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3.3　万有引力定律的应用
3.4　宇宙速度与航天
1.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则可求得(　　)
A.该行星的质量
B.太阳的质量
C.该行星的平均密度
2.一个半径为R、质量为M的星球,引力常量为G,星球表面的重力加速度是(　　)
A. B. C. D.
3.设太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可视作半径为r的圆.已知引力常量为G,则描述该行星运动的上述物理量满足(　　)
A.GM= B.GM=
C.GM= D.GM=
4.设地球表面处的重力加速度为g,则在距地面高为2R(R是地球的半径)处,由于地球的作用而产生的重力加速度是(　　)
A. B. C. D.
5.某卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动,线速度大小为v,轨道半径为r,引力常量为G,则地球的质量为(　　)
A. B. C. D.
6.北斗导航系统中的地球同步卫星绕地球近似做匀速圆周运动,其运行的线速度(　　)
A.大于第一宇宙速度 B.等于第一宇宙速度
C.小于第一宇宙速度 D.等于第二宇宙速度
7.如图所示,在地面上发射一颗卫星,进入椭圆轨道Ⅱ运行,其发射速度(　　)
A.小于7.9 km/s
B.等于7.9 km/s
C.大于7.9 km/s,小于11.2 km/s
D.大于11.2 km/s,小于16.7 km/s
8.(2024·湖南学业考试)北斗卫星导航系统是我国实施的自主发展、独立运行的卫星导航系统,实现了全球通讯全覆盖.如图,两颗可视为质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动,所受万有引力大小分别为FA、FB﹔角速度大小分别为ωA、ωB;周期分别为TA、TB﹔线速度大小分别为vA、vB.下列关系正确的是(　　)
A.FA>FB B.ωA=ωB
C.TA=TB D.vA=vB
9.(2023·江苏学业考试)2023年5月17日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,成功发射第五十六颗北斗导航卫星,该卫星为地球静止轨道卫星.则该卫星(　　)
A.自东向西绕地球运动 B.运行周期是24 h
C.可以飞越扬州上空 D.线速度大于7.9 km/s
10.(2024年第一次广东合格性考试)(多选)如图所示,一行星绕恒星做匀速圆周运动,其运动周期为T,半径为r,引力常量为G,下列说法正确的有(　　)
A.行星的角速度大小为
B.行星的加速度大小为
C.行星的线速度大小为
D.恒星的质量为
1.B　设太阳质量和行星质量分别为M和m,则由万有引力提供向心力可得G=m,解得M=,即可以求出太阳的质量,而行星的质量被消掉,所以无法求出行星的质量,且不知道太阳和行星的半径,故也无法求出它们的平均密度.
2.A　星球表面的物体受到的重力近似等于星球对物体的万有引力,有=mg,可知星球表面的重力加速度 g=.
3.A　太阳对行星的万有引力提供行星做圆周运动的向心力,即G=mr,由此可得GM=.
4.D　根据G=mg,则g=,则==,故选项D正确.
5.A　根据牛顿第二定律有G=m,解得M=.
6.C　根据万有引力提供向心力可知G=m,解得v=,当卫星的轨道半径等于地球半径时,运行速度等于第一宇宙速度,而同步卫星的轨道半径大于地球半径,故同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度.
7.C　由宇宙速度的意义可知,在地面上发射一颗卫星,要进入椭圆轨道 Ⅱ 运行,其发射速度大于 7.9 km/s,小于 11.2 km/s.
8.A　两卫星所受万有引力FA=G,FB=G,由于 rAFB,故A正确;根据G=mrA,G=mrB,解得ωA=,ωB=,由于rAωB,故B错误;根据T=,结合上述可知 TAvB,故D错误.
9.B　地球自西向东运动,而该卫星为地球静止轨道卫星,因此该卫星也自西向东运动,故A错误;由于该卫星为地球静止轨道卫星,因此其运行周期等于地球的自转周期,即其运行周期是24 h,故B正确;地球静止轨道卫星一定发射在地球赤道平面内,而扬州不在地球赤道上,因此该卫星不可能飞越扬州上空,故C错误;第一宇宙速度大小为7.9 km/s,而第一宇宙速度为最小发射速度,最大环绕速度,根据万有引力充当向心力,有G=m,可得v=,当物体环绕地球表面(轨道半径近似等于地球半径)做圆周运动时,其线速度等于第一宇宙速度,而地球静止轨道卫星的轨道半径大于地球半径,则可知该卫星的线速度小于7.9 km/s,故D错误.
