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(共18张PPT)
任务一 工人师傅在做门窗或矩形零件时，怎样测量才能确保是矩形吗
实际问题
几何问题
A
B
C
D
O
想一想 怎样判断四边形 ABCD 是矩形？
情景导入
模块三
如何判定平行四边形家族3(矩形)
第十八章 平行四边形
根据定义，可以判定一个四边形是不是矩形. 除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？
推理论证
矩形的判定
提出逆命题
矩形的性质
定义
性质
判定
提出猜想
推理论证
推出
推出
同样，我们是否可以通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 请你根据矩形具有而一般平行四边形不具有的性质，写下自己的猜想.
矩形的性质 矩形的判定
矩形的对角线相等 猜想1
矩形的内角都是直角 猜想2
猜想3
矩形的判定
探究新知
问题1 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？
猜想 对角线相等的平行四边形是矩形
A
B
C
D
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义).
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB.
求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
矩形的判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在□ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ □ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD (矩形的对角线相等)，
AO = BO = CO = DO (矩形的对角线互相平分).
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
且 EG = FH.
∴ 四边形 EFGH 是矩形.
典例精析
1. 如图，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
练一练
问题1 前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
有三个角是直角的四边形是矩形
证一证
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．
求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
∴∠ADC = 90°.
在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，
∴ AB2 + BC2 = AC2.
∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
典例精析
矩形的几种判定方法：
矩形
角
______________的四边形是矩形
_________的平行四边形是矩形
有一个角是直角
有三个角是直角
对角线
的平行四边形是矩形
对角线相等
__________________
判定定理
矩形的定义
当堂小结
1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？
(1) 对角线相等的四边形是矩形；
(2) 对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
(3) 有一个角是直角的四边形是矩形；
(5) 有三个角是直角的四边形是矩形；
(6) 四个角都相等的四边形是矩形；
(7) 对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
(4) 有三个角都相等的四边形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
(8) 一组对角互补的平行四边形是矩形.
课堂练习
2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，
AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、
∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 ( )
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 矩形 D. 不能确定
C
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
3. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形．
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ OA＝OC，OD＝OB.
∵ AN＝CM，ON＝OB，
∴ ON＝OM＝OD＝OB.
∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD.
∴ 平行四边形 NDMB 为矩形．模块三 单课时作业
如何判定平行四边形家族3
(矩形)
1. ( 2023春·平邑县期末)在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是( A )
A. 测量其中三个角是否为直角
B. 测量两组对边是否相等
C. 测量对角线是否相互平分
D. 测量对角线是否相等
2. ( 2023秋· 未央区校级月考)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE = AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( D )
AB = BE B. CE⊥DE
C.∠ADB = 90° D. BE⊥AB
3. ( 2022春·铁东区期末)一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板
上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.
理由是 有一个角为直角的平行四边形是矩形 .
4. ( 2023春.玄武区校级期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC=12， BD=8，则经过秒 后，四边形BEDF是矩形.
【解答】解：设运动的时间为 t秒,
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=8，
∴ OA = OC = AC = 6，OB = OD = BD = 4.
∴ AE = CF = t.
∴OE = OF = 6 - t或OE = OF = t - 6.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴当EF = BD时，四边形BEDF是矩形.
∴OE = OD.
∴6 - t = 4或t - 6=4.
∴t = 2或t = 10.
∴经过2秒或l0秒，四边形BEDF是矩形，
故答案为：2或10.
( 2023春.保山期末)如图，分别以△A BC的三边为边，在BC的同侧作3个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF.回答下列问题，并说明理由.
( 1 )判断四边形ADEF的形状；
( 2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形
[解答]解：( 1 )平行四边形，理由：
∵等边△ABD、△BCE、△ACF,
∴DB = AB，BE = BC.
又∠DBE = 60° - ∠EBA,
∠ABC = 60° - ∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC.
∴△DBE≌△CBA ( AAS ).
∴DE = AC.
