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第八章
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章末复习课
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一、几何体的表面积与体积
二、空间中的平行关系
三、空间中的垂直关系
四、空间角的求法
内容索引
几何体的表面积与体积
一
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.
　　　已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？
例 1
∵V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB，
且S△AOB为定值，∴当点C到平面OAB的距离最大时，
V三棱锥O-ABC最大，即当点C位于垂直于球O的最大圆面
OAB的直径顶端时，三棱锥O-ABC的体积最大.
如图所示，设球O的半径为R，此时V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB=×R2·R=
=36.
∴R=6.
∴球O的表面积S=4πR2=144π.
(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.
(2)割补法：“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.
(3)展开法：将简单的几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形.
(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.
反
思
感
悟
空间几何体的体积与表面积的计算方法
正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为
A.20+12 B.28
C. D.
跟踪训练 1
√
作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h==，
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
所以该棱台的体积V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.
二
空间中的平行关系
立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行.
　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=
AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAB；
例 2
由已知得AM=AD=2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC的中点知TN∥BC，TN=BC=2.
又AD∥BC，故TN AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
所以MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)求四面体N-BCM的体积.
因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以点N到平面ABCD的距离
为PA=2.
如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC，
AE==.
由AM∥BC得点M到BC的距离为，
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N-BCM的体积
VN-BCM=S△BCM·=.
反
思
感
悟
平行关系的转化
　　　　　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，MA∥PB，PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
跟踪训练 2
当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，
证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，又F是PB的中点，
∴在△PBD中，OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA=PB，
∴PF∥MA且PF=MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F，AF，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
空间中的垂直关系
三
1.判定线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理；
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；
(4)利用面面垂直的性质.
2.判定线线垂直的方法
(1)平面几何中证明线线垂直的方法；
(2)线面垂直的性质：a⊥α，b α a⊥b；
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α a⊥b.
3.判定面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a α，a⊥β α⊥β.
　如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于点E.
(1)求证：AP⊥平面BDE；
例 3
∵PC⊥底面ABC，BD 平面ABC，
∴PC⊥BD.
∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.
又PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又AP 平面PAC，∴BD⊥AP.
又DE⊥AP，DE∩BD=D，
DE，BD 平面BDE，
∴AP⊥平面BDE.
(2)求证：平面BDE⊥平面BDF；
∵D，F分别为AC，PC的中点，
∴DF∥AP.
又AP⊥平面BDE，
∴DF⊥平面BDE，又DF 平面BDF，
∴平面BDE⊥平面BDF.
(3)若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比.
设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2，则h1∶h2=EP∶AP=2∶3，
又F为PC的中点，∴S△PBC=2S△PBF，
∴=
=
==.
故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积之比为1∶2.
反
思
感
悟
线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
　　　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥
AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
跟踪训练 3
因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA 平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)平面BEF⊥平面PCD.
因为AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB=DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
因为AB⊥AD，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
又CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA=A，AD，PA 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
空间角的求法
四
空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题.求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角.
　　　如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD=
DC=2，BC=2.
(1)求PB与平面ADC所成角的大小；
例 4
因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD即为PB与平面ADC所成的角.
因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥DC，
所以BD=2，tan∠PBD==，
所以∠PBD=30°，
即PB与平面ADC所成角的大小为30°.
(2)求异面直线PC与BD所成角的正弦值.
取PA的中点G，连接OG，DG，如图.
显然OG∥PC，所以∠DOG即为异面直线PC与BD所
成的角.
因为OG=PC=，OD=BD=，DG=PA=，
所以△OGD是等腰三角形，作底边的高(图略)，
易求出sin∠DOG=，
所以异面直线PC与BD所成角的正弦值为.
反
思
感
悟
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法.
　　　　　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面☉O，PO=，☉O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点.
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
跟踪训练 4
如图，连接OC.
∵PO⊥底面☉O，AC 底面☉O，∴AC⊥PO.
∵OA=OC，D是AC的中点，
∴AC⊥OD.
又OD∩PO=O，OD，PO 平面POD，
∴AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC.
(2)求二面角B-PA-C的余弦值.
在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H.
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，且交线为PD，OH 平面POD，∴OH⊥平面PAC.
又PA 平面PAC，∴PA⊥OH.
在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，
连接HG，
∵OG∩OH=O，OG，OH 平面OGH，
则PA⊥平面OGH，又HG 平面OGH，
∴PA⊥HG.
故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角.
∵C是的中点，AB是直径，∴OC⊥AB，
又OA=OC，∴∠OAC=45°.
在Rt△ODA中，OD=OAsin 45°=.
在Rt△POD中，
OH====.
在Rt△POA中，
OG====.
∵OH⊥平面PAC，GH 平面PAC，
∴OH⊥GH.在Rt△OHG中，
sin∠OGH===.