10.ACD　一行星绕恒星做匀速圆周运动,其运动周期为T,半径为r,则行星的角速度大小为ω=,行星的加速度大小为a=ω2r=r,行星的线速度大小为v=ωr=,故A、C正确,B错误;由万有引力提供向心力可得=mr,可得恒星的质量为M=,故D正确.3.3　万有引力定律的应用
3.4　宇宙速度与航天
预测地球形状　预测未知天体
一、预测地球形状
1.牛顿通过万有引力定律的理论计算,大胆预测:地球由于自转作用,赤道部分应该隆起,成为两极扁平的椭球体.
2.万有引力与重力的关系
假设地球是一个半径为R且密度均匀的球体,质量为M.在纬度θ处相对于地球静止地悬挂着一个质量为m的物体,它受到地球的引力大小F=　　　　,方向沿地球半径指向　　　　,如图所示.该引力主要产生两大作用效果,一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡,另一方面是提供物体随地球一起自转的　　　　力.因此,可以将引力F分解为F1和F2两个分力.分力F1=FT,就是我们所熟悉的　　　　力.分力F2=mω2Rcos θ,是物体随地球自转所需的向心力,其方向垂直指向　　　　.
万有引力指向地轴的分力F2实际上特别小,所以一般认为地球附近的物体所受的重力近似　　　　地球对物体的万有引力.
3.特殊位置的重力加速度
(1)南、北极点:mg=G(F2=0),重力加速度最大,方向指向地心.
(2)赤道处:mg+F2=G,重力加速度有最小值(g=G-Rω2),方向指向地心.
因此,只有在地球的两个极点上,万有引力和重力才大小相等、方向相同;在赤道上,二者虽然方向相同,但大小相差最大.除赤道和极点以外的其他位置,重力的方向均不指向地心.从图中可以看出,重力是万有引力的一个分力,方向一般不指向地心,重力加速度随纬度的增大而增大.
二、预测未知天体
1.海王星的发现
英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶分别独立推算出一颗新行星的运行轨道.对准该轨道位置观测,一颗新的行星——海王星被发现了.
2.哈雷彗星的回归
英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”.
【典例突破】
[典例1] 将物体由赤道向两极移动(　　)
A.它的重力减小
B.它随地球转动的向心力增大
C.它随地球转动的向心力减小
D.向心力方向、重力的方向都指向球心
[典例2] (2023年第二次广东合格性考试)(多选)某星球的质量约为地球的,半径约为地球的.设其质量分布均匀且不考虑自转,地球表面重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的有(　　)
A.该星球表面的重力加速度约为20 m/s2
B.该星球表面的重力加速度约为2 m/s2
C.在地球表面重100 N的物体,在该星球表面重约200 N
D.在地球表面重100 N的物体,在该星球表面重约20 N
[典例3] (2024·湖南学业考试)物体在地球表面所受的重力为G,则在距地面高度为地球半径的3倍时,所受地球引力为(　　)
A. B. C. D.
重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小,一般情况下认为在地面附近mg=G,若距离地面的高度为h,则mg′=G(R为地球半径,g′为离地面h高度处的重力加速度).所以距地面越高,物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小.
估算天体的质量
1.利用绕转法估算中心天体的质量
(1)思路:质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动时,卫星与地球间的万有引力提供向心力.
(2)关系式:G=m()2r(M为地球的质量,T为卫星绕地球运动的周期,r为卫星与地球中心的距离).
(3)结论:M=,只要知道卫星绕地球运动的周期T和半径r就可以计算出地球的质量.
2.利用地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力估算
(1)思路:地球表面上质量为m的物体,若不考虑地球自转,物体的重力等于地球对物体的万有引力.
(2)关系式:mg=G(M为地球质量,R为地球半径).
(3)结论:M=,只要知道g、R、G的值,就可以计算出地球的质量.
