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第六章
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一、向量的线性运算
二、向量的数量积运算
三、余弦定理、正弦定理
内容索引
四、正弦、余弦定理在实际问题中的应用
向量的线性运算
一
1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法和数乘运算.从形式上看，向量的线性运算类似于实数与多项式的运算法则，所以实数与多项式运算中的去括号、移项、合并同类项等规则在向量的线性运算中都可以使用.但这种相似仅仅是体现在形式上，在具体意义上则有明显不同，比如向量加法的运算法则是三角形法则和平行四边形法则等.本部分主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题.
2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.
(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于
A.(4，0) B.(0，4)
C.(4，-8) D.(-4，8)
例 1
√
因为a∥b，
所以1×4=-2×m，解得m=-2，
所以b=(-2，4)，
所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)=(4，-8).
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=AB，则等于
A.+ B.-
C.+ D.-
√
由题意，根据向量的运算法则，可得=-=-=-++)=-=×2-=-.
(1)向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)向量平行的等价条件
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b a=λb x1y2-x2y1=0.
(3)三点共线的等价条件
A，B，C三点共线 存在λ∈R，使得=λ成立 存在m，n∈R，使得=m+n成立，其中m+n=1.
反
思
感
悟
跟踪训练 1
　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于
A. B.
C. D.2
√
因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+)
=(λ-μ)+，
且=+解得所以λ+μ=.
二
向量的数量积运算
1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
例 2
　(1)已知平面上有三点A，B，C，已知AB=3，D是线段BC上靠近B的一个四等分点.若AD⊥AB，则·的值是
A.27 B.-27 C.9 D.-9
√
由D是线段BC上靠近B的一个四等分点，
可得=4，
又由AD⊥AB，可得·=0，
所以=-=4+=4(-)+=4-3，
则·=·(4-3)=4·-3=-27.
(2)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则·的取值范围是　　　　　　.
［1，4］
设==λ(0≤λ≤1)，
则=λ=λ=(1-λ)=(1-λ)，
则·=(+)·(+)=(+λ)·［+(1-λ)］
=·+(1-λ)+λ+λ(1-λ)·.
又∵AB⊥AD，∴·=0，
∴·=(1-λ)+λ=4(1-λ)+λ=4-3λ.
∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，
即·的取值范围是［1，4］.
反
思
感
悟
(1)向量数量积的两种计算方法
①定义法：当已知向量的模和夹角θ时，a·b=|a||b|cos θ，有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线定理去表示向量；
②坐标法：当已知向量的坐标a=(x1，y1)，b=(x2，y2)时，a·b=x1x2+y1y2.
反
思
感
悟
(2)利用向量数量积可以解决以下问题
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
①两向量垂直的等价条件
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)；
②求向量的模的问题
|a|=；
③两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ==.
　(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则·的值为
A.- B.-2 C. D.2
跟踪训练 2
√
因为=-=-，
所以·=(-)·(-)
=·
=·
=-+·-
=-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2.
(2)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则
a+b与b+c所成角的余弦值为　　　　.
因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c，
所以=，1×(-1)+(-2)μ=0，
解得λ=-4，μ=-，
所以a=(2，-4)，c=，
所以a+b=(3，-6)，b+c=，
所以cos〈a+b，b+c〉===.
余弦定理、正弦定理
三
1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用.
2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养.
在①b2+ac=a2+c2；②acos B=bsin A；③sin B+cos B=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解决问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，　　　　，A=，b=，求△ABC的面积.
例 3
若选择条件①b2+ac=a2+c2，
则由余弦定理的推论，得cos B===，
因为B∈(0，π)，所以B=；
由正弦定理=，得a===，
因为A=，B=，所以C=π--=，
所以sin C=sin =sin=sin cos +cos sin =.
所以S△ABC=absin C=×××=.
若选择条件②acos B=bsin A，
则由正弦定理，得sin Acos B=sin Bsin A，
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B=cos B，
因为B∈(0，π)，所以B=.
下同①.
若选择条件③sin B+cos B=，
则sin=，所以sin=1，
因为B∈(0，π)，所以B+∈，
所以B+=，所以B=.
下同①.
