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第八章
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棱柱、棱锥、棱台
8.1.1
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(重点)
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.(难点)
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.
学习目标
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用.我们将从对空间几何体的整体观察入手，从我们身边熟悉的几何体出发，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法；借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、线、面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质，今天，我们先来了解空间几何体的结构特征.
导 语
一、空间几何体的相关概念
二、棱柱的结构特征
课时对点练
三、棱锥、棱台的结构特征
随堂演练
内容索引
四、多面体的展开图
一
空间几何体的相关概念
观察下列物体，我们常把这些物体的形状叫什么？它们的形状有什么特征？
问题1
提示　长方体，正方体，棱锥，多面体，球，圆柱，圆锥，圆台；前四个几何体都是由平面图形围成的，后四个不全是平面图形围成的，有些面是曲面.
1.空间几何体：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 就叫做空间几何体.
形状
大小
空间图形
2.空间几何体的分类及相关概念
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个_______ _____围成的几何体叫做多面体 一条___________(包括直线)绕它所在平面内的一条________旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形及 表示
平面多
边形
平面曲线
定直线
类别 多面体 旋转体
相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
　(多选)下列说法正确的是
A.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
B.一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的
曲面叫做旋转面
C.旋转体的截面图形都是圆
D.圆锥的侧面展开图是一个扇形
例 1
√
√
√
根据多面体的定义知，选项A正确；
根据旋转面的定义知，选项B正确；
圆柱、圆锥的轴截面图形分别是矩形、等腰三角形，选项C错误；
圆锥沿其母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，选项D正确.
(1)多面体与旋转体都是封闭的几何体.
(2)多面体的所有面都是多边形；旋转体的侧面是曲线形成的旋转曲面，底面是圆.
反
思
感
悟
　(多选)下列物体中属于多面体的有
A.球 B.建筑用的方砖
C.茶杯 D.埃及的金字塔
跟踪训练 1
√
√
对于A选项，球体是旋转体，故错误；
对于B选项，建筑用的方砖是由几个平面多边形围成的几何体，属于多面体，故正确；
对于C选项，茶杯一般为圆柱体，属于旋转体，故错误；
对于D选项，埃及的金字塔是由几个平面多边形围成的几何体，属于多面体，故正确.
二
棱柱的结构特征
观察图中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？
问题2
提示　它的每个面都是平行四边形(矩形)，并且相对的两个面，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样.
1.棱柱的定义、图形及相关概念
棱柱
定义 有两个面互相______，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形及 表示
如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
平行
四边形
互相平行
棱柱
相关概念 底面：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
2.棱柱的分类及特殊棱柱
(1)按 ，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)直棱柱： 垂直于底面的棱柱.(如图①③)
(3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.(如图②④)
(4)正棱柱：底面是 的 棱柱.(如图③)
(5)平行六面体：底面是 的四棱柱.(如图④)
底面多边形的边数
侧棱
正多边形
直
平行四边形
　(1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
例 2
A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
B错误，棱柱的底面可以是三角形；
C正确，由棱柱的定义易知；
D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
√
√
(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
反
思
感
悟
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
棱柱结构的辨析方法
　下列命题中正确的是
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
跟踪训练 2
√
由棱柱的定义可知，选D.
三
棱锥、棱台的结构特征
图中的多面体具有怎样的特点？
问题3
提示　通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.
如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截得的两部分几何体是什么样的几何体？
问题4
提示　上部分是棱锥，下部分是棱台.
1.(1)棱锥的定义、图形及相关概念
棱锥
定义 有一个面是_________，其余各面都是有一个__________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形及表示
如图可记作：棱锥S—ABCD
多边形
公共顶点
棱锥
相关概念 底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各个三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
(2)棱台的定义、图形及相关概念
棱台
定义 用一个________棱锥底面的平面去截棱锥，_____和____之间那部分多面体叫做棱台
图形及表示 如图可记作：棱台ABCD—A'B'C'D'
平行于
底面
截面
棱台
相关概念 上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
2.棱锥、棱台的分类
(1)按 ，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特殊地，底面是 ，并且 与 的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
(2)棱台的分类
依据：由几棱锥截得.
举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
底面多边形的边数
正多边形
顶点
底面中心
3.空间四边形、四面体、正四面体的概念
(1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形.
(2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥.
(3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体.
