-
D.|-|=
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√
√
√
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因为八卦图为正八边形，故中心角为，∠FOD=·=0，A正确；
则∠AOD=，
·=||||cos=-，B正确；
，
又因为||=||，根据平行四边形法则得+==-，C正确；
答案
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连接AF(图略)，
由题意得∠AOB=，∠AFB=，且BF=2，
在Rt△FAB中，cos∠AFB=，
则AF=2cos ，
又cos ==cos=2cos2-1，
则cos =，故|-|=||=2×=，D错误.
答案
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14.已知向量a=(sin 70°，cos 70°)，b=(cos 80°，sin 80°)，则|a+b|=　　　　.
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答案
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∵a=(sin 70°，cos 70°)，b=(cos 80°，sin 80°)，
∴|a|==1，
|b|==1，
a·b=sin 70°cos 80°+cos 70°sin 80°
=sin 150°=，
∴|a+b|===.
答案
15.(多选)已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，c=a+λb，λ∈R，则下列说法正确的是
A.当λ=-时，|c|最小
B.当|c|最小时，b⊥c
C.当λ=1时，a与c的夹角最小
D.当a与c的夹角最小时，a=c
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拓广探究
√
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√
√
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由a=(1，2)，b=(-3，4)，
得c=a+λb=(1-3λ，2+4λ)，
|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2
=5+10λ+25λ2=25+4，
当λ=-时，|c|最小，故A正确；
当|c|最小时，c=，
则b·c=0，所以b⊥c，故B正确；
答案
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16
设向量a与c的夹角为θ，
则cos θ===，
要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大，由于θ∈［0，π］，所以cos θ的最大值为1，此时θ=0，=1，
解得λ=0，c=(1，2).
所以当λ=0时，a与c的夹角最小，此时a=c，故C错误，D正确.
答案
16.用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
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15
16
设u=(a，b)，v=(c，d)，
因为u·v=|u||v|cos θ(θ为向量u，v的夹角)，
所以ac+bd=· cos θ，
因此(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2) cos2θ≤(a2+b2)(c2+d2).
答案(共65张PPT)
第六章
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习题课
平面向量中的最值与范围问题
会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.(重难点)
学习目标
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.
导 语
内容索引
一、线性运算中的最值与范围问题
二、向量数量积的最值与范围问题
课时对点练
三、向量模与夹角的最值问题
随堂演练
一
线性运算中的最值与范围问题
已知向量a，b，c满足a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b，则|c|的最小值为
A. B. C. D.
例 1
√
∵a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b=(3λ，4-4λ)，
∴|c|===≥=，
当且仅当λ=时，等号成立，故|c|的最小值为.
利用向量模的公式，把问题转化为二次函数的最值问题，应注意变量的取值范围.
反
思
感
悟
　设=(1，-2)，=(2m，-1)，=(-2n，0)(m，n∈R，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则m+n的最大值为
A.-3 B.-2 C.2 D.3
跟踪训练 1
√
由题意易知，∥=-=(2m-1，1)，=-=
(-2n-1，2)，
∴(2m-1)×2=1×(-2n-1)，∴2m+1+2n=1，
∵2m+1+2n≥2=2，
∴2m+n+1≤2-2，∴m+n≤-3(当且仅当m=-2，n=-1时取等号).
二
向量数量积的最值与范围问题
在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，点P在边CD上，则·的取值范围是
A.［-1，8］ B.［-1，+∞)
C.［0，8］ D.［-1，0］
例 2
√
由题意，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，
以A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(4，0)，D(1，)，
设P(x，)，则1≤x≤5，
所以=(-x，-=(4-x，-)，
所以·=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1，
设f(x)=(x-2)2-1，可得f(x)在［1，2)上单调递减，在［2，5］上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=-1，f(x)max=f(5)=8，
所以·的取值范围是［-1，8］.
反
思
感
悟
建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围.
