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第九章
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一、抽样方法的选取及应用
二、用样本的取值规律估计总体的取值规律
三、用样本的百分位数估计总体
四、用样本的集中趋势、离散程度估计总体
内容索引
抽样方法的选取及应用
一
1.两种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样.
2.掌握两种抽样方法，提升数据分析素养.
　　　某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑测试合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)，若用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取9人进行复测，那么应从两项都合格的人中抽取
A.1人 B.2人
C.5人 D.6人
例 1
√
由题意知，两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人，仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人.
从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为=，故应从两项都合格的人中抽取25×=5(人).
比例分配的分层随机抽样的特点是“按比例分配”，即=.
反
思
感
悟
　　　　　以下抽样方法为简单随机抽样的是
A.在某年明信片的销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机
　抽取的方式确定号码的后四位为2709的是三等奖
B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产
　品，称其质量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解
　其对学校机构改革的意见
D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
跟踪训练 1
√
选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
选项D是简单随机抽样.
二
用样本的取值规律估计总体的取值规律
1.根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图对总体情况作出估计.
2.掌握频率分布直方图的绘制及应用，提升数据分析和数学运算素养.
　　　为了解高三年级学生的身高水平，某校按1∶10的比例对700名高三学生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如表1、表2所示.
表1：男生“身高”频数分布表
例 2
身高(cm) [160，165) [165，170) [170，175)
频数 2 5 14
身高(cm) [175，180) [180，185) [185，190]
频数 13 4 2
表2：女生“身高”频数分布表
身高(cm) [150，155) [155，160) [160，165)
频数 1 7 12
身高(cm) [165，170) [170，175) [175，180]
频数 6 3 1
(1)求高三年级的男生人数，并完成下面男生“身高”的频率分布直方图；
样本中男生人数是40，由抽样比例是1∶10可得高三年级男生人数是400，
男生“身高”的频率分布直方图如图所示.
(2)估计该校高三年级学生“身高”在[165，175)内的人数.
样本中“身高”在[165，175)内的频数为28，所以估计该校高三年级学生“身高”在[165，175)内的学生人数为28×10=280.
反
思
感
悟
(1)绘制频率分布直方图时需注意的两点
①制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；
②频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率.
(2)与频率分布直方图计算有关的两个关系式
①×组距=频率；
②=频率，此关系式的变形为=样本容量，样本
容量×频率=频数.
　　　　　某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽取60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图所示
的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，
回答下列问题：
(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直
方图；
跟踪训练 2
因为各组的频率和等于1.
所以第四组的频率P4=1-(0.025+0.015×2+0.010+0.005)×10=0.3，所以频率分布直方图中第四组的纵坐标是=0.030.
补全频率分布直方图如图所示.
(2)估计这次竞赛成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
依题意得，60分及以上所在的第三、四、
五、六组的频率和为(0.015+0.030+0.025
+0.005)×10=0.75.
所以估计这项竞赛成绩的及格率是75%.
利用组中值估计抽样学生成绩的平均分为
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分)，
所以估计这次竞赛成绩的平均分是71分.
用样本的百分位数估计总体
三
　某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制频率分布直方图如图.
估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数(保留三位有效数字).
例 3
由图可知，2a+3a+7a+6a+2a=0.1，所以a=0.005，
则[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，
[90，100]对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，
0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第一四
分位数为70.0，前三组频率之和为0.6，前四组
频率之和为0.9，所以第80百分位数在第四组.
设第80百分位数为x，则0.6+(x-80)×6×0.005=0.8，解得x≈86.7.
反
思
感
悟
(1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
(2)由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解.
　　　　　高一(1)班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大排序结果如下：
51　54　59　60　64　68　68　70　71　72
72　74　75　76　79　80　80　81　82　83
85　87　88　90　91　92　93　95　98　100
则估计这次数学考试成绩的第75百分位数为
A.87 B.88 　　C.90 　　　D.87.5
跟踪训练 3
√
由30×75%=22.5，可知样本的第75百分位数为第23项数据，据此估计这次数学考试成绩的第75百分位数为88.
用样本的集中趋势、离散程度估计总体
四
1.为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.
2.掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法，提升数据分析和数学运算素养.
　　　在某县100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2024年的全年收入进行调查，调查结果的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这200户家庭的全年收入的样本平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
例 4
估计这200户家庭的全年收入的样
本平均数=1×0.06+2×0.10+3×
0.14+4×0.31+5×0.30+6×0.06+7
×0.02+8×0.01=4，
方差s2=(-3)2×0.06+(-2)2×0.10+
(-1)2×0.14+02×0.31+12×0.30+22×0.06+32×0.02+42×0.01=1.96.
(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中全年收入低于1.5万元的数量.
由频率分布直方图可知，样本中全
年收入低于1.5万元的频率为0.06，
所以估计该县100万户家庭中全年
收入低于1.5万元的数量为100×
0.06=6(万户).
反
思
感
悟
(1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计.因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况.
(2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断.