反
思
感
悟
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B A=B；sin(A-B)=0 A=B；sin 2A=sin 2B
A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A
=等，通过代数变换将角的关系化为边的关系.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin C
=csin.
(1)求A；
跟踪训练 3
由已知及正弦定理，得
sin Asin C=sin Csin ，又因为sin =sin =cos ，
所以sin Asin C=sin Ccos .
因为sin C≠0，所以sin A=cos ，
所以2sin cos =cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以sin ==，所以A=.
(2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足S△ABD=3S△ADC，求AD.
设∠BDA=α，则∠ADC=π-α，
在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=12+32-6cos =7，
解得a=.
因为S△ABD=3S△ADC，所以BD=3DC=.
在△ABD中，由余弦定理，得9=+AD2-·AD·cos α， ①
在△ADC中，由余弦定理，得1=+AD2-·AD·cos(π-α)， ②
由①②解得AD=.
四
正弦、余弦定理在实际问题中的应用
1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养.
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
例 4
①需要测量的数据有：A点观测M，N的俯角α1，β1；B点观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示).
②方法一　第一步：计算AM.
在△ABM中，由正弦定理，得AM=；
第二步：计算AN.
在△ABN中，由正弦定理，得AN=；
第三步：计算MN.
在△AMN中，由余弦定理，MN=.
方法二　第一步：计算BM.
在△ABM中，由正弦定理，得BM=；
第二步：计算BN.
在△ABN中，由正弦定理，得BN=；
第三步：计算MN.
在△BMN中，由余弦定理，得MN=.
反
思
感
悟
正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.
跟踪训练 4
如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处，
即BC=40，∠CAB=135°，∠ABC=30°，
∠ACB=15°.
在△ABC中，
=，
即=，解得AC=20.
过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接EG，此时仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面积公式知×BC×AG=×AC×BC×sin∠ACB.
∴AG=
=AC×sin∠ACB=20sin 15°=10(-1).
在Rt△AEG中，∵AE=AGtan∠AGE，
∴AE=10(-1)×=，
故塔高为 m.一、向量的线性运算
1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法和数乘运算.从形式上看，向量的线性运算类似于实数与多项式的运算法则，所以实数与多项式运算中的去括号、移项、合并同类项等规则在向量的线性运算中都可以使用.但这种相似仅仅是体现在形式上，在具体意义上则有明显不同，比如向量加法的运算法则是三角形法则和平行四边形法则等.本部分主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题.
2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.
例1　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于(　　)
A.(4，0) B.(0，4)
C.(4，-8) D.(-4，8)
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=AB，则等于(　　)
A.+ B.-
C.+ D.-
反思感悟　(1)向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)向量平行的等价条件
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b a=λb x1y2-x2y1=0.
(3)三点共线的等价条件
A，B，C三点共线 存在λ∈R，使得=λ成立 存在m，n∈R，使得=m+n成立，其中m+n=1.
跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
二、向量的数量积运算
1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
例2　(1)已知平面上有三点A，B，C，已知AB=3，D是线段BC上靠近B的一个四等分点.若AD⊥AB，则·的值是(　　)
A.27 B.-27 C.9 D.-9
(2)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则·的取值范围是　　　　.
反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法
①定义法：当已知向量的模和夹角θ时，a·b=|a||b|cos θ，有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线定理去表示向量；
②坐标法：当已知向量的坐标a=(x1，y1)，b=(x2，y2)时，a·b=x1x2+y1y2.
(2)利用向量数量积可以解决以下问题
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
①两向量垂直的等价条件
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)；
②求向量的模的问题
|a|=；
③两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ==.
跟踪训练2　(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则·的值为(　　)
A.- B.-2 C. D.2
(2)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a+b与b+c所成角的余弦值为　　　　.
三、余弦定理、正弦定理
1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用.
2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养.
例3　在①b2+ac=a2+c2；②acos B=bsin A；③sin B+cos B=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解决问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，　　　　，A=，b=，求△ABC的面积.
反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B A=B；sin(A-B)=0 A=B；sin 2A=sin 2B A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A=等，通过代数变换将角的关系化为边的关系.
跟踪训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin C=csin.
(1)求A；
(2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足S△ABD=3S△ADC，求AD.