　已知O为坐标原点，向量=(2，2)，=(4，1)，在x轴上取一点P使·取得最小值，则P点的坐标是
A.(-3，0) B.(2，0)
C.(3，0) D.(4，0)
跟踪训练 2
√
设P点坐标为(x，0)，则=(x-2，-2)，=(x-4，-1)，
·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1，
当x=3时，·有最小值1，此时P点坐标为(3，0).
三
向量模与夹角的最值问题
已知|a|=1，向量b满足2|b-a|=b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最
小值为　　　　.
例 3
∵|a|=1，∴设a=(1，0)，b=(x，y)，
∴b-a=(x-1，y)，
由2|b-a|=b·a，得2=x，则x>0，
∴4(x-1)2+4y2=x2，
∴y2=-x2+2x-1，
∴cos θ======，
∴当=1，即x=1时，cos θ取得最小值.
反
思
感
悟
将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围.
已知|a+b|=2，向量a，b的夹角为，则|a|+|b|的最大值
为　　　　.
跟踪训练 3
将|a+b|=2两边平方并化简得(|a|+|b|)2-|a||b|=4，由基本不等式得|a||b|≤=(|a|+|b|)2≤4，即(|a|+|b|)2≤，即|a|+|b|≤，当且仅当|a|=|b|=时，等号成立，所以|a|+|b|的最大值为.
1.知识清单：
(1)线性运算中的最值与范围问题.
(2)向量数量积的最值与范围问题.
(3)向量模与夹角的最值问题.
2.方法归纳：转化与化归，数形结合.
3.常见误区：函数的最值范围问题的计算.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知向量a=(1，0)，b=(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a+b|的取值范围是
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
因为a+b=(1+cos θ，sin θ)，
所以|a+b|==
=，
因为θ∈，所以cos θ∈，所以2+2cos θ∈，
所以|a+b|的取值范围是(，2］.
2.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=，F是线段AB上的点，则·的取值范围是
A. B. C. D.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
因为AB=2，AC=1，∠ACB=，
所以以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则C(0，0)，B(，0)，A(0，1)，设F(x，y)，因为F是线段AB上的点，
所以=λ(0≤λ≤1)，即(x，y-1)=λ(，-1)，
所以x=λ， y=-λ+1，所以F(λ，-λ+1)，
·=(-λ，λ)·(λ，-λ+1)=-4λ2+λ=-4+，
1
2
3
4
则当λ=·，当λ=1时，
·有最小值-3.
所以·.
3.已知平面向量a与a+2b的夹角为30°，则的最大值为
A. B.2 C.4 D.8
1
2
3
4
√
1
2
3
4
以向量|a|与2|b|为两边作△ABC，如图所示，设a=，2b=，
则a+2b=，∠CAB=30°，
则在△ABC中，||≥||sin∠CAB，
即2|b|≥|a|，则≤4，
所以的最大值为4.
4.平面向量a，b满足|a|=1，=1，记〈a，b〉=θ，则sin θ的最大值为
A. B. C. D.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
因为|a|=1，=1，所以=|b|2-3a·b+|a|2=1，
|b|2-3|a|·|b|cos θ+-1=0，即|b|2-3|b|cos θ+=0，
所以cos θ==+≥2=，当且仅当|b|=时等号成立，因为〈a，b〉=θ，θ∈，
所以sin θ=≤=，则sin θ的最大值为.
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D D A D BD
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9.
由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1，
根据向量求模公式得|a-λb|
=
==，
易知，当λ=时，|a-λb|取得最小值.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10.
设=t(0≤t≤1)，
则=(1-t)，
因为=-=-(1-t)，
所以·=［-(1-t)］·t
=t·-t(1-t)=2×2t·cos 45°-t(1-t)×(2)2
=8t2-4t=8-.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10.
因为0≤t≤1，
所以-≤·≤4，
所以·的取值范围为.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11.
(1)a·b=coscos-sinsin=cos 2x，
|a+b|=
===2，
因为x∈，所以cos x≥0，
所以|a+b|=2cos x.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11.
