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习题课
第八章
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二面角的平面角的常见解法
1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.(重点)
2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小.(难点)
学习目标
一、定义法求二面角
二、垂面法求二面角
课时对点练
三、垂线法求二面角
内容索引
四、射影面积法
随堂演练
定义法求二面角
一
定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
　　　如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=，求二面角V-AB-C的大小.
例 1
取AB的中点D，连接VD，CD，如图所示.
∵在△VAB中，VA=VB=AB=2，
∴△VAB为等边三角形，
∴VD⊥AB且VD=，
同理CD⊥AB，CD=，
∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角，
由VC=，得△VDC是等边三角形，则∠VDC=60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°.
利用二面角的定义，在二面角的棱上找一点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.
反
思
感
悟
　　　　　如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且AC=2BC.
(1)求证：BC⊥PA；
跟踪训练 1
∵点P在圆O所在平面上的射影恰好是圆O上的点C，∴PC⊥平面ABC，
∵BC 平面ABC，∴BC⊥PC，
又AB是圆O的直径，有BC⊥AC，
且PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PA 平面PAC，
∴BC⊥PA.
(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.
∵PC⊥平面ABC，BC，OC 平面ABC，∴PC⊥BC，
PC⊥OC，
∴∠BCO为二面角B-PC-O的平面角.
设AC=2BC=2，则AB=，OA=OB=OC=，有
∠BCO=∠OBC，则∠BCO为锐角，
在直角△ABC中，cos∠ABC===，
故cos∠BCO=，
故二面角B-PC-O的平面角的余弦值为.
二
垂面法求二面角
垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
　　　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.
例 2
∵SB=BC且E是SC的中点，
∴BE是等腰△SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，又BD 平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE=DE，
平面SAC∩平面BDC=DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.
设SA=2，则AB=2，BC=SB=2.
∵AB⊥BC，∴AC=2，∴∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC，∴∠EDC=60°.
即所求的二面角E-BD-C的大小为60°.
反
思
感
悟
二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面交于两条射线，那么这两条射线所成的角即为该二面角的平面角.
　　　　　如图，设P是二面角α-l-β内一点，P到平面α，β的距离PA，PB分别为8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小.
跟踪训练 2
如图，作AC⊥l于C，连接BC，PC，
∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l，
又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA 平面PAC，
∴l⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴l⊥PC，
∵PB⊥β，l β，∴PB⊥l，
又PB∩PC=P，PB，PC 平面PBC，
∴l⊥平面PBC，
∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC，
∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，
在△PAB中，PA=8，PB=5，AB=7，
∴cos∠APB==，
∴∠APB=60°，∴∠ACB=120°.
即二面角α-l-β的大小为120°.
垂线法求二面角
三
垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小.
例 3
如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，
∴由三垂线定理知BD⊥EF，
∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角.
依题意∠ACF=45°，∠ACE=30°，设AC=2，
∴AF=CF=，AE=1，
∴sin∠AFE===，
∴∠AFE=45°.
∴二面角α-BD-β的大小为45°.
反
思
感
悟
二面角中过一个半平面内的一点作另一个半平面的垂线与二面角的棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角或其补角.
　　　　　如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为
A. B.
C. D.
跟踪训练 3
√
∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，连接A1C交BD于点O，连接AO，如图所示.
则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD=BD，
AO 平面ABD，∴AO⊥平面BCD，
取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC，
∴OM⊥CD，根据三垂线定理知AM⊥CD，
∴∠AMO即为二面角A-CD-B的平面角.
不妨设正方形A1BCD的边长为2，
则AO=，OM=1，
∴AM==.∴cos∠AMO==.
射影面积法
四
　如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求二面角B1-BC-A的余弦值.
例 4
连接BO(图略)，∵AO⊥平面BB1C1C，
∴△OBC为△ABC的射影，
设二面角B1-BC-A的平面角为θ，
∵侧面BB1C1C为菱形，且∠CBB1=60°，BC=1，
又∵B1C的中点为O，
∴BB1=BC=B1C=1，BO=，
∴S△OBC==××1×1×sin 60°=，
∵AC⊥AB1，∴AO=，
∴AB===1，
AC===，
在△ABC中，由余弦定理的推论可得
cos∠ABC=，
∴sin∠ABC=，
∴S△ABC=×1×1×=，
∴cos θ===.