正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥未必是正四面体.
注 意 点
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　(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有
A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫做棱台
B.棱台的侧面一定不会是平行四边形
C.棱锥的侧面只能是三角形
D.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
例 3
√
√
√
A错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
B正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
C正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
D正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
反
思
感
悟
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法
判断棱锥、棱台形状的两种方法
棱锥 棱台
定底面 多边形面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
　棱台不具有的性质是
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后相交于一点
跟踪训练 3
√
由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.
四
多面体的展开图
如图是三个几何体的展开图，请问各是什么几何体？
例 4
由几何体的展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把展开图还原为原几何体，如图所示，
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台.
反
思
感
悟
(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.
(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面.
(3)若是给出表面展开图还原原几何体，则按上述过程逆推.
空间几何体的展开图
根据如图所示的平面图形，画出立体图.
跟踪训练 4
将各平面图折起来的空间图形如图所示.
1.知识清单：
(1)多面体、旋转体的定义.
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
(3)多面体的展开图.
2.方法归纳：举反例法，定义法，直接法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.下列几何体是棱台的是
√
1
2
3
4
A，C都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A，C不满足题意；
B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不满足题意；
D符合棱台的定义.
2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
1
2
3
4
√
根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
3.下列图形中，不是三棱柱展开图的是
1
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3
4
√
本题考查三棱柱展开图的形状，显然C无法将其折成三棱柱.
4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为___cm.
1
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3
4
棱柱有10个顶点，则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等，故每条侧棱长为=12(cm).
课时对点练
六
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B BD AB 1∶4 10
题号 11 12 13 14 　15
答案 BCD D A BCD
对一对
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答案
9.
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A'B'C'-AB″C″，另一个多面体是多面体B'C'CBB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A'-ABC，B'-A'BC，C'-A'B'C.
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答案
10.
(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△DPF-S△DPE-S△PEF=2a×2a-a2-a2-a2=a2.
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答案
16.
一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，有如下六种方案：
答案
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1.下列几何体中是四棱锥的是
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基础巩固
16
由棱锥的结构特征：一个面是多边形，其余的面是有一个公共顶点的三角形，可知只有选项B和C中的图形是棱锥，其中B为三棱锥，C为四棱锥.
√
答案
2.下列说法中，正确的是
A.底面是正多边形的棱锥为正棱锥
B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥
D.底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥
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√
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由正棱锥的定义可知，A，B均不正确；
对于C，底面是菱形，侧面都是全等的等腰三角形的棱锥不是正棱锥，故C不正确；
只有D符合正棱锥的定义，故D正确.
答案
3.下列说法正确的是
A.三棱台有8个顶点
B.底面是矩形的四棱柱是长方体
C.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
D.用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截去一个小棱锥后剩余的部分是棱台
√
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答案
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三棱台有6个顶点，所以A错误；
因为四棱柱的底面是矩形时，侧棱与底面矩形不一定
垂直，所以B错误；
各个面都是三角形的几何体可如图所示，而该几何体不是三棱锥，所以C错误；
由棱台的定义可知，用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，所以D正确.
答案
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15
4.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥
A'-ABC，则剩余部分是
A.三棱锥　　　　　B.四棱锥
C.三棱柱　　　　　D.组合体
√
16
余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.
答案
5.(多选)下列说法中，正确的是
A.两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台
D.两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体是棱台
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√
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答案
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棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要是棱台应具备两个条件：一是上、下底面平行，二是各侧棱延长后必须交于一点，A，C不正确，D正确；
因为四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，B正确.
答案
6.(多选)在下面的四个平面图形中，是四面体的展开图的为
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√
√
C，D组不成四面体，只有A，B可以.
答案
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7.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　　　　.
由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方.
1∶4
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答案
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8.在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为　　　.
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答案
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如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5=10(条).
答案
9.请将如图所示的三棱台分成如下部分，并用字母表示出来.
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
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如图①所示，三棱柱是棱柱A'B'C'-AB″C″，另一个多面体是多面体B'C'CBB″C″.
答案
(2)三个三棱锥.
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如图②所示，三个三棱锥分别是A'-ABC，B'-A'BC，C'-A'B'C.
答案
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10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
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答案
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如图，折起后的几何体是三棱锥.
