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培优课
第八章
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与球有关的内切、外接问题
1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.(重点)
2.会求特殊几何体的内切球的相关问题.(难点)
学习目标
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.
导 语
一、直接法
二、构造法
课时对点练
三、寻求轴截面圆半径法
随堂演练
内容索引
四、确定球心的位置法
五、等体积法求内切球问题
直接法
一
(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面的周长为3，则这个球的体积为　　　　.
例 1
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有∴
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=，
球心到底面的距离d=.
∴外接球的半径R==1.∴V球=.
(2)在三棱锥A-BCD中，侧棱长均为2，底面是边长为2的等边三角形，
则该三棱锥外接球的体积为　　　　.
由题意知该三棱锥为正三棱锥，如图所示，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，
令O'A=O'D=R，
∵OD=DE=×2×=2，AD=2，
∴AO==4，
∴OO'=4-R，
又OO'2+OD2=O'D2，
∴(4-R)2+4=R2，解得R=，
∴V球=πR3=.
找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.
反
思
感
悟
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为
A. B.16π C.9π D.
跟踪训练 1
√
如图，设球心为O，半径为r，AE=，OE=4-r，则
在Rt△AOE中，(4-r)2+()2=r2(或(r-4)2+()2=r2)，
解得r=，
∴该球的表面积为4πr2=4π×=.
二
构造法
(1)三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.
例 2
4π
因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，
则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R.
∵V三棱锥A-BCD=××BC×CD×AB
=×2×CD×2=，
∴CD=2，∴该长方体为正方体，
∴AD=2，∴R=，
故外接球的体积为V=πR3=4π.
　　　　 若把条件改为三棱锥A-BCD的三个面是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.
延伸探究
4π
因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，
构造如图所示的长方体，
则AE为三棱锥A-BCD的外接球的直径，
设外接球的半径为R.
V三棱锥A-BCD=××BC×BD×AB
=×2×BD×2=，
∴BD=2，∴该长方体为正方体，
∴AE=2，∴R=，
∴外接球的体积为V=πR3=4π.
(2)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有
A.该半正多面体的体积为
B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为
C.该半正多面体外接球的表面积为8π
D.该半正多面体的表面积为6+2
√
如图，因为AB=1，
所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点
截去八个三棱锥所得到的，
所以该半正多面体的体积V=()3-8××××=，故A错误；
根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，
又AB=1，所以正六边形的面积S=6××1×1×=，故B错误；
根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外
接球的球心为正方体的中心，
即正六边形ABCFED的中心，故半径R=1，
所以该半正多面体外接球的表面积为S=4πR2=4π×12=
4π，故C错误；
因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，
所以其表面积为8××1×1×+6×12=6+2，故D正确.
反
思
感
悟
(1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解.
①若三棱锥的三条侧棱两两互
相垂直，则可将其放入某个长
方体内，如图1所示.
②若三棱锥的四个面均是直角
三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.
构造法的解题策略
反
思
感
悟
③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示.
④若三棱锥的对棱两两相等，
则可将其放入某个长方体内，
如图4所示.
(2)将直三棱锥补成三棱柱求解.
构造法的解题策略
　　　　　三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是，，，则该三棱锥的外接球的体积是
A. B.
C.π D.8π
跟踪训练 2
√
三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设PA=a，PB=b，PC=c，
令ab=bc=ca=，
解得a=，b=1，c=.
则长方体的体对角线长为=.
所以外接球的直径是，半径R=，
则外接球的体积V=πR3=π.
寻求轴截面圆半径法
三
　已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为
A. B.
C. D.
例 3
√
如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直
径，且AB=.
连接OO1，
则OO1⊥平面ABC，
OO1===，
所以三棱锥O-ABC的体积V=S△ABC·OO1=××1×1×=.
反
思
感
悟
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.
与球截面有关的解题策略
　　　　　已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，AD=2，CD=2，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为
A.25π B.
C.32π D.
跟踪训练 3
√
如图，设点P在底面的射影为H，
∵四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，
∴HA=HB=HC=HD，
∴A，B，C，D四点共圆.
∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ADC=90°.
∵AD=2，CD=2，
∴AC=4，∴AB=BC=2.
∵三棱锥P-ABC的体积为，
∴S△ABC·PH=，∴PH=4，
设球O的半径为R，
∴(4-R)2+22=R2，
解得R=，则球O的表面积S=4πR2=25π.
确定球心的位置法
四
　 　在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　　.
