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A
B
C
D
任务一 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗 为什么
任务二 怎样转动其中一张纸条，使纸条重合部分构成的四边形 ABCD 是一个正方形.
情景导入
第十八章 平行四边形
模块三
如何判定平行四边形家族4
(菱形与正方形)
同样，我们是否可以通过研究菱形性质的逆命题，得到判定菱形的方法呢？ 请你根据菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，写下自己的猜想.
菱形的性质 菱形的判定
菱形的对角线相互垂直 猜想1
菱形的四条边都相等 猜想2
猜想3
菱形的判定
探究新知
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
归纳总结
菱形的判定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
归纳总结
菱形的判定定理2
四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
文字语言 图形语言 符号语言
判定方法1
判定 方法2
判定方法3
菱形的判定：
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
归纳总结
例1 如图，□ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
∵ AB = 5，AO = 4，BO = 3，
证明：
∴ AC⊥BD.
∴ AB2 = AO2 + BO2.
∴△OAB 是直角三角形，
∴ □ABCD 是菱形.
典例精析
练一练
2.一边长为13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和10 cm，则平行四边形的面积是 .
120 cm2
1. 判断下列说法是否正确
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
正方形的判定
做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
矩形
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
常用的正方形判定方法：
归纳总结
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE = BF = CM = DN，
∠A =∠B =∠C =∠D，
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四边形 EFMN 是菱形.
又∵∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF)
= 180° - (∠AEN+∠ANE) = 180° - 90° = 90°.
∴ 四边形 EFMN 是正方形.
3. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形
B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形
C．当 ∠ABC = 90° 时，四边形 ABCD 是矩形
D．当 AC = BD 时，
四边形 ABCD 是正方形
D
练一练
A
B
C
D
1. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗 为什么
2. 怎样转动其中一张纸条，使纸条重合部分构成的四边形 ABCD 是一个正方形.
是一个菱形.
使两纸片垂直
回顾导入
A
B
C
D
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直且相等
当堂小结
课堂练习
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，
∴∠DAO = ∠ECO，
∴ △ADO≌△CEO(ASA)．∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°，
∴ 四边形 ADCE 是菱形．
B
C
A
D
O
E
M
N
3. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形.
4. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.
∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在 Rt△ABC 中，
∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．模块三 单课时作业
如何判定平行四边形家族
(菱形与正方形)
1．（2023春 西华县期末）在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（　D　）
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量四个内角是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直
D．测量四条边是否相等
解题模型：几何图形中的数形结合思想
2．（2023春 云南期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，在条件：①AB=AD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边形ABCD是菱形，可选择的条件是（　C　）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
3．（2023春 台江区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE，则下列结论中正确的个数是（　B　）
①△ABE≌△CDF
②四边形AECF是平行四边形
③当AB=AD时，四边形AECF是菱形
④当M、N分别是BC、AD中点时，四边形AMCN是正方形
A．4 B．3 C．2 D．1
4.（2022春 夏邑县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD = 时，平行四边形CDEB为菱形．
5.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形.
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，
∴∠DAO = ∠ECO，
∴ △ADO≌△CEO(ASA)．∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°，
∴ 四边形 ADCE 是菱形．
6.如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC ，对角线 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 M、N.
(1) 求证：∠ADB =∠CDB；
(2) 若 ADC = 90°，求证：四边形 MPND 是正方形.
证明：(1) ∵ BD 平分∠ABC.
∴∠1 =∠2.
又∵ AB = BC，BD = BD，
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB =∠CDB.
（2）∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD = ∠PND = 90°.
又∵∠ADC = 90°，
∴ 四边形 MPND 是矩形.
∵∠ADB = ∠CDB，
∴∠ADB = 45°.
∴∠MPD = 45°.
∴ DM = PM.
∴ 四边形 MPND 是正方形.