答案
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(2)若正方形ABCD的边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
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S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△DPF-S△DPE-S△PEF=2a×2a-a2-a2-a2=a2.
答案
11.(多选)对如图所示的几何体描述正确的有
A.这是一个四棱台
B.这是一个四棱柱
C.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到
D.此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到
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√
综合运用
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√
答案
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A错误，因为侧棱的延长线不能交于一点；
B正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱；
CD都正确，如图所示.
答案
12.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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√
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如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.
答案
13.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为
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答案
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两个 不能并列相邻，B，D错误；
两个 不能并列相邻，C错误，故选A.
也可通过实物制作检验来判定.
答案
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14.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　　　　cm.
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答案
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由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案
15.(多选)如图是由一个正方体中挖掉一个四棱锥得到的几何体.下列可能是该几何体的截面的为
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拓广探究
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答案
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对于A，截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是和原正方体底面平行的截面，并且是从挖去四棱锥的那部分截开的，但此时截面中间应该是一个正方形，故A不可能是该几何体的截面；
答案
对于B，当截面过正方体底面的一组相对棱的中点与四棱锥顶点时，如图①，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面；
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对于C，当截面不经过正方体底面的一组相对棱的中点时，如图②中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面；
对于D，如图③，按图中截面A1B1C1的位置去截该几何体，截面形状就会如选项D，故D可能是该几何体的截面.
答案
16.经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案.(请设计尽可能多的方案)
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一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，有如下六种方案：
答案8.1.1　棱柱、棱锥、棱台
［学习目标］　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.
一、空间几何体的相关概念
问题1　观察下列物体，我们常把这些物体的形状叫什么？它们的形状有什么特征？
知识梳理
1.空间几何体：如果只考虑物体的　　　　和　　　　，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的　　　　　就叫做空间几何体.
2.空间几何体的分类及相关概念
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个　　　　　围成的几何体叫做多面体 一条　　　　　(包括直线)绕它所在平面内的一条　　　　旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形 及表 示
相关 概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
例1　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
B.一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面
C.旋转体的截面图形都是圆
D.圆锥的侧面展开图是一个扇形
跟踪训练1　(多选)下列物体中属于多面体的有(　　)
A.球 B.建筑用的方砖
C.茶杯 D.埃及的金字塔
二、棱柱的结构特征
问题2　观察图中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？
知识梳理
1.棱柱的定义、图形及相关概念
棱柱
定义 有两个面互相　　　　，其余各面都是　　　　，并且相邻两个四边形的公共边都　　　　　，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形及 表示 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
相关 概念 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
2.棱柱的分类及特殊棱柱
(1)按　　　　　　　　，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)直棱柱：　　　　垂直于底面的棱柱.(如图①③)
(3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.(如图②④)
(4)正棱柱：底面是　　　　　　的　　　　棱柱.(如图③)
(5)平行六面体：底面是　　　　　　的四棱柱.(如图④)
例2　(1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是(　　)
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
跟踪训练2　下列命题中正确的是(　　)
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
三、棱锥、棱台的结构特征
问题3　图中的多面体具有怎样的特点？
问题4　如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截得的两部分几何体是什么样的几何体？
知识梳理
1.(1)棱锥的定义、图形及相关概念
棱锥
定义 有一个面是　　　　，其余各面都是有一个　　　　　的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形及表示 如图可记作：棱锥S—ABCD
相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点
(2)棱台的定义、图形及相关概念
棱台
定义 用一个　　　　棱锥底面的平面去截棱锥，　　　　和　　　　之间那部分多面体叫做棱台
图形及表示 如图可记作：棱台ABCD—A'B'C'D'
相关概念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
2.棱锥、棱台的分类
(1)按　　　　　　　　，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特殊地，底面是　　　　　　，并且　　　　与　　　　　　的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
(2)棱台的分类
依据：由几棱锥截得.
举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
3.空间四边形、四面体、正四面体的概念
(1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形.
(2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥.
(3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体.
例3　(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有(　　)
A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫做棱台
B.棱台的侧面一定不会是平行四边形
C.棱锥的侧面只能是三角形
D.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
跟踪训练3　棱台不具有的性质是(　　)
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后相交于一点
四、多面体的展开图
例4　如图是三个几何体的展开图，请问各是什么几何体？
跟踪训练4　根据如图所示的平面图形，画出立体图.
1.知识清单：
(1)多面体、旋转体的定义.