例 4
16π
由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，
根据余弦定理可得AC=AD=2，则AC⊥BC，AD⊥
BD，又在Rt△BAC，Rt△BAD中，E为斜边AB中点，
所以到各点的距离相等，则三棱锥A-BCD外接球的
直径为AB=4，故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π·=16π.
反
思
感
悟
对于一般的几何体来说，解决外接球问题，关键是找到球心.由外接球定义，其球心在过每个面的多边形的外心且与该面垂直的直线上.
　　　　　已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这
两个圆锥的体积之和为4π，则球的体积为　　　.
跟踪训练 4
如图，设圆锥S1O1与圆锥S2O1公共底面的圆心为O1，
两圆锥公共底面圆周上一点为A，
底面半径r=O1A，
设球心为O，球的半径R=OA，
由=πr2S1O1，
=πr2S2O1，
又==3，
即=3，
即S2O1=3S1O1，
又S2O1+S1O1=2R，
所以S1O1=R，S2O1=R，
所以OO1=R，
又+r2=R2，
所以r=R，
又+=πr2S1O1+πr2S2O1=4π，
即π××R+π××R=4π，
解得R=2，
所以V=πR3=π×23=，
即球的体积为.
等体积法求内切球问题
五
　各棱长均为的四面体内有一内切球，求该球的体积.
例 5
如图，在四面体S-ABC中，取底面△ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1⊥O1A.
∵AO1=××=1，
∴SO1=，
∴四面体的体积V=××()2×=.
设内切球球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，
∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC
=S表·r=×4××()2×r
=r=，∴r=，
∴球的体积V球=r3=×=π.
求本例所给四面体外接球的表面积.
延伸探究
设外接球半径为R，由上述例题解题过程可知，R=OS=SO1-OO1=SO1-
r=-=，
∴外接球的表面积S球=4πR2=4π×=.
反
思
感
悟
求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点，各个面为底面的棱锥，这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小.
　　　　　已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为
A.6 B.12
C.24 D.30
跟踪训练 5
√
如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②.
所以在三棱锥P-DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE=PF=1，PD=2，
所以三棱锥P-DEF的外接球即为以PD，PE，PF为相邻三条棱的长方体的外接球，
所以三棱锥P-DEF的外接球半径R满足
2R==，所以R=，
则其外接球的表面积为4πR2=6π.
因为三棱锥P-DEF的表面积为正方形ABCD的面积，
所以S表=2×2=4，
V三棱锥P-DEF=××1×1×2=.
设三棱锥P-DEF的内切球的半径为r，
所以由S表·r=V三棱锥P-DEF，解得r=，
所以内切球的表面积为4πr2=，
所以三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为=24.
1.知识清单：
(1)掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.
(2)会求特殊几何体的内切球的相关问题.
2.方法归纳：直接法、构造空间几何体法、截面圆法、确定球心的位置法、定义法、等体积法.
3.常见误区：球心位置的确定、空间几何体的构造.
随堂演练
六
1.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为
A.6π B.12π
C.8π D.16π
由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.
设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O=|R-1|，R2=O1O2+r2=(R-1)2+()2，解得R=2，所以球O的表面积为4πR2=
16π.
√
1
2
3
4
2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为
A. B.
C. D.20π
√
1
2
3
4
设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接
O1O2，O2B，OB，
如图所示，
由题意可得该三棱柱的外接球的球心O为O1O2的中点.
在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×
ACcos∠BAC
=32+12-2×3×1×cos 60°=7，
则BC=，
1
2
3
4
由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r==，
则r=，
而球心O到截面ABC的距离d=OO2=O1O2=AA1=1，
设直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为R，
在△OO2B中可得R2=d2+r2=12+=，
故R=，
所以该三棱柱的外接球的体积V=πR3=π×=.
1
2
3
4
3.已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径的比值为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的
半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2
与侧面SBC的切点.
在Rt△SAO中，该四面体的高h=SO==
　
===2.
又四面体的表面积S=4××(2)2=12，
1
2
3
4
则·S·R1=×3h，解得R1=，
由==，
即=，解得R2==.
1
2
3
4
4.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面面积为12，其内切球体积为36π，则该正四棱台的表面积为　　　　.
1
2
3
4
312
如图，作该正棱台的截面，因为该正四棱台的上底面面积为12，
故上底面边长为2，
因为内切球体积为36π=πGM3，故GM=3.
在△GMP中，GM=3，MP=，∠GMP=90°，
所以GP=2，∠MPG=60°，
根据对称性∠QPG=60°，
故∠QPM=120°，∠QEN=60°，
所以∠GEN=30°，
因为GN=3，所以EN=3，
所以正四棱台下底面是一个边长为6 的正方形，
故侧面梯形的高
PE=PQ+QE=+3=4，
即S表=12+108+4××4=312.