(2)由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x，
即f(x)=2cos2x-1-4λcos x
=2(cos x-λ)2-1-2λ2.
因为x∈，所以0≤cos x≤1.
①当λ<0时，当且仅当cos x=0时，
f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11.
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2，
由已知得-1-2λ2=-，
解得λ=；
③当λ>1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-，解得λ=，这与λ>1相矛盾.
综上所述，λ=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一、单项选择题
1.已知向量m=(a-1，1)，n=(2-b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是
A.［2，+∞) B.(0，+∞)
C.［2，4) D.(2，4)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
因为m∥n，所以2a-2=2-b，所以2a+b=4，所以b=4-2a>0，所以0所以m·n=2a+b-ab=4-ab=4-a(4-2a)=2a2-4a+4=2(a-1)2+2∈［2，4).
答案
2.已知向量a=(-2，2)，b=(5，k)，若|a+b|≤5，则实数k的取值范围为
A.［-4，6］ B.［-6，4］ C.［-6，2］ D.［-2，6］
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
由已知得a+b=(3，k+2)，
若|a+b|≤5，则≤5，
即(k+2)2≤16，即-4≤k+2≤4，
∴-6≤k≤2.
答案
3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且=x+y，则+的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.9
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
由图可知x，y均为正数，且x+y=1，
∴+=(x+y)=5++
≥5+2=9，
当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，
则+的最小值为9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的动点，则|+2|的最小值为
A.4 B.6 C.7 D.8
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的动点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则D(0，0)，A(4，0)，设B(2，c)，C(0，c)，P(0，a)(0≤a≤c)，
所以=(4，-a)，=(2，c-a)，
+2=(8，2c-3a)，
所以|+2|=≥8.
答案
5.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p=(sin A，1)，q=(1，-cos B)，
则p与q的夹角是
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>，即A>-B，又因为函数y=sin x
在上单调递增，所以sin A>sin =cos B，所以p·q=sin A
-cos B>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.
答案
6.若向量a，b，c的模均为1，且a·b=0，则|3a+4b-2c|的最大值为
A.5+2 B.3 C.5 D.7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
设=a，=b，=c，依题意a·b=0 a⊥b，
而向量a，b，c的模均为1.
以O为坐标原点，分别为x，y轴正方向
建立平面直角坐标系，如图所示，由于|c|=1，
所以C点在单位圆上.
由此可得A(1，0)，B(0，1)，C(cos α，sin α)，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
所以|3a+4b-2c|=|(3-2cos α，4-2sin α)|
=
=
=，其中tan φ=.
所以当sin(α+φ)=-1时，|3a+4b-2c|取得最大值=7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
二、多项选择题
7.一折扇平面图为如图所示的扇形COD，其中∠COD=，OC=4OA=4，动点P在弧CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且=x+y，则下列说法正确的是
A.若y=x，则x+y=1
B.若y=2x，则·=0
C.·≥-2
D.·≥
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
如图，作OE⊥OC，分别以OC，OE所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，C(4，0)，
B，
D，
设∠COP=θ，则Q(cos θ，sin θ)，θ∈，
则P(4cos θ，4sin θ)，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
由=x+y，可得cos θ=4x-2y，
sin θ=2y，且x>0，y>0，
若y=x，则cos2θ+sin2θ=(4x-2y)2+(2y)2=1，
解得x=y=(负值舍去)，x+y=，故A错误；
若y=2x，则cos θ=4x-2y=0，θ=·=0，故B正确；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
·=·(4cos θ，4sin θ)
=-6cos θ+2sin θ=4sin，
由于θ∈，故θ-∈，
故-6≤4sin≤6，
即-6≤·≤6，故C错误；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
由于=(1-4cos θ，-4sin θ)，
=，
·=(1-4cos θ)×+(-4sin θ)×
=-2cos θ-2sin θ=-4sin，
而θ+∈，所以sin∈，
所以·=-4sin≥-4=，故D正确.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
三、填空题
8.已知向量a，b满足a=(t，2-t)，|b|=1，且(a-b)⊥b，则a与b的夹角的最
小值为　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
设a与b的夹角为θ，因为(a-b)⊥b，
所以(a-b)·b=0，即a·b=b2，
cos θ=====，
又因为2t2-4t+8=2(t-)2+4≥4，
所以0所以a与b的夹角的最小值为.