反
思
感
悟
若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ=.
1.知识清单：利用二面角的定义及其平面角的作法求二面角.
2.方法归纳：定义法、垂面法、垂线法、射影面积法.
3.常见误区：寻找二面角的平面角出错，求二面角的三角函数值时出错.
随堂演练
五
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA=，则侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小是
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
1
2
3
4
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥PA，又底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
又PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD 平面PAD，
∴CD⊥PD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角.
在Rt△PAD中，由PA=，AD=1，可得∠PDA=60°.
即侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小是60°.
1
2
3
4
2.如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，
BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，
已知AB=4 cm，AC=6 cm，BD=8 cm，CD=2 cm，则
这个二面角的大小为
A.30° B.60° C.90° D.120°
√
1
2
3
4
如图，过点A作AE∥BD且AE=BD，连接CE，DE，
则AE⊥AB，即∠CAE为二面角的平面角，由题意，
得AE=BD=8 cm，AC=6 cm，∵DE∥AB，
∴DE⊥CE，∴CE2=CD2-ED2=52，
在△ACE中，由余弦定理的推论，
得cos∠CAE===，
则∠CAE=60°，即这个二面角的大小为60°.
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4
3.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成二面角的大小为　　　　.
1
2
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4
60°
正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，
所以正四棱锥的高为3，
所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求二面角的大小为60°.
4.已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD
=1，AD=，则二面角B-CD-A的正切值为　　　　.
1
2
3
4
1
∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，
AB，BC 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，
∴CD⊥AC，∴∠ACB为二面角B-CD-A的平面角.
∵BC⊥CD，
∴BD==.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，
∴AB==1，
在Rt△ABC中，tan∠ACB==1.
课时对点练
六
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D A ABC 2
题号 11 12 13 14 15
答案 C ACD BC 75° C
对一对
答案
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9.
由已知可得
AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，如图，
取CD的中点E，连接BE，
则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A-CD-B的平面角.
答案
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9.
∵EF=，BE=，BF=，
∴cos∠BEF=
==.
答案
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10.
设PA=AB=2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC，连接PE，如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，
PA∩AE=A，
PA，AE 平面PAE，
答案
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10.
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∠ABE=30°，
AB=2，则AE=AB=1，
∵PA⊥平面ABCD，
答案
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10.
AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
由勾股定理得PE==，
∴cos∠PEA==.
∴二面角P-BC-A的余弦值为.
答案
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16.
(1)因为PA⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，
PB，PA 平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，
答案
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16.
所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2，
所以BC⊥AB，
根据平面知识可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
答案
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16.
(2)如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，
再过点E作EF⊥CP于点F，
连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
答案
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16.
DE 平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
因为CP 平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，
EF，DE 平面DEF，
所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
答案
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16.
根据二面角的定义可知，
∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE=，
即tan∠DFE=.
因为AD⊥DC，设AD=x，0则DC=，
由等面积法可得，DE=，
答案
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16.
又CE=
=，
而△EFC为等腰直角三角形，
所以EF=，
又DE⊥平面PAC，EF 平面PAC，
所以DE⊥EF，
答案
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16.
故tan∠DFE===，
解得x=，即AD=.
1.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B'AC=60°.则二面角B'-AD-C的大小是
A.30° B.60°
C.90° D.120°
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基础巩固
答案
√
因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以B'D
=DC=AC，∠ADC=∠ADB'=90°，因此∠B'DC是
二面角B'-AD-C的平面角.
因为∠B'AC=60°，
所以△B'AC是等边三角形，连接B'C(图略)，因此B'C=AB'=AC，
所以在△B'DC中，∠B'DC=90°，即二面角B'-AD-C的大小为90°.
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答案
2.已知二面角α-l-β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a α，b β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为
A.40° B.50° C.130° D.140°
如图，在直线l上任取一点O，作OA∥b，OB∥a，
由a α，b β且a⊥l，b⊥l得∠AOB是二面角α-l-β的平
面角，则有∠AOB=130°，
又OA∥b，OB∥a，所以a，b所成角的大小为180°-130°=50°.