课时对点练
七
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D BC A 24π 32π
题号 11 12 13 14 15
答案 C ACD ABD 80π ABD
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
(1)设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h=2R，r=R，
∴V圆柱=πr2h=2πR3，V球=πR3，
∴==.
(2)∵S圆柱=S侧+2S圆=2πrh+2πr2=6πr2，
S球=4πr2，∴==.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
10.
(1)如图，
在Rt△EOF中，
EF=10，OF=x，
则EO=，
∴V=x2，
0答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
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15
16
10.
(2)方法一　设正四棱锥的内切球球心为P，且与底面相切于点O，与侧面相切于斜高ΕF于点Q，
则PO=PQ=r，
∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，则EQ=4，
又EP=8-r，
∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得r2+42=(8-r)2，
解得r=3.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
方法二　当x=12时，由(1)知V=×122×
=384，
正四棱锥的表面积S=4××12×10+122=384，
由等体积法可得V=Sr，
即r==3.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
16.
(1)在等腰梯形DCC1D1中，过点C1作C1H⊥DC，垂足为H，
易求CH=，C1H=，
则四棱台的表面积S=S上底+S下底+S侧=1+4+4××=5+3.
(2)如图，将该棱台补成四棱锥S-ABCD，
连接AC，BD交于点O，
A1C1，B1D1交于点O1，连接SO，
由题意及棱台的结构特征可知，点O1在线段SO上.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
因为AB=2，A1B1=1，
所以△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2，
所以SA=2AA1=2，AO=，
故SO=，OO1=，
即该四棱台的高为.
由于四棱台的上、下底面都是正方形，
则该四棱台外接球的球心在OO1上，连接OB1，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
16.
在四边形B1BOO1中，OO1=，B1O1=，
则OB1==OB，
即点O到点B的距离与点O到点B1的距离相等，
同理，点O到点A，A1，C，C1，D，D1的距离均为，
所以O为该四棱台外接球的球心，且外接球的半径r=，
故该四棱台外接球的体积V=πr3=.
1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为
A.8 B.8
C.8 D.4
∵球的半径为1，且正方体内接于球，
∴球的直径即为正方体的体对角线，即正方体的体对角线长为2.
不妨设正方体的棱长为a，则有3a2=4，即a2=.
∴正方体的表面积为6a2=6×=8.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
答案
2.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为
A. B.56π
C.14π D.64π
设长方体的棱长分别为a，b，c，则
设外接球的半径为R，则4R2=a2+b2+c2=14，所以这个球的表面积为4πR2=14π.
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2
3
4
5
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15
16
答案
√
3.在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为
A.4π B.6π
C.8π D.9π
√
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16
答案
在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，
则∠ASB=，则正三棱锥S-ABC为正四面体.
将正四面体补成正方体(正四面体的四个顶点S，A，B，
C均为正方体的顶点)，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，
由△ABC的边长为2，可得补成的正方体棱长为，
则其外接球的半径R==，
所以该正三棱锥外接球的表面积S=4πR2=6π.
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答案
4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6，则其外接球的体积为
A.28π B.π
C.π D.28π
√
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16
答案
由正三棱柱的底面边长AB=6，设底面外接圆的半径为r，
所以2r=，解得r=2.
又正三棱柱的高AA1=6，则球心到底面的距离d=3，
根据球心距、底面外接圆半径与球半径的关系得，R2=r2+d2=12+9=
21，即R=.
所以外接球的体积V=πR3=28π.
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16
答案
5.(多选)用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列结论中正确的是
A.若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6
B.若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C.若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+
D.若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截
　面面积不是定值
√
1
2
3
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答案
√
若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形ACB1，
其边长为，则截面的周长为3，A错误；
若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外
接球均为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，故外接
球体积相等，B正确；
当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为
相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均为2×12+2××12+1×=3+，
C正确；
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答案
若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面积是定值，D错误.
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答案
6.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为
A. B.
C. D.2π
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答案
设圆锥的底面半径为r，高为h，
则2πr=×3，
∴r=1，h==2，设内切球的半径为R，则=，
∴R=，V=πR3=π×=.
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答案
7.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是　　　　.
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答案
24π
正四棱柱的高为4，体积为16，则底面积为4，
则底面正方形边长为2，正四棱柱的体对角线长即球的直径，为2，
所以球的半径为，所以球的表面积是24π.