四、正弦、余弦定理在实际问题中的应用
1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养.
例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
跟踪训练4　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.
答案精析
例1　(1)C　［因为a∥b，
所以1×4=-2×m，解得m=-2，
所以b=(-2，4)，
所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)
=(4，-8).］
(2)D　［由题意，根据向量的运算法则，可得=-=-
=-++)
=-=×2-
=-.］
跟踪训练1　B　［因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+)
=(λ-μ)+，
且=+，所以
解得所以λ+μ=.］
例2　(1)B　［由D是线段BC上靠近B的一个四等分点，
可得=4，
又由AD⊥AB，可得·=0，
所以=-=4+
=4(-)+=4-3，
则·=·(4-3)
=4·-3=-27.］
(2)［1，4］
解析　设==λ(0≤λ≤1)，
则=λ=λ，=(1-λ)
=(1-λ)，
则·=(+)·(+)
=(+λ)·［+(1-λ)］
=·+(1-λ)+λ+λ(1-λ)·.
又∵AB⊥AD，∴·=0，
∴·=(1-λ)+λ
=4(1-λ)+λ=4-3λ.
∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，
即·的取值范围是［1，4］.
跟踪训练2　(1)B　［因为=-，=-，
所以·=(-)·(-)
=·
=·
=-+·-
=-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2.］
(2)
解析　因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c，
所以=，1×(-1)+(-2)μ=0，
解得λ=-4，μ=-，
所以a=(2，-4)，c=，
所以a+b=(3，-6)，b+c=，
所以cos〈a+b，b+c〉===.
例3　解　若选择条件①b2+ac=a2+c2，
则由余弦定理的推论，得cos B===，
因为B∈(0，π)，所以B=；
由正弦定理=，
得a===，
因为A=，B=，
所以C=π--=，
所以sin C=sin =sin=
sin cos +cos sin =.
所以S△ABC=absin C=×××=.
若选择条件②acos B=bsin A，
则由正弦定理，
得sin Acos B=sin Bsin A，
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以sin B=cos B，
因为B∈(0，π)，所以B=.
下同①.
若选择条件③sin B+cos B=，
则sin=，
所以sin=1，
因为B∈(0，π)，
所以B+∈，
所以B+=，所以B=.
下同①.
跟踪训练3　解　(1)由已知及正弦定理，得
sin Asin C=sin Csin ，
又因为sin =sin =cos ，
所以sin Asin C=sin Ccos .
因为sin C≠0，
所以sin A=cos ，
所以2sin cos =cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以sin =，即=，
所以A=.
(2)设∠BDA=α，则∠ADC=π-α，
在△ABC中，由余弦定理，
得a2=b2+c2-2bccos∠BAC
=12+32-6cos =7，
解得a=.
因为S△ABD=3S△ADC，
所以BD=3DC=.
在△ABD中，由余弦定理，得9=+AD2-·AD·cos α， ①
在△ADC中，由余弦定理，得1=+AD2-·AD·cos(π-α)， ②
由①②解得AD=.
例4　解　①需要测量的数据有：A点观测M，N的俯角α1，β1；B点观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示).
②方法一　第一步：计算AM.
在△ABM中，由正弦定理，
得AM=；
第二步：计算AN.
在△ABN中，由正弦定理，
得AN=；
第三步：计算MN.
在△AMN中，由余弦定理，得MN=
.
方法二　第一步：计算BM.
在△ABM中，由正弦定理，
得BM=；
第二步：计算BN.
在△ABN中，由正弦定理，
得BN=；
第三步：计算MN.
在△BMN中，由余弦定理，得MN=
.
跟踪训练4　解
如图所示，
设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处，
即BC=40，
∠CAB=135°，
∠ABC=30°，∠ACB=15°.
在△ABC中，
=，
即=，解得AC=20.
过点A作AG⊥BC，垂足为G，
连接EG，此时仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面积公式知
×BC×AG=×AC×BC×sin∠ACB.
∴AG=
=AC×sin∠ACB=20sin 15°
=10(-1).
在Rt△AEG中，
∵AE=AGtan∠AGE，
∴AE=10(-1)×=，
故塔高为 m.

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