√
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答案
3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值为
A. B.
C. D.
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答案
√
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1，E，
F分别为棱AD，BC的中点，所以EF∥AB，所以EF⊥
平面B1BCC1，
所以EF⊥FC1，EF⊥FC，
所以∠CFC1就是平面C1D1EF与底面ABCD所成的锐二面角，
cos∠CFC1===.
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答案
4.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的正切值为
A.　 B.
C.1　 D.
√
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答案
设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由
正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，
AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在
△ABC中，AE=a，所以tan∠A1EA===，即
二面角A1-BC-A的正切值为.
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答案
5.已知二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
因为二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，所以点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，所以点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心.
√
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答案
6.(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则下列选项正确的是
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为2π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
√
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答案
√
√
依题意，∠APB=120°，PA=2，则OP=1，
OA=OB=，
A选项，圆锥的体积为×π×()2×1=π，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为π××2=2π，B选项正确；
C选项，如图，取AC的中点D，连接OD，PD，
因为PA=PC，OA=OC，
所以PD⊥AC，OD⊥AC，
所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，
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答案
则∠PDO=45°，所以OD=OP=1，
故AD=CD==，则AC=2，C选项正确；
D选项，PD==，
所以S△PAC=×2×=2，D选项错误.
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答案
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，则二面角C-BB1-D
的正切值是　　　.
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答案
由长方体特点可知，BB1⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴BC⊥BB1，BD⊥BB1，
∴∠CBD即为二面角C-BB1-D的平面角.
又CD=AB=3，
BC=AD=4，BC⊥CD，
∴tan∠CBD==.
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答案
8.在60°的二面角的一个半平面上有一点C，它到棱的距离等于4，则点C到另一个平面的距离为　　　　.
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答案
2
如图所示，C是二面角α-l-β的半平面α上的一点，设C在二面角的棱上的射影为B，在平面β中的射影为A，连接AB，AC，BC，则CA⊥β，
∴CA⊥l，CA⊥AB，
又∵CB⊥l，CA∩CB=C，CA，CB 平面ABC，
∴l⊥平面ABC，而AB 平面ABC，
∴l⊥AB，
∴∠ABC为二面角α-l-β的平面角，
∴∠ABC=60°，
又∵CB=4，∴CA=4sin 60°=2，
即点C到平面β的距离为2.
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答案
9.在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A-CD-B的余弦值.
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答案
由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，如图，
取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则
∠BEF为二面角A-CD-B的平面角.
∵EF=，BE=，BF=，
∴cos∠BEF===.
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答案
10.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
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答案
设PA=AB=2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC，连接PE，如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，PA∩AE=A，PA，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，
AB=2，则AE=AB=1，
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答案
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
由勾股定理得PE==，
∴cos∠PEA==.
∴二面角P-BC-A的余弦值为.
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答案
11.已知二面角α-MN-β的平面角为θ1，AB α，B∈MN，∠ABM=θ2(θ2为锐角)，AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是
A.cos θ3=cos θ1·cos θ2
B.cos θ3=sin θ1·cos θ2
C.sin θ3=sin θ1·sin θ2
D.sin θ3=cos θ1·sin θ2
√
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综合运用
答案
如图，过A作AH⊥β于H，作HO⊥MN于O，连接
AO，则AO⊥MN，所以∠AOH为α-MN-β的平面角，
∠ABH为AB与β所成的角，因为sin θ1=，sin θ2
=，
所以sin θ1·sin θ2=·==sin θ3.
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答案
12.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论正确的是
A.AC⊥B1D
B.A1C1∥平面B1CD
C.二面角B1-CD-B的大小为45°
D.点C1到平面B1CD的距离为
√
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答案
√
√
连接BD，如图所示，
对于A，由正方体性质可知，
BB1⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC，
又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又BB1∩BD=B，且BB1，BD 平面BB1D，
所以AC⊥平面BB1D，因为B1D 平面BB1D，所以AC⊥B1D，所以A正确；
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答案
对于B，连接A1D，平面B1CD即为平面B1A1DC，
又A1C1∩平面B1A1DC=A1，
即A1C1与平面B1CD相交，所以B错误；
对于C，平面B1CD∩平面ABCD=CD，易知B1C⊥CD，
BC⊥CD，
所以∠B1CB即为二面角B1-CD-B的平面角，显然∠B1CB=45°，即二面角B1-CD-B的大小为45°，所以C正确；
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答案
对于D，易知三棱锥C1-B1CD与三棱锥B1-C1CD的体积
相等，
设点C1到平面B1CD的距离为d，
即·d=·B1C1，
可得×××1·d=××1×1×1，
所以d=，即点C1到平面B1CD的距离为，所以D正确.