8.已知A，B，C，D为球O的球面上四个点，且满足AB=4，BC=3，CD=4，AB⊥平面BCD，则球O的表面积的最小值为　　　.
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答案
32π
如图，
以△BCD为底，AB为高补成直三棱柱BCD-AEF，
O1，O2分别为△BCD，△AEF的外心，
易知球心O即为O1O2中点，
设球的半径为R，△BCD外接圆半径为r，
则R2=r2+4，
由正弦定理可知2r=≥=4，
当且仅当BD=时取等号.
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答案
∴rmin=2，
∴Rmin=2.
∴Smin=4π=32π.
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答案
9.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现.
(1)求圆柱的体积与球的体积之比；
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答案
设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h=2R，r=R，
∴V圆柱=πr2h=2πR3，V球=πR3，
∴==.
(2)求圆柱的表面积与球的表面积之比.
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答案
∵S圆柱=S侧+2S圆=2πrh+2πr2=6πr2，
S球=4πr2，∴==.
10.一块边长为20 cm的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，如图2.
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答案
图1　　　　　　　图2
(1)试把容器的容积V表示成底边边长x的函数；
如图，在Rt△EOF中，EF=10，OF=x，
则EO=，
∴V=x2，
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答案
(2)当x=12 cm时，求此容器的内切球(与四个侧面和底面均相切的球)的半径r.
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答案
图1　　　　　　　图2
方法一　设正四棱锥的内切球球心为P，且与底面相切于点O，与侧面相切于斜高ΕF于点Q，
则PO=PQ=r，
∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，则EQ=4，
又EP=8-r，
∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得
r2+42=(8-r)2，
解得r=3.
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答案
方法二　当x=12时，由(1)知V=×122×
=384，
正四棱锥的表面积S=4××12×10+122=384，
由等体积法可得V=Sr，
即r==3.
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答案
11.在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为
A.2π B.4π
C.6π D.8π
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综合运用
答案
如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分
别为a，b，c，则
三式相加得a2+b2+c2=6，
所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球的表面积为4πR2=6π.
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答案
12.(多选)下列关于三棱柱ABC-A1B1C1的命题，正确的是
A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球
B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有内切球
C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为
　6
D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底
　面是直角三角形
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答案
√
√
对于A，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O，则
点O到直三棱柱各个顶点的距离均为，其中r为底面三角
形外接圆半径，h为直三棱柱的高，
∴点O即为直三棱柱的外接球球心，A正确；
对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，
即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误；
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答案
对于C，若正三棱柱的内切球半径为1，则正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为3，
设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则=3，解得a=2，
∴该正三棱柱的体积V=×××2=6，C正确；
对于D，若外接球球心在直三棱柱的侧面上，则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，
∴球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，
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答案
又该侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上，
∴该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，
∴该底面三角形为直角三角形，D正确.
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答案
13.(多选)在七面体MN-ABCD中，四边形ABCD为正方形且边长为2，MB，ND都与平面ABCD垂直，且MB=ND=h，则对这个多面体描述正确的是
A.当h=1时，它有外接球，且其半径为
B.当h=2时，它有外接球，且其半径为
C.当它有内切球时，h=2
D.当它有内切球时，h=4
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答案
√
√
以ABCD为底面作长方体ABCD-PMQN，则这个长
方体的外接球即为多面体MN-ABCD的外接球，
当h=1时，外接球半径为=，
当h=2时，外接球半径为=，故A，B
正确；
设E，F分别为MN，AC的中点，若这个多面体有内切球，则其球心O必在EF上，且半径为r=1.
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答案
设OH⊥AE，垂足为H，则由=，
可得=，解得h=4，
故C错误，D正确.
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答案
14.已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为　　　　.
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答案
80π
设球O的半径为R，球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面的距离为|6-x|，结合勾股定理，建立等式22+x2=42+|6-x|2，解得x=4，
所以R2=x2+22=20，因而球O的表面积S=4πR2=80π.
拓广探究
15.(多选)已知圆锥OP的底面半径r=，侧面积为6π，内切球的球心为O1，外接球的球心为O2，则下列说法正确的是
A.外接球O2的表面积为16π
B.设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2，
　则r2=2r1
C.∠APB=
D.设母线PB的中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为
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答案
√
√
设母线长为l，侧面积为πrl=πl=6π，所以l=2.
所以l=2r，△PAB为等边三角形.
则圆锥的轴截面△PAB的内切圆半径即为圆锥内切球
的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径，如图1，
设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2，
则S△PAB=r1(PA+AB+PB)
=×6r1=3r1，
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答案
图1
又S△PAB=PA·ABsin∠PAB=×(2)2×=3，所以r1=1.
