资源简介

(共68张PPT)
第七章
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7.2.1
复数的加、减运算及其几何意义
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.(重点)
2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点)
3.掌握复平面上两点间的距离公式.(重点)
学习目标
实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？
导 语
一、复数的加、减法运算
二、复数加、减法的几何意义
课时对点练
三、复平面上两点间的距离公式及其应用
随堂演练
内容索引
一
复数的加、减法运算
1.复数加、减法的运算法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
2.复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)(交换律)z1+z2= ；
(2)(结合律)(z1+z2)+z3= .
z2+z1
z1+(z2+z3)
　(1)复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=　　　　.
例 1
复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i.
9+i
(2)化简：(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a，b∈R).
(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+［b-(-3b)-3］i=-a+(4b-3)i.
复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).
反
思
感
悟
复数加、减运算的解题思路
　若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是
A.-4 B.4 C.4i D.-4i
跟踪训练 1
√
因为z+(3-4i)=1，
则z=1-3+4i=-2+4i，故z的虚部为4.
二
复数加、减法的几何意义
我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
问题1
提示　设=(a，b)，=(c，d)，则+=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d).
几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线.
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数 对应，向量与复数 对应.
z1+z2
如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：
(1)对应的复数；
例 2
因为=-，
所以对应的复数为-3-2i.
(2)对应的复数；
因为=-，
所以对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对应的复数及||的长度.
因为=+，
所以对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
所以||==.
反
思
感
悟
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.
复数与向量的对应关系的两个关注点
　(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是-2+i，3+2i，则||=　　　　.
跟踪训练 2
∵=+，
∴对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i，
∴||==.
(2)若z1=1+2i，z2=2+ai，复数z2-z1在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是　　　　.
z2-z1=1+(a-2)i，由题意知a-2<0，即a<2.
(-∞，2)
三
复平面上两点间的距离公式及其应用
根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1(x1，y1)，
Z2(x2，y2)之间的距离吗？
问题2
提示　因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|=||=|z2-z1|
=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=.
　(1)在复平面内点A，C分别对应于复数-1+i，-4-3i，则A，C两点间的距离为　　.
例 3
5
依题意得对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i，
所以A，C两点间的距离为|AC|=||=|-3-4i|==5.
(2)(多选)设z∈C，且|z+1|-|z-i|=0，则|z+i|的值可以是
A.0 B.1 C. D.
√
√
由|z+1|-|z-i|=0，得|z+1|=|z-i|.
∴复数z在复平面内对应点Z在以A(-1，0)，B(0，1)为端点的线段的垂直平分线OM上，
设复数-i在复平面内的对应点为C(0，-1)，|z+i|则表示点Z到点C(0，-1)的距离，
∴当CM⊥OM时，|z+i|取到最小值|CM|.
又|CM|=|OC|sin 45°=，
∴|z+i|≥.
反
思
感
悟
由复数减法的几何意义，可得复平面上两点间的距离公式d=|z1-z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2所对应的复数，d表示点Z1和Z2之间的距离.
　设复数z=a+bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z+1|的取值范围是　　　　.
跟踪训练 3
［0，3］
由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤
2表示如图所示的圆环(包括边界)，而|z+1|表示复数z在复平面内的对应点A(a，b)与复数z1=-1在复平面内的对应点B(-1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当点A与点B重合时，dmin=0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax=3，∴0≤|z+1|≤3.
1.知识清单：
(1)复数代数形式的加、减运算法则.
(2)复数加、减法的几何意义.
(3)复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳：类比、数形结合.
3.常见误区：忽略模的几何意义.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.计算：(1-i)-(2+i)+3i等于
A.-1+i B.1-i C.i D.-i
√
原式=1-i-2-i+3i=-1+i.
2.已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1
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4
√
z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.
故z在复平面内对应的点为(-1，-3)，位于第三象限.
3.两个复数z1=2+5i，z2=3-i在复平面内对应的两点之间的距离为　　　.
1
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3
4
|z1-z2|===.
4.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i，则点C对应的复数是　　　　.
1
2
3
4
由题意知，对应的复数为3+2i，对应的复数为2-4i，又=+，
所以对应的复数为(3+2i)+(2-4i)=5-2i，所以点C对应的复数是5-2i.