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答案
13.(多选)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠ABC=∠BCD
=，∠CBD=，AB=BD=2，则下列结论正确的是
A.四面体ABCD的体积为
B.AB⊥CD
C.二面角A-CD-B的余弦值为
D.四面体ABCD外接球的体积为
√
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答案
√
因为∠ABC=，所以AB⊥BC，又平面ABC⊥平面
BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AB 平面ABC，
所以AB⊥平面BCD，
在△BCD中，因为∠BCD=，∠CBD=，BD=2，
所以CD=1，BC=，
所以S△BCD=BC·DC=××1=，
所以V四面体ABCD=S△BCD·AB=××2=，A错误，B正确；
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答案
二面角A-CD-B的平面角是∠ACB，
易得AC=，
所以cos∠ACB==，C正确；
将原几何体补成长方体，如图所示.
则四面体ABCD的外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为AD，
且AD==2，
所以外接球半径R=，
故V球=π·()3=，D错误.
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答案
14.若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为　　　　.
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答案
75°
根据题意，设点P在锐二面角α-l-β内，
过点P作PA⊥平面α，垂足为A，过点P作PB⊥平面β，垂足为B，
因为PA⊥α，l α，则PA⊥l，同理PB⊥l，
而PA∩PB=P，PA，PB 平面PAB，
则l⊥平面PAB，
设平面PAB与直线l的交点为C，连接PC，AC，BC，PC，AC，BC 平面PAB，
则有PC⊥l，AC⊥l，BC⊥l，
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答案
则∠ACB是二面角α-l-β的平面角，
依题意，不妨设PA=1，则PB=，PC=2，如图，
在Rt△PAC中，PA=1，PC=2，则∠ACP=30°，
在Rt△BCP中，PB=，PC=2，
则∠BCP=45°，
则∠ACB=30°+45°=75°，所以锐二面角的大小为75°.
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答案
拓广探究
15.(2023·北京)刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为
A.102 m B.112 m
C.117 m D.125 m
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答案
根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，
设E，F在底面矩形的射影点分别为M，N，
设AD与BC的中点分别为P，Q，则M，N在线段PQ上，如图，
过M，N分别作AB的垂线，垂足点分别
为G，H，连接HF，FQ，GE，EP，
则根据题意及三垂线定理易得
tan∠EPM=tan∠EGM=tan∠FHN=tan∠FQN=，
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答案
又MG=NH=5，∴EM=FN=，
∴PM=QN=5，∴EP=FQ==，
∴MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15，
∴EF=MN=15，
又BQ=5，FQ=，∴FB==8，
∴ED=EA=FC=FB=8，
∴该多面体的所有棱长和为8×4+(25+10)×2+15=117.故所需灯带的长度为117 m.
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答案
16.(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
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答案
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答案
因为PA⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，
PB，PA 平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，
所以AD⊥AB.
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答案
因为BC2+AB2=AC2，
所以BC⊥AB，
根据平面知识可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.
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答案
如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，
再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
DE 平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
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答案
因为CP 平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，
EF，DE 平面DEF，
所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
根据二面角的定义可知，
∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE=，
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答案
即tan∠DFE=.
因为AD⊥DC，设AD=x，0则DC=，
由等面积法可得，DE=，
又CE==，
而△EFC为等腰直角三角形，
所以EF=，
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答案
又DE⊥平面PAC，EF 平面PAC，
所以DE⊥EF，
故tan∠DFE===，
解得x=，即AD=.