在△PAB中，由正弦定理可得=2r2，即2r2==
4，则r2=2.
所以外接球O2的表面积为4π=16π，A正确；
因为r1=1，r2=2，所以r2=2r1，B正确；
∠APB=，
C错误；
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答案
图1
将圆锥侧面沿PA剪开，得到的扇形的半径R=l=2，
弧长l1=2πr=2π，
则扇形的圆心角α===π，如图2所示.
连接AM，即为最近路线，在Rt△APM中，有PA=R=2，
PM=PB=，
所以AM===，D正确.
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答案
图2
16.在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=BB1=CC1=DD1=，AB=2，A1B1=1.
(1)求该四棱台的表面积；
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答案
在等腰梯形DCC1D1中，过点C1作C1H⊥DC，垂足为H，
易求CH=，C1H=，
则四棱台的表面积S=S上底+S下底+S侧=1+4+4××=5+3.
(2)求该四棱台外接球的体积.
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答案
如图，将该棱台补成四棱锥S-ABCD，
连接AC，BD交于点O，
A1C1，B1D1交于点O1，连接SO，
由题意及棱台的结构特征可知，点O1在线段SO上.
因为AB=2，A1B1=1，
所以△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2，
所以SA=2AA1=2，AO=，
故SO=，OO1=，
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答案
即该四棱台的高为.
由于四棱台的上、下底面都是正方形，
则该四棱台外接球的球心在OO1上，连接OB1，
在四边形B1BOO1中，OO1=，B1O1=，
则OB1==OB，
即点O到点B的距离与点O到点B1的距离相等，
同理，点O到点A，A1，C，C1，D，D1的距离均为，
所以O为该四棱台外接球的球心，且外接球的半径r=，
故该四棱台外接球的体积V=πr3=.
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答案培优课　与球有关的内切、外接问题
[学习目标]　1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.2.会求特殊几何体的内切球的相关问题.
一、直接法
例1　(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面的周长为3，则这个球的体积为　　　　.
(2)在三棱锥A-BCD中，侧棱长均为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为　　　　.
反思感悟　找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.
跟踪训练1　正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A. B.16π
C.9π D.
二、构造法
例2　(1)三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.
延伸探究　若把条件改为三棱锥A-BCD的三个面是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.
(2)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有(　　)
A.该半正多面体的体积为
B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为
C.该半正多面体外接球的表面积为8π
D.该半正多面体的表面积为6+2
反思感悟　构造法的解题策略
(1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解.
①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.
②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.
③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示.
④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.
(2)将直三棱锥补成三棱柱求解.
跟踪训练2　三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是，，，则该三棱锥的外接球的体积是(　　)
A. B.
C.π D.8π
三、寻求轴截面圆半径法
例3　已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
反思感悟　与球截面有关的解题策略
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.
跟踪训练3　已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，AD=2，CD=2，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为(　　)
A.25π B.
C.32π D.
四、确定球心的位置法
例4　在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　　.
反思感悟　对于一般的几何体来说，解决外接球问题，关键是找到球心.由外接球定义，其球心在过每个面的多边形的外心且与该面垂直的直线上.
跟踪训练4　已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为4π，则球的体积为　　　　.
五、等体积法求内切球问题
例5　各棱长均为的四面体内有一内切球，求该球的体积.
延伸探究　求本例所给四面体外接球的表面积.
反思感悟　求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点，各个面为底面的棱锥，这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小.
跟踪训练5　已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为(　　)
A.6 B.12
C.24 D.30
1.知识清单：
(1)掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.
(2)会求特殊几何体的内切球的相关问题.
2.方法归纳：直接法、构造空间几何体法、截面圆法、确定球心的位置法、定义法、等体积法.
3.常见误区：球心位置的确定、空间几何体的构造.
1.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　)
A.6π B.12π
C.8π D.16π
2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为(　　)
A. B.
C. D.20π
3.已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径的比值为(　　)
A. B.
C. D.
4.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面面积为12，其内切球体积为36π，则该正四棱台的表面积为　　　　　.
一、几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.
例1　已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？
跟踪训练1　正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A.20+12 B.28
C. D.
二、空间中的平行关系
立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行.
例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N-BCM的体积.
反思感悟　平行关系的转化
跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，MA∥PB，PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
三、空间中的垂直关系
1.判定线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理；
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；
(4)利用面面垂直的性质.
2.判定线线垂直的方法
(1)平面几何中证明线线垂直的方法；
(2)线面垂直的性质：a⊥α，b α a⊥b；
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α a⊥b.
