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第七章
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章末复习课
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一、复数的概念及其几何意义
二、复数的四则运算
三、复数的综合应用
内容索引
复数的概念及其几何意义
一
1.复数的相关概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、共轭复数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
2.理解复数的几何意义
复数z=a+bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b) 平面向量.
　(1)以下命题中，正确的是
A.如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数
B.如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C.在复平面内，虚轴上的点与纯虚数一一对应
D.在复平面内，实轴上的点与实数一一对应
例 1
√
(a+bi)-(a-bi)=2bi(a，b∈R)，
当b=0时，2bi不是纯虚数，故A错误；
如果a+bi=c+di，当a，b，c，d∈R时，a=c，b=d，故B错误；
在复平面内，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；
在复平面内，实轴上的点与实数一一对应，故D正确.
(2)已知复数z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)，z3=1-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若=2+，则a=　　　，b=　　　.
-3
-10
∵=2+，
∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)=(4+a)+(6+b)i，
即∴
(1)当复数不是a+bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a+bi的形式，以便确定其实部和虚部.
(2)在复平面内，利用复数、点、平面向量之间的一一对应关系解决问题.
反
思
感
悟
处理复数概念问题的两个注意点
跟踪训练 1
　(1)若复数z=1+i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2+的虚部为
A.0 B.-1 C.1 D.-2
√
因为z=1+i，所以=1-i，
所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.
(2)若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数的点是
A.E B.F
C.G D.H
√
∵点Z(3，1)对应的复数为z，
∴z=3+i，
∴====2-i，
∴该复数在复平面内对应的点的坐标是(2，-1)，即H点.
二
复数的四则运算
1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主.
2.通过对复数运算的学习，提升数学运算素养.
例 2
计算：
(1)+；
+=+
=i(1+i)+=-1+i+(-i)1 012
=-1+i+1=i.
(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)
=22-14i+25-25i=47-39i.
反
思
感
悟
(1)复数代数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
(2)在复数的四则运算中，将含有虚数单位i的和不含i的分别看作同类项，进行合并即可.
进行复数代数运算的策略
　(1)复数z满足z(+1)=1+i，其中i是虚数单位，则z等于
A.1+i或-2+i B.i或1+i
C.i或-1+i D.-1-i或-2+i
跟踪训练 2
√
设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，
由z(+1)=1+i，得a2+b2+a+bi=1+i，
所以b=1，a2+a+1=1，所以a=0或a=-1.
故z=i或z=-1+i.
(2)已知z=-，则z100+z50+1的值为
A.i B.-i C.1+i D.1-i
√
因为z2===-i，
所以z100+z50+1=(z2)50+(z2)25+1
=(-i)50+(-i)25+1
=i50-i25+1=i2-i+1=-i.
复数的综合应用
三
1.复数具有代数形式，且复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，故复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇.
2.通过复数与向量、方程、函数等知识的交汇，培养逻辑推理、数学运算素养.
　(多选)已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2-i|=1，则下列结论正确的是
A.点P1在复平面内的坐标为(2，-2)
B.=2+2i
C.|z1-z2|的最大值为+1
D.|z2|的最小值为1
例 3
√
√
√
复数z1=2-2i在复平面内对应的点为P1，则P1(2，-2)，=2+2i.
复数z2满足|z2-i|=1，则z2对应的点的轨迹为以C(0，1)为圆心，1为半径的圆.
∴|z1-z2|的最大值为
|CP1|+1=+1=+1.
记复平面内坐标原点为O，
∴|z2|的最小值为|CO|-1=0.
反
思
感
悟
在解决一些关于|z1-z2|最值的问题时，常把|z1-z2|理解成z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
　已知复数z满足|z|=2，则|z-3-4i|的最大值为
A.3 B.5 C.7 D.9
跟踪训练 3
√
由于|z|=2，则z在复平面内对应的点Z(x，y)是以原点为圆心，以2为半径的圆，∵|z-3-4i|表示点Z(x，y)到点(3，4)的距离，
∴|z-3-4i|max=+2=7.一、复数的概念及其几何意义
1.复数的相关概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、共轭复数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
2.理解复数的几何意义
复数z=a+bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)平面向量.
例1　(1)以下命题中，正确的是(　　)
A.如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数
B.如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C.在复平面内，虚轴上的点与纯虚数一一对应
D.在复平面内，实轴上的点与实数一一对应
(2)已知复数z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)，z3=1-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若=2+，则a=　　　，b=　　.
跟踪训练1　(1)若复数z=1+i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2+的虚部为(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.-2
(2)若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)
A.E B.F C.G D.H
二、复数的四则运算
1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主.
2.通过对复数运算的学习，提升数学运算素养.
例2　计算：
(1)+；
(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
反思感悟　进行复数代数运算的策略
(1)复数代数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
(2)在复数的四则运算中，将含有虚数单位i的和不含i的分别看作同类项，进行合并即可.
跟踪训练2　(1)复数z满足z(+1)=1+i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)
A.1+i或-2+i B.i或1+i
C.i或-1+i D.-1-i或-2+i
(2)已知z=-，则z100+z50+1的值为(　　)
A.i B.-i C.1+i D.1-i
三、复数的综合应用
1.复数具有代数形式，且复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，故复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇.
2.通过复数与向量、方程、函数等知识的交汇，培养逻辑推理、数学运算素养.
例3　(多选)已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2-i|=1，则下列结论正确的是(　　)
A.点P1在复平面内的坐标为(2，-2)
B.=2+2i
C.|z1-z2|的最大值为+1
D.|z2|的最小值为1
反思感悟　在解决一些关于|z1-z2|最值的问题时，常把|z1-z2|理解成z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
跟踪训练3　已知复数z满足|z|=2，则|z-3-4i|的最大值为(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
答案精析
例1　(1)D　［(a+bi)-(a-bi)=2bi(a，b∈R)，
当b=0时，2bi不是纯虚数，故A错误；如果a+bi=c+di，当a，b，c，d∈R时，a=c，b=d，故B错误；在复平面内，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；在复平面内，实轴上的点与实数一一对应，故D正确.］
(2)-3　-10
解析　∵=2+，
∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)
=(4+a)+(6+b)i，
即∴
跟踪训练1　(1)A　(2)D
例2　解　(1)+
=+
=i(1+i)+
=-1+i+(-i)1 012=-1+i+1=i.
(2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i.
跟踪训练2　(1)C　(2)B
例3　ABC　［复数z1=2-2i在复平面内对应的点为P1，
则P1(2，-2)，=2+2i.
复数z2满足|z2-i|=1，则z2对应的点的轨迹为以C(0，1)为圆心，1为半径的圆.
∴|z1-z2|的最大值为
|CP1|+1=+1
=+1.
记复平面内坐标原点为O，
∴|z2|的最小值为|CO|-1=0.］
跟踪训练3　C

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