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答案作业40　二面角的平面角的常见解法
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B'AC=60°.则二面角B'-AD-C的大小是(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.已知二面角α-l-β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a α，b β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为(　　)
A.40° B.50° C.130° D.140°
3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
4.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的正切值为(　　)
A.　 B.　 C.1　 D.
5.已知二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的(　　)
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
6.(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则下列选项正确的是(　　)
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为2π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
7.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，则二面角C-BB1-D的正切值是　　　　.
8.(5分)在60°的二面角的一个半平面上有一点C，它到棱的距离等于4，则点C到另一个平面的距离为　　　　　　.
9.(10分)在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A-CD-B的余弦值.
10.(10分)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
11.已知二面角α-MN-β的平面角为θ1，AB α，B∈MN，∠ABM=θ2(θ2为锐角)，AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是(　　)
A.cos θ3=cos θ1·cos θ2
B.cos θ3=sin θ1·cos θ2
C.sin θ3=sin θ1·sin θ2
D.sin θ3=cos θ1·sin θ2
12.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论正确的是(　　)
A.AC⊥B1D
B.A1C1∥平面B1CD
C.二面角B1-CD-B的大小为45°
D.点C1到平面B1CD的距离为
13.(多选)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠ABC=∠BCD=，∠CBD=，AB=BD=2，则下列结论正确的是(　　)
A.四面体ABCD的体积为
B.AB⊥CD
C.二面角A-CD-B的余弦值为
D.四面体ABCD外接球的体积为
14.(5分)若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为　　　　.
15.(2023·北京)刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为(　　)
A.102 m B.112 m C.117 m D.125 m
16.(12分)(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；(4分)
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.(8分)
答案精析
1.C　2.B　3.B
4.D　[设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在△ABC中，AE=a，所以tan∠A1EA===，即二面角A1-BC-A的正切值为.]
5.A　[因为二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，所以点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，所以点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心.]
6.ABC　[依题意，∠APB=120°，
PA=2，
则OP=1，
OA=OB=，
A选项，圆锥的体积为×π×()2×1=π，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为π××2=2π，B选项正确；
C选项，如图，取AC的中点D，
连接OD，PD，
因为PA=PC，OA=OC，
所以PD⊥AC，OD⊥AC，
所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，
则∠PDO=45°，所以OD=OP=1，
故AD=CD==，
则AC=2，C选项正确；
D选项，PD==，
所以S△PAC=×2×=2，
D选项错误.]
7.
8.2
解析　如图所示，C是二面角α-l-β的半平面α上的一点，设C在二面角的棱上的射影为B，在平面β中的射影为A，连接AB，AC，BC，则CA⊥β，
∴CA⊥l，CA⊥AB，
又∵CB⊥l，CA∩CB=C，
CA，CB 平面ABC，
∴l⊥平面ABC，而AB 平面ABC，
∴l⊥AB，
∴∠ABC为二面角α-l-β的平面角，
∴∠ABC=60°，
又∵CB=4，∴CA=4sin 60°=2，
即点C到平面β的距离为2.
9.解　由已知可得
AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，如图，取CD的中点E，连接BE，
则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A-CD-B的平面角.
∵EF=，BE=，BF=，
∴cos∠BEF=
==.
10.解　设PA=AB=2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC，连接PE，如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，
PA∩AE=A，
PA，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∠ABE=30°，
AB=2，则AE=AB=1，
∵PA⊥平面ABCD，
AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
由勾股定理得PE==，
∴cos∠PEA==.
∴二面角P-BC-A的余弦值为.
11.C　[如图，过A作AH⊥β于H，作HO⊥MN于O，连接AO，则AO⊥MN，所以∠AOH为α-MN-β的平面角，∠ABH为AB与β所成的角，因为sin θ1=，sin θ2=，
所以sin θ1·sin θ2=·
==sin θ3.]