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C C AC B 9π 3+3
题号 11 12 13 14 15
答案 A C BC 1 BD
对一对
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9.
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=-7i+5-9+8i+3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.
(2)+(2-i)-
=+i+2-i-+i
=+i=1+i.
答案
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9.
(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)
=1+5i，
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
答案
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10.
设对应的复数为z1，
对应的复数为z2，
则+对应的复数为z1+z2，-对应的复数为z1-z2，
因为|z1|=|z2|=3，
且|z1-z2|=3，
所以△AOB为等腰直角三角形，
且||=3.
答案
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10.
作正方形AOBC，
如图所示，
则+=对应的复数为z1+z2，
故|z1+z2|=||=||=3.
答案
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16.
(1)∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，
=-，
∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+，
∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
∵=，∴向量对应的复数为3-i，
∵=+，∴点D对应的复数为(2+i)+(3-i)=5.
答案
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答案
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(2)∵cos B====，B∈(0，π)，∴sin B=.
∴S ABCD=||||sin B=××=7，
故 ABCD的面积为7.
1.复数z1=2-i，z2=-2i，则z1+z2等于
A.0 B.+i
C.-i D.-i
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基础巩固
√
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z1+z2=-i=-i.
答案
2.若z+3-2i=4+i，则z等于
A.1+i B.1+3i
C.-1-i D.-1-3i
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√
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z=4+i-(3-2i)=1+3i.
答案
3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1-z2对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
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由图可知=(-2，-1)，=(0，1)，
所以z1=-2-i，z2=i，
因此z1-z2=-2-i-i=-2-2i，
所以z1-z2在复平面内所对应的点为(-2，-2)，
在第三象限.
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答案
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4.已知复数z1=(a2-2)-3ai，z2=a+(a2+2)i，若z1+z2是纯虚数，那么实数a的值为
A.1 B.2 C.-2 D.-2或1
√
16
由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数，得得a=-2.
答案
5.(多选)若z-=-14i，||=5，则复数z可能为
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
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√
设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，
由题意可得解得
所以z=1-7i或z=-1-7i.
16
√
答案
6.若|z-1|=|z+1|，则复数z在复平面内对应的点在
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
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∵|z-1|=|z+1|，
∴复数z在复平面内的对应点Z到(1，0)和(-1，0)的距离相等，即点Z在以(1，0)和(-1，0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上.
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答案
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7.若复数z满足|z-i|=3，则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为　　　.
由条件知|z-i|=3，所以点Z的轨迹是以(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积S=9π.
9π
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答案
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8.设f(z)=z-3i+|z|，若复数z1，z2满足z1=-2+4i，z2=5-i，则f(z1+z2)=　　　　.
3+3
16
z1+z2=3+3i，故f(z1+z2)=f(3+3i)=3+|3+3i|=3+3.
答案
9.计算：
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)；
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(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=-7i+5-9+8i+3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.
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答案
(2)+(2-i)-；
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+(2-i)-=+i+2-i-+i
=+i=1+i.
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答案
(3)已知复数z1=2+3i，z2=-1+2i，求z1+z2，z1-z2.
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z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i，
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
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答案
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10.在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=3，且|z1-z2|=3，求|z1+z2|.
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答案
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设对应的复数为z1，对应的复数为z2，
则+对应的复数为z1+z2，-对应的复数为z1-z2，
因为|z1|=|z2|=3，且|z1-z2|=3，
所以△AOB为等腰直角三角形，
且||=3.
作正方形AOBC，如图所示，
则+=对应的复数为z1+z2，
故|z1+z2|=||=||=3.
答案
11.复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5+2i，则由A，B，C所构成的三角形是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
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综合运用
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答案
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∵|AB|=|2i-1|=，
|AC|=|4+2i|=2，|BC|=5，
∴|BC|2=|AB|2+|AC|2，即构成的三角形是直角三角形.