3.判定面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a α，a⊥β α⊥β.
例3　如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于点E.
(1)求证：AP⊥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BDF；
(3)若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比.
反思感悟　线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
跟踪训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
四、空间角的求法
空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题.求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角.
例4　如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD=DC=2，BC=2.
(1)求PB与平面ADC所成角的大小；
(2)求异面直线PC与BD所成角的正弦值.
跟踪训练4　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面☉O，PO=，☉O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点.
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B-PA-C的余弦值.
答案精析
例1　(1)
解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有∴
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=，
球心到底面的距离d=.
∴外接球的半径R==1.∴V球=.
(2)
解析　由题意知该三棱锥为正三棱锥，如图所示，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，
令O'A=O'D=R，
∵OD=DE=×2×=2，AD=2，
∴AO==4，
∴OO'=4-R，
又OO'2+OD2=O'D2，
∴(4-R)2+4=R2，解得R=，
∴V球=πR3=.
跟踪训练1　A　[如图，设球心为O，半径为r，AE=，OE=4-r，
则在Rt△AOE中，
(4-r)2+()2=r2
(或(r-4)2+()2=r2)，
解得r=，
∴该球的表面积为4πr2=4π×=.]
例2　(1)4π
解析　因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，
则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R.
∵V三棱锥A-BCD=××BC×CD×AB
=×2×CD×2=，
∴CD=2，∴该长方体为正方体，
∴AD=2，∴R=，
故外接球的体积为V=πR3=4π.
延伸探究　4π
解析　因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，
构造如图所示的长方体，
则AE为三棱锥A-BCD的外接球的直径，
设外接球的半径为R.
V三棱锥A-BCD=××BC×BD×AB
=×2×BD×2=，
∴BD=2，∴该长方体为正方体，
∴AE=2，∴R=，
∴外接球的体积为V=πR3=4π.
(2)D　[如图，因为AB=1，
所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去八个三棱锥所得到的，
所以该半正多面体的体积V=()3-8××××=，故A错误；
根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，
又AB=1，所以正六边形的面积S=6××1×1×=，故B错误；
根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，
即正六边形ABCFED的中心，故半径R=1，
所以该半正多面体外接球的表面积为S=4πR2=4π×12=4π，故C错误；
因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，
所以其表面积为8××1×1×+6×12=6+2，故D正确.]
跟踪训练2　C　[三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设PA=a，PB=b，PC=c，
令ab=，bc=，ca=，
解得a=，b=1，c=.
则长方体的体对角线长为=.
所以外接球的直径是，半径R=，
则外接球的体积V=πR3=π.]
例3　A　[如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB=.
连接OO1，
则OO1⊥平面ABC，
OO1==
=，
所以三棱锥O-ABC的体积
V=S△ABC·OO1
=××1×1×=.]
跟踪训练3　A　[如图，设点P在底面的射影为H，
∵四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，
∴HA=HB=HC=HD，
∴A，B，C，D四点共圆.
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ADC=90°.
∵AD=2，CD=2，
∴AC=4，∴AB=BC=2.
∵三棱锥P-ABC的体积为，
∴S△ABC·PH=，∴PH=4，
设球O的半径为R，
∴(4-R)2+22=R2，
解得R=，则球O的表面积S=4πR2=25π.]
例4　16π
解析　由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，
根据余弦定理可得AC=AD=2，则AC⊥BC，AD⊥BD，又在Rt△BAC，Rt△BAD中，E为斜边AB中点，所以到各点的距离相等，则三棱锥A-BCD外接球的直径为AB=4，故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π·=16π.
跟踪训练4　
解析　如图，设圆锥S1O1与圆锥S2O1公共底面的圆心为O1，
两圆锥公共底面圆周上一点为A，
底面半径r=O1A，
设球心为O，球的半径R=OA，
由=πr2S1O1，
=πr2S2O1，
又==3，
即=3，
即S2O1=3S1O1，
又S2O1+S1O1=2R，
所以S1O1=R，S2O1=R，
所以OO1=R，
又+r2=R2，
所以r=R，
又+=πr2S1O1+πr2S2O1=4π，
即π××R+π××R=4π，
解得R=2，
所以V=πR3=π×23=，
即球的体积为.
例5　解　如图，在四面体S-ABC中，取底面△ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1⊥O1A.
∵AO1=××=1，
∴SO1=，
∴四面体的体积V=××()2×=.
设内切球球心为O，半径为r，
连接OA，OB，OC，
∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC
=S表·r=×4××()2×r
=r=，∴r=，
∴球的体积V球=r3=×=π.