答案
四、解答题
9.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a·(a+b)=2.求|a-λb|的最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1，
根据向量求模公式得|a-λb|=
==，
易知，当λ=时，|a-λb|取得最小值.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10.在△ABC中，AB=2，AC=2，∠BAC=45°，P为线段AC上任意一点，求·的取值范围.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
设=t(0≤t≤1)，
则=(1-t)，
因为=-=-(1-t)，
所以·=［-(1-t)］·t=t·-t(1-t)
=2×2t·cos 45°-t(1-t)×(2)2=8t2-4t=8-.
因为0≤t≤1，所以-≤·≤4，
所以·.
答案
11.已知向量a=，b=，x∈.
(1)求a·b及|a+b|；
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答案
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a·b=coscos-sinsin=cos 2x，
|a+b|=
=
==2，
因为x∈，所以cos x≥0，所以|a+b|=2cos x.
答案
(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的值.
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答案
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由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x，
即f(x)=2cos2x-1-4λcos x
=2(cos x-λ)2-1-2λ2.
因为x∈，所以0≤cos x≤1.
①当λ<0时，当且仅当cos x=0时，
f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2，
由已知得-1-2λ2=-，解得λ=；
答案
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③当λ>1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-，解得λ=，这与λ>1相矛盾.
综上所述，λ=.
答案习题课　平面向量数量积的综合应用
［学习目标］　1.掌握平面向量数量积的计算、向量垂直的条件与数量积的性质.2.重视数形结合与转化化归思想的考查.
一、平面向量数量积的计算
例1　在△ABC中，AC=BC=3，AB=2，点M，N分别是边BC和AB上的点，且满足=2，=，则·=　　　　.
跟踪训练1　在△ABC中，已知与的夹角是90°，||=2，||=1，M是BC上的一点，且=λ+μ(λ，μ∈R)，且·=0，则的值为　　　.
二、平面向量数量积的应用
角度1　求模
例2　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|=，|b|=2，在△ABC中，=2a+2b，=2a-6b，D为BC的中点，则||=　　　.
角度2　求夹角
例3　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2=，设向量，的夹角为θ，则cos θ=　　　　.
角度3　垂直问题
例4　已知O为坐标原点，=(2，5)，=(3，1)，=(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
跟踪训练2　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，1)，若a⊥b，则b与a+b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.-
(2)已知向量a=(1，-)，a在b上的投影向量为b，|a+b|=，则|b|= 　.
三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题
例5　已知向量a=(sin x，cos x)，b=(，-1)，x∈［0，π］.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
跟踪训练3　已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a-b|=，求证：a⊥b；
(2)设c=(0，1)，若a+b=c，求cos(α-β)的值.
四、利用向量的数量积证明
例6　用向量法证明公式：sin 2α=2sin αcos α.
反思感悟　(1)运用向量工具进行探索证明可使证明过程简洁明了.
(2)一般地，若角α的终边与单位圆的交点为P，则P点坐标为(cos α，sin α)，从而=(cos α，sin α).
跟踪训练4　在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6).
(1)①证明：cos∠ABC+cos∠ADC=0；
②证明：存在点P，使得PA=PB=PC=PD，并求出P点的坐标；
(2)若点E在四边形ABCD的四条边上运动，且CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求点E的坐标.
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的计算及应用.
(2)平面向量的数量积与三角函数的综合问题.
(3)利用平面向量数量积证明.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：向量的夹角大小.
1.已知a=(m，1)，b=(2，6+m)，a⊥b，则|a-b|等于(　　)
A. B. C.2 D.5
2.已知点O(0，0)，A(-1，2)，B(1，1)，则与的夹角的余弦值为(　　)
A.- B. C.- D.