7.（2023春 建昌县期末）如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B=90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF=6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
【解答】（1）证明：如图所示：过点D作DH⊥AC，
∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠E=∠F=∠B=90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，
∴DE=DH，
∵CD平分∠ACF，DF⊥BC，DH⊥AC，
∴DH=DF，
∴DE=DF，
∴四边形BFDE是正方形；
（2）解：∵DH⊥AC，
∴∠AHD=∠DHC=90°，
由（1）∠E=∠F=90°，DE=DH，DH=DF，
∴∠AHD=∠DHC=∠E=∠F=90°，
在Rt△AED和Rt△AHD中，
AD＝AD，
DE＝DH，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），
∴AE=AH，
同理可以证明Rt△DFC≌Rt△DHC（HL），
∴CH=CF，
∵BF=6，C为BF中点，
∴BC=CF=CH=3，
∵四边形BFDE是正方形，
∴BE=BF=6，
设AE=x，则AB=BE - AE=6 - x，AC=AH+CH=x+3，
由勾股定理得：AB2+ BC2=AC2，
∴（6 - x）2+32 =（x+3）2，
解之得：x=2，
∴AE的长为2．
思考：丝巾是正方形的吗？
小燕在商场里看到一条很漂亮的方丝巾，非常想买.但她拿起来看时感觉丝巾不太方.售货员看见她犹豫的样子，就拿过丝巾拉起一组对角，让小燕看看另一组对角是否对齐了，如图所示.可不知为什么，小燕感觉还是有些不对劲儿.于是，售货员又拉起另一组对角，再次让小燕检验最初拉起的一组对角是否又对齐了.最后，小燕终于买了这条柔软漂亮的丝巾.
你认为小燕买的这条丝巾真是正方形的吗
你有什么方法确定一条丝巾是否为正方形吗？画出示意图加以说明.
[解析]
很显然，按照售货员的检验方法是不能保证它是正方形的.只能说明这条丝巾的两组对角分别相等，四条边也相等，也就相当于丝巾的两条对角线所在直线是对称轴.而这只能保证丝巾是菱形，不能保证它是正方形.
因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将丝巾对折，看另一组对边是否重合（图②）．若另一组对边不能重合，那么此丝巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此丝巾一定是正方形．
第一次可确定为菱形，第二次即可确定其为正方形．模块三 单课时作业
如何判定平行四边形家族
(菱形与正方形)
1．（2023春 西华县期末）在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（　　）
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量四个内角是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直
D．测量四条边是否相等
解题模型：几何图形中的数形结合思想
2．（2023春 云南期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，在条件：①AB=AD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边形ABCD是菱形，可选择的条件是（　　）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
3．（2023春 台江区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE，则下列结论中正确的个数是（　　）
①△ABE≌△CDF
②四边形AECF是平行四边形
③当AB=AD时，四边形AECF是菱形
④当M、N分别是BC、AD中点时，四边形AMCN是正方形
A．4 B．3 C．2 D．1
4.（2022春 夏邑县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD = 时，平行四边形CDEB为菱形．
5.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形.
6.如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC ，对角线 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 M、N.
(1) 求证：∠ADB =∠CDB；
(2) 若 ADC = 90°，求证：四边形 MPND 是正方形.
7.（2023春 建昌县期末）如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B=90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF=6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
思考：丝巾是正方形的吗？
小燕在商场里看到一条很漂亮的方丝巾，非常想买.但她拿起来看时感觉丝巾不太方.售货员看见她犹豫的样子，就拿过丝巾拉起一组对角，让小燕看看另一组对角是否对齐了，如图所示.可不知为什么，小燕感觉还是有些不对劲儿.于是，售货员又拉起另一组对角，再次让小燕检验最初拉起的一组对角是否又对齐了.最后，小燕终于买了这条柔软漂亮的丝巾.
你认为小燕买的这条丝巾真是正方形的吗
你有什么方法确定一条丝巾是否为正方形吗？画出示意图加以说明.模块三 如何判定平行四边形家族3(菱形与正方形)
任务单
一、类比学习，提出猜想
同样，我们是否可以通过研究菱形性质的逆命题，得到判定菱形的方法呢？ 请你根据菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，写下自己的猜想.
菱形的性质 菱形的判定
菱形的对角线相互垂直 猜想1：
菱形的四条边都相等 猜想2：
猜想3：
二、理性思考，证明定理
画出四边形ABCD中，根据你的2个猜想，写出已知和求证，尝试证明.
已知：
求证：
归纳总结：
菱形的判定：
文字语言 图形语言 符号语言
判定方法1
判定方法2
判定方法3
三、活动探究
活动一：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
猜想：
已知：
求证：
活动二：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
猜想：
已知：
求证：
归纳总结：
常用的正方形判定方法：
定义法
矩形法
菱形法
四、应用判定，解决问题
任务一 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗 为什么
任务二 怎样转动其中一张纸条，使纸条重合部分构成的四边形 ABCD 是一个正方形.
五、课堂总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结：

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