16
答案
12.已知z1，z2∈C，且|z1|=1，若z1+z2=2，则|z1-z2|的最大值是
A.6 B.5 C.4 D.3
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答案
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设z1=a+bi，a，b∈R，
由于|z1|=1，
故a2+b2=1，且a∈［-1，1］，
又z1+z2=2，则z2=2-a-bi，
故|z1-z2|=|2a-2+2bi|=
==，
当a=-1时，|z1-z2|有最大值为4.
答案
13.(多选)已知复数z=(3+i)m-(2+i)，则复数z在复平面内对应的点在第三象限的充分不必要条件是
A.m< B.C.m< D.m<1
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√
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答案
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z=(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i，因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，
所以解得m<，
由充分不必要条件的定义可知BC正确.
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答案
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14.若复数z满足|z-2|=|z+2|，则|z-1|的最小值是　　　.
1
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由|z-2|=|z+2|，知z在复平面内对应点的集合是到(2，0)与到(-2，0)距离相等的点的集合，即虚轴.∵|z-1|表示z在复平面内对应的点与(1，0)的距离.∴|z-1|min=1.
答案
15.(多选)复数z1=1+icos θ，z2=sin θ-i，则|z1-z2|的值可以是
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
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拓广探究
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|z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|=
==.
∵-1≤cos≤1，
∴|z1-z2|∈［-1，+1］.
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答案
16.已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，O为坐标原点.
(1)求点C，D对应的复数；
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答案
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∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，=-，
∴向量对应的复数为
(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+，
∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
∵=，∴向量对应的复数为3-i，
∵=+，
∴点D对应的复数为(2+i)+(3-i)=5.
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答案
(2)求 ABCD的面积.
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答案
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∵cos B====，B∈(0，π)，∴sin B=.
∴S ABCD=||||sin B=××=7，
故 ABCD的面积为7.
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答案7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
［学习目标］　1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.3.掌握复平面上两点间的距离公式.
一、复数的加、减法运算
知识梳理
1.复数加、减法的运算法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
2.复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)(交换律)z1+z2=　　　　；
(2)(结合律)(z1+z2)+z3= 　.
例1　(1)复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=　　　　.
(2)化简：(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a，b∈R).
跟踪训练1　若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是(　　)
A.-4 B.4 C.4i D.-4i
二、复数加、减法的几何意义
问题1　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
知识梳理
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数　　　　　　对应，向量与复数　　　　　　对应.
例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：
(1)对应的复数；
(2)对应的复数；
(3)对应的复数及||的长度.
跟踪训练2　(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是-2+i，3+2i，则||=　　　　.
(2)若z1=1+2i，z2=2+ai，复数z2-z1在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是　　　　.
三、复平面上两点间的距离公式及其应用
问题2　根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离吗？
例3　(1)在复平面内点A，C分别对应于复数-1+i，-4-3i，则A，C两点间的距离为　　　　.
(2)(多选)设z∈C，且|z+1|-|z-i|=0，则|z+i|的值可以是(　　)
A.0 B.1 C. D.
跟踪训练3　设复数z=a+bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z+1|的取值范围是　　　　.
1.知识清单：
(1)复数代数形式的加、减运算法则.
(2)复数加、减法的几何意义.
(3)复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳：类比、数形结合.
3.常见误区：忽略模的几何意义.
1.计算：(1-i)-(2+i)+3i等于(　　)
A.-1+i B.1-i C.i D.-i
2.已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.两个复数z1=2+5i，z2=3-i在复平面内对应的两点之间的距离为　　　　.
4.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i，则点C对应的复数是　　　　　　.
答案精析
知识梳理
2.(1)z2+z1　(2)z1+(z2+z3)
例1　(1)9+i
解析　复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)
=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i.
(2)解　(a+bi)-(2a-3bi)-3i
=(a-2a)+［b-(-3b)-3］i
=-a+(4b-3)i.
跟踪训练1　B　［因为z+(3-4i)=1，
则z=1-3+4i=-2+4i，故z的虚部为4.］
问题1　设=(a，b)，=(c，d)，则+=(a，b)+(c，d)
=(a+c，b+d).
几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线.
知识梳理
z1+z2　z1-z2
例2　解　(1)因为=-，
所以对应的复数为-3-2i.
(2)因为=-，
所以对应的复数为
(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为=+，
所以对应的复数为
(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
所以||==.