由图易知∠OGH为锐角，
∴cos∠OGH=
==.
故二面角B-PA-C的余弦值为.一、几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.
例1　已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？
跟踪训练1　正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A.20+12 B.28
C. D.
二、空间中的平行关系
立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行.
例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N-BCM的体积.
反思感悟　平行关系的转化
跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，MA∥PB，PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
三、空间中的垂直关系
1.判定线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理；
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；
(4)利用面面垂直的性质.
2.判定线线垂直的方法
(1)平面几何中证明线线垂直的方法；
(2)线面垂直的性质：a⊥α，b α a⊥b；
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α a⊥b.
3.判定面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a α，a⊥β α⊥β.
例3　如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于点E.
(1)求证：AP⊥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BDF；
(3)若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比.
反思感悟　线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
跟踪训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
四、空间角的求法
空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题.求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角.
例4　如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD=DC=2，BC=2.
(1)求PB与平面ADC所成角的大小；
(2)求异面直线PC与BD所成角的正弦值.
跟踪训练4　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面☉O，PO=，☉O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点.
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B-PA-C的余弦值.
答案精析
例1　解　∵V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB，
且S△AOB为定值，
∴当点C到平面OAB的距离最大时，V三棱锥O-ABC最大，即当点C位于垂直于球O的最大圆面OAB的直径顶端时，三棱锥O-ABC的体积最大.如图所示，设球O的半径为R，此时V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB
=×R2·R==36.
∴R=6.∴球O的表面积S=4πR2
=144π.
跟踪训练1　D　[作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
h==，
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
所以该棱台的体积V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.]
例2　(1)证明　由已知得
AM=AD=2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC的中点知TN∥BC，TN=BC=2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
所以MN∥AT.
因为AT 平面PAB，
MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以点N到平面ABCD的距离为PA=2.
如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC，
AE==.
由AM∥BC得点M到BC的距离为，
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N-BCM的体积
VN-BCM=S△BCM·=.
跟踪训练2　解　当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，
证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又F是PB的中点，
∴在△PBD中，OF∥PD.
又OF 平面PMD，
PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA=PB，
∴PF∥MA且PF=MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，
PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F，
AF，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
例3　(1)证明　∵PC⊥底面ABC，
BD 平面ABC，
∴PC⊥BD.
∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC.
又PC∩AC=C，
PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又AP 平面PAC，∴BD⊥AP.
又DE⊥AP，DE∩BD=D，
DE，BD 平面BDE，
∴AP⊥平面BDE.
(2)证明　∵D，F分别为AC，PC的中点，
∴DF∥AP.
又AP⊥平面BDE，
∴DF⊥平面BDE，
又DF 平面BDF，
∴平面BDE⊥平面BDF.
(3)解　设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2，
则h1∶h2=EP∶AP=2∶3，
又F为PC的中点，
∴S△PBC=2S△PBF，
∴=
=
=
=.
故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积之比为1∶2.
跟踪训练3　证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD=2AB，
E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB=DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
因为AB⊥AD，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
又CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA=A，
AD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E，
EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
例4　解　(1)因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD即为PB与平面ADC所成的角.
因为四边形ABCD是矩形，
所以BC⊥DC，
所以BD=2，
tan∠PBD==，
所以∠PBD=30°，
即PB与平面ADC所成角的大小为30°.
(2)取PA的中点G，连接OG，DG，如图.
显然OG∥PC，所以∠DOG即为异面直线PC与BD所成的角.
因为OG=PC=，
OD=BD=，DG=PA=，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高(图略)，
易求出sin∠DOG=，
所以异面直线PC与BD所成角的正弦值为.
跟踪训练4　(1)证明　如图，
连接OC.
∵PO⊥底面☉O，AC 底面☉O，
∴AC⊥PO.
∵OA=OC，
D是AC的中点，
∴AC⊥OD.
又OD∩PO=O，
OD，PO 平面POD，
∴AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，
∴平面POD⊥平面PAC.
(2)解　在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H.
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，且交线为PD，OH 平面POD，∴OH⊥平面PAC.
又PA 平面PAC，∴PA⊥OH.
在平面PAO中，
过点O作OG⊥PA于点G，
连接HG，
∵OG∩OH=O，
OG，OH 平面OGH，
则PA⊥平面OGH，
又HG 平面OGH，
∴PA⊥HG.
故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角.
∵C是的中点，AB是直径，
∴OC⊥AB，
又OA=OC，∴∠OAC=45°.
在Rt△ODA中，OD=OAsin 45°
=.
在Rt△POD中，
OH==
==.
在Rt△POA中，
OG==
==.
∵OH⊥平面PAC，GH 平面PAC，
∴OH⊥GH.在Rt△OHG中，
sin∠OGH===.
由图易知∠OGH为锐角，
∴cos∠OGH=
==.
故二面角B-PA-C的余弦值为.

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