通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计.
　　　　　某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如表所示.
跟踪训练 4
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
B型汽车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 10 10 15 10 5
A型汽车
(1)试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)；
由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大.
(2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由.
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
B型汽车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 10 10 15 10 5
A型汽车
50辆A型汽车出租天数的平均数为==4.62，
50辆B型汽车出租天数的平均数为==4.8，
方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车.
方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，平均数相差不大，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车.一、抽样方法的选取及应用
1.两种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样.
2.掌握两种抽样方法，提升数据分析素养.
例1　某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑测试合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)，若用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取9人进行复测，那么应从两项都合格的人中抽取(　　)
A.1人 B.2人
C.5人 D.6人
反思感悟　比例分配的分层随机抽样的特点是“按比例分配”，即=.
跟踪训练1　以下抽样方法为简单随机抽样的是(　　)
A.在某年明信片的销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的是三等奖
B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其质量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解其对学校机构改革的意见
D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
二、用样本的取值规律估计总体的取值规律
1.根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图对总体情况作出估计.
2.掌握频率分布直方图的绘制及应用，提升数据分析和数学运算素养.
例2　为了解高三年级学生的身高水平，某校按1∶10的比例对700名高三学生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如表1、表2所示.
表1：男生“身高”频数分布表
身高(cm) [160，165) [165，170) [170，175)
频数 2 5 14
身高(cm) [175，180) [180，185) [185，190]
频数 13 4 2
表2：女生“身高”频数分布表
身高(cm) [150，155) [155，160) [160，165)
频数 1 7 12
身高(cm) [165，170) [170，175) [175，180]
频数 6 3 1
(1)求高三年级的男生人数，并完成下面男生“身高”的频率分布直方图；
(2)估计该校高三年级学生“身高”在[165，175)内的人数.
反思感悟　(1)绘制频率分布直方图时需注意的两点
①制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；
②频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率.
(2)与频率分布直方图计算有关的两个关系式
①×组距=频率；
②=频率，此关系式的变形为=样本容量，样本容量×频率=频数.
跟踪训练2　某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽取60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：
(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次竞赛成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
三、用样本的百分位数估计总体
例3　某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制频率分布直方图如图.
估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数(保留三位有效数字).
反思感悟　(1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
(2)由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解.
跟踪训练3　高一(1)班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大排序结果如下：
51　54　59　60　64　68　68　70　71　72
72　74　75　76　79　80　80　81　82　83
85　87　88　90　91　92　93　95　98　100
则估计这次数学考试成绩的第75百分位数为(　　)
A.87 B.88
C.90 D.87.5
四、用样本的集中趋势、离散程度估计总体
1.为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.
2.掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法，提升数据分析和数学运算素养.
例4　在某县100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2024年的全年收入进行调查，调查结果的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这200户家庭的全年收入的样本平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中全年收入低于1.5万元的数量.
反思感悟　通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计.
(1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计.因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况.
(2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断.
跟踪训练4　某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如表所示.
A型汽车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
B型汽车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 10 10 15 10 5
(1)试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)；
(2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由.
答案精析
例1　C
跟踪训练1　D
例2　解　(1)样本中男生人数是40，由抽样比例是1∶10可得高三年级男生人数是400，男生“身高”的频率分布直方图如图所示.
(2)样本中“身高”在[165，175)内的频数为28，所以估计该校高三年级学生“身高”在[165，175)内的学生人数为28×10=280.
跟踪训练2　解　(1)因为各组的频率和等于1.
所以第四组的频率P4=1-(0.025+0.015×2+0.010+0.005)×10=0.3，所以频率分布直方图中第四组的纵坐标是=0.030.
补全频率分布直方图如图所示.
(2)依题意得，60分及以上所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.75.
所以估计这项竞赛成绩的及格率是75%.
利用组中值估计抽样学生成绩的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分)，
所以估计这次竞赛成绩的平均分是71分.
例3　解　由图可知，2a+3a+7a+6a+2a=0.1，所以a=0.005，则[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第一四分位数为70.0，前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以第80百分位数在第四组.
设第80百分位数为x，则0.6+(x-80)×6×0.005=0.8，解得x≈86.7.
跟踪训练3　B
例4　解　(1)估计这200户家庭的全年收入的样本平均数=1×0.06+2×0.10+3×0.14+4×0.31+5×0.30+6×0.06+7×0.02+8×0.01=4，
方差s2=(-3)2×0.06+(-2)2×0.10+(-1)2×0.14+02×0.31+12×0.30+22×0.06+32×0.02+42×0.01=1.96.
(2)由频率分布直方图可知，样本中全年收入低于1.5万元的频率为0.06，所以估计该县100万户家庭中全年收入低于1.5万元的数量为100×0.06=6(万户).
跟踪训练4　解　(1)由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大.
(2)50辆A型汽车出租天数的平均数为=
=4.62，
50辆B型汽车出租天数的平均数为
=
=4.8，
方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车.
方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，平均数相差不大，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车.

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