延伸探究　解　设外接球半径为R，由上述例题解题过程可知，R=OS=SO1-OO1=SO1-r=-
=，
∴外接球的表面积S球=4πR2
=4π×=.
跟踪训练5　C　[如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②.
所以在三棱锥P-DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE=PF=1，PD=2，
所以三棱锥P-DEF的外接球即为以PD，PE，PF为相邻三条棱的长方体的外接球，
所以三棱锥P-DEF的外接球半径R满足
2R==，所以R=，
则其外接球的表面积为4πR2=6π.
因为三棱锥P-DEF的表面积为正方形ABCD的面积，
所以S表=2×2=4，
V三棱锥P-DEF=××1×1×2=.
设三棱锥P-DEF的内切球的半径为r，
所以由S表·r=V三棱锥P-DEF，
解得r=，
所以内切球的表面积为4πr2=，
所以三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积的比值为=24.]
随堂演练
1.D　2.B　3.D　4.312作业41　与球有关的内切、外接问题
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分
1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(　　)
A.8 B.8 C.8 D.4
2.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为(　　)
A. B.56π C.14π D.64π
3.在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为(　　)
A.4π B.6π C.8π D.9π
4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6，则其外接球的体积为(　　)
A.28π B.π
C.π D.28π
5.(多选)用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列结论中正确的是(　　)
A.若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6
B.若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C.若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+
D.若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截面面积不是定值
6.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(　　)
A. B. C. D.2π
7.(5分)各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是　　　　.
8.(5分)已知A，B，C，D为球O的球面上四个点，且满足AB=4，BC=3，CD=4，AB⊥平面BCD，则球O的表面积的最小值为　　　　　.
9.(10分)如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现.
(1)求圆柱的体积与球的体积之比；(6分)
(2)求圆柱的表面积与球的表面积之比.(4分)
10.(10分)一块边长为20 cm的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，如图2.
　　　　 图1　　　　　　　　　图2
(1)试把容器的容积V表示成底边边长x的函数；(4分)
(2)当x=12 cm时，求此容器的内切球(与四个侧面和底面均相切的球)的半径r.(6分)
11.在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　)
A.2π B.4π C.6π D.8π
12.(多选)下列关于三棱柱ABC-A1B1C1的命题，正确的是(　　)
A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球
B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有内切球
C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为6
D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形
13.(多选)在七面体MN-ABCD中，四边形ABCD为正方形且边长为2，MB，ND都与平面ABCD垂直，且MB=ND=h，则对这个多面体描述正确的是(　　)
A.当h=1时，它有外接球，且其半径为
B.当h=2时，它有外接球，且其半径为
C.当它有内切球时，h=2
D.当它有内切球时，h=4
14.(5分)已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为　　　　.
15.(多选)已知圆锥OP的底面半径r=，侧面积为6π，内切球的球心为O1，外接球的球心为O2，则下列说法正确的是(　　)
A.外接球O2的表面积为16π
B.设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2，则r2=2r1
C.∠APB=
D.设母线PB的中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为
16.(11分)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=BB1=CC1=DD1=，AB=2，A1B1=1.
(1)求该四棱台的表面积；(4分)
(2)求该四棱台外接球的体积.(7分)
答案精析
1.A　2.C
3.B　[在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，
则∠ASB=，则正三棱锥S-ABC为正四面体.
将正四面体补成正方体(正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点)，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，
由△ABC的边长为2，可得补成的正方体棱长为，
则其外接球的半径R==，
所以该正三棱锥外接球的表面积S=4πR2=6π.]
4.D　[由正三棱柱的底面边长AB=6，设底面外接圆的半径为r，所以2r=，解得r=2.又正三棱柱的高AA1=6，则球心到底面的距离d=3，根据球心距、底面外接圆半径与球半径的关系得，R2=r2+d2=12+9=21，即R=.所以外接球的体积V=πR3=28π.]
5.BC　[若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形ACB1，其边长为，则截面的周长为3，A错误；
若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，故外接球体积相等，B正确；
当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均为2×12+2××12+1×=3+，C正确；
若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面积是定值，D错误.]
6.A　[设圆锥的底面半径为r，高为h，
则2πr=×3，
∴r=1，h==2，设内切球的半径为R，则=，
∴R=，V=πR3=π×=.]
7.24π
解析　正四棱柱的高为4，体积为16，则底面积为4，则底面正方形边长为2，正四棱柱的体对角线长即球的直径，为2，所以球的半径为，所以球的表面积是24π.