又∵AC = AF，
∴AF = DE.
同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF = AD.
∴四边形ADEF是平行四边形.
( 2 )假设四边形ABCD是矩形，
∵四边形ADEF是矩形，
∴∠DAF = 90° .
又∵等边△ABD、△BCE、 △ACF，
∴∠DAB =∠FAC = 60°.
∴∠BAC = 360° - ∠DAF - ∠FAC - ∠DAB = 150°.
当△ABC满足∠BAC = 150° 时，四边形ADEF是矩形.
(2023春·平阴县期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB∥OC，点B， C的坐标分别为( 15，8)，(21，0) ，动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动;动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动. M，N同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为t秒.
( I )在t = 3时，M点坐标 (3，8)，N点坐标 (15，0).
(2)当t为何值时，四边形OAMN是矩形
[解答] 解：（l）∵B(15，8)，C (21，0)，
∴AB = 15，OA = 8，OC = 21，
当t = 3时，AM = l×3=3， CN = 2×3=6，
∴ON = OC - CN = 21 - 6 = 15，
∴点M(3，8)，N(15，0).
故答案为：(3，8)；( 15，0).
(2)根据题意：AM = t，CN = 2t,
则ON = OC - CN = 21 - 2t,
当四边形OAMN是矩形时，AM = ON,
∴t = 2l - 2t,
解得：t = 7.
∴t = 7时，四边形OAMN是矩形.
7.（体验探究题）如图所示，已知在 ABCD中，各个内角的平分线相交于点E、F、G、H．
（1）猜想EG与FH之间的关系；（2）试说明你猜想的正确性．
【解答】解：（1）EG = FH．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
又∵AF，BH分别平分∠BAD，∠ABC，
∴∠DAE=∠BAE=∠DAB，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEH=90°．
同理可证∠EFG=90°，∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EG=FH．模块三 单课时作业
如何判定平行四边形家族3
(矩形)
1. ( 2023春·平邑县期末)在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是( )
A. 测量其中三个角是否为直角
B. 测量两组对边是否相等
C. 测量对角线是否相互平分
D. 测量对角线是否相等
2. ( 2023秋· 未央区校级月考)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE = AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
AB = BE B. CE⊥DE
C.∠ADB = 90° D. BE⊥AB
3. ( 2022春·铁东区期末)一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板
上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.
理由是 .
4. ( 2023春.玄武区校级期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC=12， BD=8，则经过秒 后，四边形BEDF是矩形.
( 2023春.保山期末)如图，分别以△A BC的三边为边，在BC的同侧作3个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF.回答下列问题，并说明理由.
( 1 )判断四边形ADEF的形状；
( 2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形
(2023春·平阴县期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB∥OC，点B， C的坐标分别为( 15，8)，(21，0) ，动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动;动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动. M，N同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为t秒.
( I )在t = 3时，M点坐标 ，N点坐标 .
(2)当t为何值时，四边形OAMN是矩形
7.（体验探究题）如图所示，已知在 ABCD中，各个内角的平分线相交于点E、F、G、H．
（1）猜想EG与FH之间的关系；（2）试说明你猜想的正确性．模块三 单课时作业 如何判定平行四边形家族3(矩形)
任务单
一、类比学习，提出猜想
同样，我们是否可以通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 请你根据矩形具有而一般平行四边形不具有的性质，写下自己的猜想.
矩形的性质 矩形的判定
矩形的对角线相等 猜想1：
矩形的内角都是直角 猜想2：
猜想3：
二、理性思考，证明定理
画出四边形ABCD中，根据你的2个猜想，写出已知和求证，尝试证明.
已知：
求证：
三、应用判定，解决问题
任务一 工人师傅在做门窗或矩形零件时，怎样测量才能确保是矩形吗
课堂总结
矩形的几种判定方法：
的平行四边形是矩形
角
判定定理
的四边形是矩形
对角线
的平行四边形是矩形

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