12.ACD　[连接BD，如图所示，
对于A，由正方体性质可知，
BB1⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BB1⊥AC，
又因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，
又BB1∩BD=B，
且BB1，BD 平面BB1D，
所以AC⊥平面BB1D，因为B1D 平面BB1D，所以AC⊥B1D，所以A正确；
对于B，连接A1D，平面B1CD即为平面B1A1DC，
又A1C1∩平面B1A1DC=A1，
即A1C1与平面B1CD相交，
所以B错误；
对于C，平面B1CD∩平面ABCD=CD，易知B1C⊥CD，BC⊥CD，
所以∠B1CB即为二面角B1-CD-B的平面角，显然∠B1CB=45°，即二面角B1-CD-B的大小为45°，所以C正确；
对于D，易知三棱锥C1-B1CD与三棱锥B1-C1CD的体积相等，
设点C1到平面B1CD的距离为d，
即·d=·B1C1，
可得×××1·d=××1×1×1，
所以d=，即点C1到平面B1CD的距离为，所以D正确.]
13.BC　[因为∠ABC=，
所以AB⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD=BC，
AB 平面ABC，
所以AB⊥平面BCD，
在△BCD中，因为∠BCD=，∠CBD=，BD=2，
所以CD=1，BC=，
所以S△BCD=BC·DC
=××1=，
所以V四面体ABCD=S△BCD·AB
=××2=，A错误，B正确；
二面角A-CD-B的平面角是∠ACB，
易得AC=，
所以cos∠ACB==，
C正确；
将原几何体补成长方体，如图所示.则四面体ABCD的外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为AD，
且AD==2，
所以外接球半径R=，
故V球=π·()3=，
D错误.]
14.75°
解析　根据题意，设点P在锐二面角α-l-β内，
过点P作PA⊥平面α，垂足为A，
过点P作PB⊥平面β，垂足为B，
因为PA⊥α，l α，
则PA⊥l，同理PB⊥l，
而PA∩PB=P，
PA，PB 平面PAB，
则l⊥平面PAB，
设平面PAB与直线l的交点为C，
连接PC，AC，BC，PC，AC，BC 平面PAB，
则有PC⊥l，AC⊥l，BC⊥l，
则∠ACB是二面角α-l-β的平面角，
依题意，不妨设PA=1，则PB=，PC=2，如图，
在Rt△PAC中，PA=1，PC=2，则∠ACP=30°，
在Rt△BCP中，PB=，PC=2，
则∠BCP=45°，
则∠ACB=30°+45°=75°，所以锐二面角的大小为75°.
15.C　[根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，
设E，F在底面矩形的射影点分别为M，N，
设AD与BC的中点分别为P，Q，
则M，N在线段PQ上，如图，
过M，N分别作AB的垂线，垂足点分别为G，H，连接HF，FQ，GE，EP，
则根据题意及三垂线定理易得
tan∠EPM=tan∠EGM
=tan∠FHN=tan∠FQN=，
又MG=NH=5，
∴EM=FN=，
∴PM=QN=5，
∴EP=FQ==，
∴MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15，
∴EF=MN=15，
又BQ=5，FQ=，
∴FB==8，
∴ED=EA=FC=FB=8，
∴该多面体的所有棱长和为8×4+(25+10)×2+15=117.故所需灯带的长度为117 m.]
16.(1)证明　因为PA⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，
PB，PA 平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，
所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2，
所以BC⊥AB，
根据平面知识可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)解　如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，
再过点E作EF⊥CP于点F，
连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
DE 平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
因为CP 平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，
EF，DE 平面DEF，
所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
根据二面角的定义可知，
∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE=，
即tan∠DFE=.
因为AD⊥DC，设AD=x，0则DC=，
由等面积法可得，DE=，
又CE=
=，
而△EFC为等腰直角三角形，
所以EF=，
又DE⊥平面PAC，EF 平面PAC，
所以DE⊥EF，
故tan∠DFE===，
解得x=，即AD=.习题课　二面角的平面角的常见解法
[学习目标]　1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小.
一、定义法求二面角
知识梳理
定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
例1　如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=，求二面角V-AB-C的大小.
跟踪训练1　如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且AC=2BC.
(1)求证：BC⊥PA；
(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.
二、垂面法求二面角
知识梳理
垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
例2　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.
跟踪训练2　如图，设P是二面角α-l-β内一点，P到平面α，β的距离PA，PB分别为8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小.
三、垂线法求二面角
知识梳理
垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
例3　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小.
反思感悟　二面角中过一个半平面内的一点作另一个半平面的垂线与二面角的棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角或其补角.
跟踪训练3　如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
四、射影面积法
例4　如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求二面角B1-BC-A的余弦值.