8.32π
解析　如图，
以△BCD为底，AB为高补成直三棱柱BCD-AEF，
O1，O2分别为△BCD，△AEF的外心，
易知球心O即为O1O2中点，
设球的半径为R，△BCD外接圆半径为r，则R2=r2+4，
由正弦定理可知2r=≥=4，
当且仅当BD=时取等号.
∴rmin=2，
∴Rmin=2.
∴Smin=4π=32π.
9.解　(1)设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h=2R，r=R，
∴V圆柱=πr2h=2πR3，V球=πR3，
∴==.
(2)∵S圆柱=S侧+2S圆=2πrh+2πr2=6πr2，
S球=4πr2，∴==.
10.解　(1)如图，
在Rt△EOF中，
EF=10，OF=x，
则EO=，
∴V=x2，
0(2)方法一　设正四棱锥的内切球球心为P，且与底面相切于点O，与侧面相切于斜高ΕF于点Q，
则PO=PQ=r，
∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，则EQ=4，
又EP=8-r，
∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得r2+42=(8-r)2，
解得r=3.
方法二　当x=12时，由(1)知V=×122×=384，
正四棱锥的表面积S=4××12×10+122=384，
由等体积法可得V=Sr，
即r==3.
11.C　[如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则
三式相加得a2+b2+c2=6，
所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球的表面积为4πR2=6π.]
12.ACD　[对于A，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O，则点O到直三棱柱各个顶点的距离均为，其中r为底面三角形外接圆半径，h为直三棱柱的高，
∴点O即为直三棱柱的外接球球心，A正确；
对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，
即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误；
对于C，若正三棱柱的内切球半径为1，则正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为3，
设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则=3，解得a=2，
∴该正三棱柱的体积V=×××2=6，C正确；
对于D，若外接球球心在直三棱柱的侧面上，则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，
∴球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，
又该侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上，
∴该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，
∴该底面三角形为直角三角形，D正确.]
13.ABD　[以ABCD为底面作长方体ABCD-PMQN，则这个长方体的外接球即为多面体MN-ABCD的外接球，
当h=1时，外接球半径为
=，
当h=2时，外接球半径为
=，故A，B正确；
设E，F分别为MN，AC的中点，若这个多面体有内切球，则其球心O必在EF上，且半径为r=1.
设OH⊥AE，垂足为H，
则由=，
可得=，解得h=4，
故C错误，D正确.]
14.80π
解析　设球O的半径为R，球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面的距离为|6-x|，结合勾股定理，建立等式22+x2=42+|6-x|2，解得x=4，所以R2=x2+22=20，因而球O的表面积S=4πR2=80π.
15.ABD　[设母线长为l，侧面积为πrl=πl=6π，所以l=2.
所以l=2r，△PAB为等边三角形.
则圆锥的轴截面△PAB的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径，如图1，
图1
设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2，
则S△PAB=r1(PA+AB+PB)
=×6r1=3r1，
又S△PAB=PA·ABsin∠PAB=×(2)2×=3，所以r1=1.
在△PAB中，由正弦定理可得=2r2，即2r2==4，
则r2=2.
所以外接球O2的表面积为4π=16π，A正确；
因为r1=1，r2=2，所以r2=2r1，B正确；
∠APB=，
C错误；
将圆锥侧面沿PA剪开，得到的扇形的半径R=l=2，
弧长l1=2πr=2π，
则扇形的圆心角α===π，如图2所示.
图2
连接AM，即为最近路线，在Rt△APM中，有PA=R=2，
PM=PB=，
所以AM==
=，D正确.]
16.解　(1)在等腰梯形DCC1D1中，过点C1作C1H⊥DC，垂足为H，
易求CH=，C1H=，
则四棱台的表面积S=S上底+S下底+S侧=1+4+4××=5+3.
(2)如图，将该棱台补成四棱锥S-ABCD，
连接AC，BD交于点O，
A1C1，B1D1交于点O1，连接SO，
由题意及棱台的结构特征可知，点O1在线段SO上.
因为AB=2，A1B1=1，
所以△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2，
所以SA=2AA1=2，AO=，
故SO=，OO1=，
即该四棱台的高为.
由于四棱台的上、下底面都是正方形，
则该四棱台外接球的球心在OO1上，连接OB1，
在四边形B1BOO1中，OO1=，B1O1=，
则OB1==OB，
即点O到点B的距离与点O到点B1的距离相等，
同理，点O到点A，A1，C，C1，D，D1的距离均为，
所以O为该四棱台外接球的球心，且外接球的半径r=，
故该四棱台外接球的体积V=πr3=.

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