3.如果平面向量a=(2，1)，b=(1，3).那么下列结论中正确的是(　　)
A.|b|=3|a|
B.a∥b
C.a与b的夹角为
D.a在b上的投影向量的模为
4.已知向量a=(λ+1，2)，b=(-2，2)，若|a-2b|=|a+2b|，则λ等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-3
答案精析
例1　-
解析　以N为坐标原点，AB所在的直线为x轴，CN所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(-1，0)，B(1，0)，N(0，0)，
由AC=BC=3，AN=1可得CN==2，
所以C(0，2)，=(1，2)，
=(2，0)，
所以=+=+=+-)=+=(1，2)+(2，0)=，
又=(0，-2)，
所以·=×(-2)=-.
跟踪训练1　
例2　2
解析　因为=+)
=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b，
所以||2=4(a-b)2
=4(a2-2a·b+b2)
=4×=4，
则||=2.
例3　-
解析　因为2=，
所以E为BC的中点.
设正方形的边长为2，
则||=，||=2，
·=·(-)
=||2-||2+·
=×22-22=-2，
所以cos θ===-.
例4　解　假设存在点M，且=λ=(6λ，3λ)(0≤λ≤1).
则=(2-6λ，5-3λ)，
=(3-6λ，1-3λ)，
∵⊥，
∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0，
即45λ2-48λ+11=0，
解得λ=或λ=，
∴=(2，1)或=，
∴存在M(2，1)或M满足题意.
跟踪训练2　(1)A
(2)
解析　向量a=(1，-)，|a|=2，
a在b上的投影向量为b，
则·=b，得2a·b=|b|2，
|a+b|=，则(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|b|2=4+2|b|2=7，
解得|b|=.
例5　解　(1)因为a⊥b，
所以a·b=sin x-cos x=0，
于是tan x==，
又x∈［0，π］，所以x=.
(2)f(x)=a·b=(sin x，cos x)·(，-1)=sin x-cos x
=2sin.
因为x∈［0，π］，
所以x-∈，
从而-1≤2sin≤2，
于是，当x-=，即x=时，
f(x)取到最大值2；
当x-=-，即x=0时，
f(x)取到最小值-1.
跟踪训练3　(1)证明　由题意得|a-b|2=2，
即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2，
又因为a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，
所以2-2a·b=2，即a·b=0，
故a⊥b.
(2)解　因为a+b=(cos α+cos β，sin α+sin β)=(0，1)，
所以
由①得cos α=cos(π-β)，
由0<β<α<π，得0<π-β<π，
又0<α<π，故α=π-β，
代入②可得sin α=sin β=，而α>β，
所以α=，β=.
所以cos(α-β)=cos
=cos=-.
例6　证明　如图，在平面直角坐标系Oxy中，作单位圆O，令单位圆与x轴正半轴交点为A，以x轴的非负半轴为始边作角α，2α，使它们的终边与单位圆分别交于点C和点B，连接AB交OC于点M，则=(cos α，sin α)，
=(cos 2α，sin 2α)，
∵OA=OB=1，∠AOC=∠BOC=α，
∴OM⊥AB，AM=BM，
∴AB=2AM=2sin α，
取与y轴平行的单位向量为j，
∴j·=sin 2α，
∵=+，
∴j·=j·(+)
=j·+j·
=j·=|j|||cos
=||cos α=2sin αcos α，
∴sin 2α=2sin αcos α.
跟踪训练4　(1)①证明　因为A(2，0)，
B(10，0)，C(11，3)，D(10，6)，
所以=(-8，0)，=(1，3)，
=(-8，-6)，=(1，-3)，
得cos∠ABC===-，
cos∠ADC===，
所以cos∠ABC+cos∠ADC=0.
②证明　由PA=PB=PC=PD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心.