1.知识清单：利用二面角的定义及其平面角的作法求二面角.
2.方法归纳：定义法、垂面法、垂线法、射影面积法.
3.常见误区：寻找二面角的平面角出错，求二面角的三角函数值时出错.
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA=，则侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小是(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，已知AB=4 cm，AC=6 cm，BD=8 cm，CD=2 cm，则这个二面角的大小为(　　)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成二面角的大小为　　　　.
4.已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=1，AD=，则二面角B-CD-A的正切值为　　　　.
答案精析
例1　解　取AB的中点D，连接VD，CD，如图所示.
∵在△VAB中，VA=VB=AB=2，
∴△VAB为等边三角形，
∴VD⊥AB且VD=，
同理CD⊥AB，
CD=，
∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角，
由VC=，得△VDC是等边三角形，则∠VDC=60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°.
跟踪训练1　(1)证明　∵点P在圆O所在平面上的射影恰好是圆O上的点C，∴PC⊥平面ABC，
∵BC 平面ABC，∴BC⊥PC，
又AB是圆O的直径，有BC⊥AC，
且PC∩AC=C，
PC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，
∴BC⊥PA.
(2)解　∵PC⊥平面ABC，BC，OC 平面ABC，∴PC⊥BC，PC⊥OC，
∴∠BCO为二面角B-PC-O的平面角.
设AC=2BC=2，则AB=，OA=OB=OC=，有∠BCO=∠OBC，则∠BCO为锐角，
在直角△ABC中，
cos∠ABC===，
故cos∠BCO=，
故二面角B-PC-O的平面角的余弦值为.
例2　解　∵SB=BC且E是SC的中点，
∴BE是等腰△SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE 平面BDE，∴SC⊥平面BDE，又BD 平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE=DE，
平面SAC∩平面BDC=DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥AC.
设SA=2，
则AB=2，BC=SB=2.
∵AB⊥BC，∴AC=2，
∴∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC，∴∠EDC=60°.
即所求的二面角E-BD-C的大小为60°.
跟踪训练2　解　如图，作AC⊥l于C，连接BC，PC，
∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l，
又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA 平面PAC，
∴l⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，
∴l⊥PC，
∵PB⊥β，l β，∴PB⊥l，
又PB∩PC=P，
PB，PC 平面PBC，
∴l⊥平面PBC，
∴平面PAC与平面PBC重合，
且l⊥BC，
∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，
在△PAB中，PA=8，PB=5，AB=7，
∴cos∠APB==，
∴∠APB=60°，∴∠ACB=120°.
即二面角α-l-β的大小为120°.
例3　解　如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，
∴由三垂线定理知BD⊥EF，
∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角.
依题意∠ACF=45°，∠ACE=30°，
设AC=2，
∴AF=CF=，AE=1，
∴sin∠AFE===，
∴∠AFE=45°.
∴二面角α-BD-β的大小为45°.
跟踪训练3　B　[∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，连接A1C交BD于点O，连接AO，如图所示.
则AO⊥BD，
∵平面ABD∩
平面BCD=BD，
AO 平面ABD，∴AO⊥平面BCD，
取CD的中点M，连接OM，AM，
则OM∥BC，
∴OM⊥CD，根据三垂线定理知AM⊥CD，
∴∠AMO即为二面角A-CD-B的平面角.
不妨设正方形A1BCD的边长为2，
则AO=，OM=1，
∴AM==.
∴cos∠AMO==.]
例4　解　连接BO(图略)，
∵AO⊥平面BB1C1C，
∴△OBC为△ABC的射影，
设二面角B1-BC-A的平面角为θ，
∵侧面BB1C1C为菱形，且∠CBB1=60°，BC=1，
又∵B1C的中点为O，
∴BB1=BC=B1C=1，BO=，
∴S△OBC==××1×1×sin 60°=，
∵AC⊥AB1，∴AO=，
∴AB=
==1，
AC==
=，
在△ABC中，由余弦定理的推论可得
cos∠ABC=，
∴sin∠ABC=，
∴S△ABC=×1×1×=，
∴cos θ===.
随堂演练
1.C　2.B　3.60°　4.1

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