跟踪训练2　(1)　(2)(-∞，2)
问题2　因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为
|Z1Z2|=||=|z2-z1|
=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|
=|(x2-x1)+(y2-y1)i|
=.
例3　(1)5
解析　依题意得对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i，
所以A，C两点间的距离为
|AC|=||=|-3-4i|
==5.
(2)BC　［
由|z+1|-|z-i|=0，
得|z+1|=|z-i|.
∴复数z在复平面内对应点Z在以A(-1，0)，B(0，1)为端点的线段的垂直平分线OM上，
设复数-i在复平面内的对应点为C(0，-1)，|z+i|则表示点Z到点C(0，-1)的距离，
∴当CM⊥OM时，|z+i|取到最小值|CM|.
又|CM|=|OC|sin 45°=，
∴|z+i|≥.］
跟踪训练3　［0，3］
解析　由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环(包括边界)，而|z+1|表示复数z在复平面内的对应点A(a，b)与复数z1=-1在复平面内的对应点B(-1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当点A与点B重合时，dmin=0，
当点A与点C(2，0)重合时，dmax=3，
∴0≤|z+1|≤3.
随堂演练
1.A　2.C　3.　4.5-2i作业21　复数的加、减运算及其几何意义
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.复数z1=2-i，z2=-2i，则z1+z2等于(　　)
A.0 B.+i
C.-i D.-i
2.若z+3-2i=4+i，则z等于(　　)
A.1+i B.1+3i
C.-1-i D.-1-3i
3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1-z2对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知复数z1=(a2-2)-3ai，z2=a+(a2+2)i，若z1+z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　)
A.1 B.2 C.-2 D.-2或1
5.(多选)若z-=-14i，||=5，则复数z可能为(　　)
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
6.若|z-1|=|z+1|，则复数z在复平面内对应的点在 (　　)
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
7.(5分)若复数z满足|z-i|=3，则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为　　　　.
8.(5分)设f(z)=z-3i+|z|，若复数z1，z2满足z1=-2+4i，z2=5-i，则f(z1+z2)=　　　　.
9.(10分)计算：
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)；(3分)
(2)+(2-i)-；(4分)
(3)已知复数z1=2+3i，z2=-1+2i，求z1+z2，z1-z2.(3分)
10.(10分)在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=3，且|z1-z2|=3，求|z1+z2|.
11.复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5+2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
12.已知z1，z2∈C，且|z1|=1，若z1+z2=2，则|z1-z2|的最大值是(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
13.(多选)已知复数z=(3+i)m-(2+i)，则复数z在复平面内对应的点在第三象限的充分不必要条件是(　　)
A.m< B.C.m< D.m<1
14.(5分)若复数z满足|z-2|=|z+2|，则|z-1|的最小值是　　　　.
15.(多选)复数z1=1+icos θ，z2=sin θ-i，则|z1-z2|的值可以是(　　)
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
16.(12分)已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，O为坐标原点.
(1)求点C，D对应的复数；(6分)
(2)求 ABCD的面积.(6分)
答案精析
1.C　2.B　3.C　4.C　5.AC　6.B
7.9π　8.3+3
9.解　(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=-7i+5-9+8i+3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.
(2)+(2-i)-
=+i+2-i-+i
=+i
=1+i.
(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)
=1+5i，
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
10.解　设对应的复数为z1，
对应的复数为z2，
则+对应的复数为z1+z2，-对应的复数为z1-z2，
因为|z1|=|z2|=3，
且|z1-z2|=3，
所以△AOB为等腰直角三角形，
且||=3.
作正方形AOBC，
如图所示，
则+=对应的复数为z1+z2，
故|z1+z2|=||=||=3.
11.A　12.C　13.BC　14.1　15.BD
16.解　(1)∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，
=-，
∴向量对应的复数为
(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+，
∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)
=4-2i.
∵=，
∴向量对应的复数为3-i，
∵=+，
∴点D对应的复数为(2+i)+(3-i)=5.
(2)∵cos B====，B∈(0，π)，
∴sin B=.
∴S ABCD=||||sin B
=××=7，
故 ABCD的面积为7.

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