因为=(8，0)，=(0，6)，
=(9，3)，=(-1，3)，
所以·=0，·=0，
所以AB⊥BD，AC⊥CD，
四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，
所以点P的坐标为(6，3)，即存在点P，使得PA=PB=PC=PD，得证.
(2)解　易得AB=8，
BC=CD=，AD=10.
因为CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，
则点E在AD上，且=9.
设点E的坐标为(x，y)，则=(10-x，6-y)，=(x-2，y)，
所以
则
故点E的坐标为.
随堂演练
1.D　2.A　3.D　4.B习题课　平面向量中的最值与范围问题
［学习目标］　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.
一、线性运算中的最值与范围问题
例1　已知向量a，b，c满足a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b，则|c|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练1　设=(1，-2)，=(2m，-1)，=(-2n，0)(m，n∈R，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则m+n的最大值为(　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
二、向量数量积的最值与范围问题
例2　在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　)
A.［-1，8］ B.［-1，+∞)
C.［0，8］ D.［-1，0］
跟踪训练2　已知O为坐标原点，向量=(2，2)，=(4，1)，在x轴上取一点P使·取得最小值，则P点的坐标是(　　)
A.(-3，0) B.(2，0)
C.(3，0) D.(4，0)
三、向量模与夹角的最值问题
例3　已知|a|=1，向量b满足2|b-a|=b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为　　　　.
跟踪训练3　已知|a+b|=2，向量a，b的夹角为，则|a|+|b|的最大值为____________.
1.知识清单：
(1)线性运算中的最值与范围问题.
(2)向量数量积的最值与范围问题.
(3)向量模与夹角的最值问题.
2.方法归纳：转化与化归，数形结合.
3.常见误区：函数的最值范围问题的计算.
1.已知向量a=(1，0)，b=(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a+b|的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=，F是线段AB上的点，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.已知平面向量a与a+2b的夹角为30°，则的最大值为(　　)
A. B.2 C.4 D.8
4.平面向量a，b满足|a|=1，=1，记〈a，b〉=θ，则sin θ的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案精析
例1　B　［∵a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b=(3λ，4-4λ)，
∴|c|=
=
=≥=，
当且仅当λ=时，等号成立，故|c|的最小值为.］
跟踪训练1　A　［由题意易知，
∥，其中=-
=(2m-1，1)，=-
=(-2n-1，2)，
∴(2m-1)×2=1×(-2n-1)，
∴2m+1+2n=1，
∵2m+1+2n≥2
=2，
∴2m+n+1≤2-2，∴m+n≤-3(当且仅当m=-2，n=-1时取等号).］
例2　A　［由题意，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，
A=，
以A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(4，0)，D(1，)，
设P(x，)，则1≤x≤5，
所以=(-x，-)，
=(4-x，-)，
所以·=x(x-4)+3
=x2-4x+3=(x-2)2-1，
设f(x)=(x-2)2-1，可得f(x)在［1，2)上单调递减，在［2，5］上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=-1，f(x)max=f(5)=8，
所以·的取值范围是［-1，8］.］
跟踪训练2　C　［设P点坐标为(x，0)，
则=(x-2，-2)，=(x-4，-1)，
·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1，
当x=3时，·有最小值1，
此时P点坐标为(3，0).］
例3　
解析　∵|a|=1，∴设a=(1，0)，
b=(x，y)，
∴b-a=(x-1，y)，
由2|b-a|=b·a，
得2=x，则x>0，
∴4(x-1)2+4y2=x2，
∴y2=-x2+2x-1，
∴cos θ==
=
=
=
=，
∴当=1，即x=1时，cos θ取得最小值.
跟踪训练3　
解析　将|a+b|=2两边平方并化简得(|a|+|b|)2-|a||b|=4，由基本不等式得|a||b|≤=，故(|a|+|b|)2≤4，即(|a|+|b|)2≤，即|a|+|b|≤，当且仅当|a|=|b|=时，等号成立，所以|a|+|b|的最大值为.
随堂演练
1.D　2.B　3.C　4.A

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