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
(3)多面体的展开图.
2.方法归纳：举反例法，定义法，直接法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
1.下列几何体是棱台的是(　　)
2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为(　　)
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
3.下列图形中，不是三棱柱展开图的是(　　)
4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为　　　　cm.
答案精析
问题1　长方体，正方体，棱锥，多面体，球，圆柱，圆锥，圆台；前四个几何体都是由平面图形围成的，后四个不全是平面图形围成的，有些面是曲面.
知识梳理
1.形状　大小　空间图形
2.平面多边形　平面曲线　定直线
例1　ABD　［根据多面体的定义知，选项A正确；根据旋转面的定义知，选项B正确；圆柱、圆锥的轴截面图形分别是矩形、等腰三角形，选项C错误；圆锥沿其母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，选项D正确.］
跟踪训练1　BD
问题2　它的每个面都是平行四边形(矩形)，并且相对的两个面，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样.
知识梳理
1.平行　四边形　互相平行
2.(1)底面多边形的边数　(2)侧棱　(4)正多边形　直　(5)平行四边形
例2　(1)CD　［A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.］
(2)解　①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
跟踪训练2　D　［由棱柱的定义可知，选D.］
问题3　通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.
问题4　上部分是棱锥，下部分是棱台.
知识梳理
1.(1)多边形　公共顶点　(2)平行于　底面　截面
2.(1)底面多边形的边数　正多边形　顶点　底面中心
例3　BCD　［A错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；B正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；C正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；D正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
］
跟踪训练3　C
例4　解　由几何体的展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把展开图还原为原几何体，如图所示，
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台.
跟踪训练4　解　将各平面图折起来的空间图形如图所示.
随堂演练
1.D　2.B　3.C　4.12作业23　棱柱、棱锥、棱台
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分
1.下列几何体中是四棱锥的是(　　)
2.下列说法中，正确的是(　　)
A.底面是正多边形的棱锥为正棱锥
B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥
D.底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥
3.下列说法正确的是(　　)
A.三棱台有8个顶点
B.底面是矩形的四棱柱是长方体
C.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
D.用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截去一个小棱锥后剩余的部分是棱台
4.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　)
A.三棱锥　　　　　B.四棱锥
C.三棱柱　　　　　D.组合体
5.(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A.两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台
D.两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体是棱台
6.(多选)在下面的四个平面图形中，是四面体的展开图的为(　　)
7.(5分)若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　　　　.
8.(5分)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为　　　.
9.(10分)请将如图所示的三棱台分成如下部分，并用字母表示出来.
(1)一个三棱柱和另一个多面体；(5分)
(2)三个三棱锥.(5分)
10.(10分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(5分)
(2)若正方形ABCD的边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？(5分)
11.(多选)对如图所示的几何体描述正确的有(　　)
A.这是一个四棱台
B.这是一个四棱柱
C.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到
D.此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到
12.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)
14.(5分)如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　　　　cm.
15.(多选)如图是由一个正方体中挖掉一个四棱锥得到的几何体.下列可能是该几何体的截面的为(　　)
16.(11分)经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案.(请设计尽可能多的方案)
答案精析
1.C　2.D　3.D　4.B　5.BD　6.AB
7.1∶4　8.10
9.解　(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A'B'C'-AB″C″，另一个多面体是多面体B'C'CBB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A'-ABC，B'-A'BC，C'-A'B'C.
10.解　(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△DPF-S△DPE-S△PEF=2a×2a-a2-a2-a2=a2.
11.BCD　［A错误，因为侧棱的延长线不能交于一点；B正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱；CD都正确，如图所示.］
12.D　［如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.
］
13.A　［两个☆不能并列相邻，B，D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.］
14.
解析　由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
15.BCD　［对于A，截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是和原正方体底面平行的截面，并且是从挖去四棱锥的那部分截开的，但此时截面中间应该是一个正方形，故A不可能是该几何体的截面；
对于B，当截面过正方体底面的一组相对棱的中点与四棱锥顶点时，如图①，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面；
对于C，当截面不经过正方体底面的一组相对棱的中点时，如图②中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面；
对于D，如图③，按图中截面A1B1C1的位置去截该几何体，截面形状就会如选项D，故D可能是该几何体的截面.］
16.解　一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，有如下六种方案：

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