【典例突破】
[典例4] 一行星围绕某恒星做匀速圆周运动.由天文观测可得其运行周期为T、线速度为v,已知引力常量为G,则(　　)
A.行星运动的轨道半径为
B.行星的质量为
C.恒星的质量为
[典例5] (2024·贵州学业考试)已知地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,由此可推算地球的质量为(　　)
A. B. C. D.
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T,求得M=是中心天体的质量,而不是环绕天体的质量.
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径,为了正确并清楚地运用,应一开始就养成良好的习惯,比如通常情况下天体半径用R表示,轨道半径用r表示,只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时,如近地卫星,轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
宇宙速度
一、宇宙速度
1.第一宇宙速度
把航天器在　　　　　　绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度　　　　 km/s称为第一宇宙速度,也叫环绕速度.
[说明] 当发射速度大于7.9 km/s,而小于　　　　 km/s时,航天器将沿环绕地球的椭圆轨道运动.
2.第二宇宙速度
若发射速度大于等于11.2 km/s,航天器就会挣脱　　　　的引力,不再绕地球运行,而是绕太阳运动或飞向其他行星.因此,人们将v=　　　　 km/s称为第二宇宙速度,又叫逃逸速度.
3.第三宇宙速度
如果要使航天器挣脱太阳的引力,飞出太阳系,其发射速度至少要达到v=　　　　 km/s.这一速度称为第三宇宙速度.
二、地球三种宇宙速度的理解
1.三种宇宙速度均指在地球上的发射速度.
2.第一宇宙速度是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度,也是卫星的最小发射速度.
3.轨道半径越大的卫星,其运行速度越小,但其地面发射速度越大.
【典例突破】
[典例6] (2023·江苏学业考试)如图所示,在牛顿的《自然哲学的数学原理》中,他设想:把物体从高山上水平抛出,速度一次比一次大,落地点也就一次比一次远,足够大时,物体就不会落回地面,这个最小速度为(　　)
A.7.9 km/s B.9.8 km/s
C.11.2 km/s D.16.7 km/s
[典例7] 中俄联合实施探测火星计划,中国研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射,前往火星.火星探测器的发射速度(　　)
A.只要大于第一宇宙速度即可
B.只有达到第三宇宙速度才可以
C.应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D.应小于第一宇宙速度
人造地球卫星
一、人造地球卫星
1.人造地球卫星的定义
人造地球卫星是指环绕地球在宇宙空间轨道上运行的无人航天器.
2.人造地球卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时,由地球对它的万有引力充当向心力.因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合,而这样的轨道有多种,其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道.当然也存在着与赤道平面呈某一角度的圆轨道,如图所示.
二、分析卫星运动问题的基本思路
1.卫星绕地球做匀速圆周运动,向心力由　　　　提供.
2.由G=m=mω2r=mr得,v=,ω=,T=2π.
3.卫星离地面高度越高,其线速度越　　　　,角速度越　　　　,周期越　　　　,向心加速度越　　　　.可以概括为“高轨、低速、长周期”.
三、静止轨道卫星
静止轨道卫星的定义
静止轨道卫星是指与地球相对静止的卫星.这种卫星的轨道平面与　　　　平面重合,并且位于赤道上空一定的高度上.
【典例突破】
[典例8] (2023年第一次广东合格性考试)中国空间站运行轨道近似为圆形.为补充物资,货运飞船需定期与空间站交会对接,对接后形成的组合体仍在原轨道运行.与对接前的空间站相比,组合体运行(　　)
A.周期变大 B.线速度变大
C.向心加速度变大 D.所需的向心力变大
[典例9] 我国的北斗卫星导航系统包含了多颗地球同步卫星,它们离地高度都相同,且都绕地球做匀速圆周运动.关于不同质量的地球同步卫星,下列说法正确的是(　　)
A.质量越大,周期越大
B.质量越大,角速度越大
C.质量越小,合外力越小
D.质量越大,加速度越小
静止轨道卫星的特点
(1)确定的转动方向:和地球自转方向一致.
(2)确定的周期:和地球自转周期相同,即T=24 h.
(3)确定的角速度:等于地球自转的角速度.
(4)确定的轨道平面:所有的静止轨道卫星都在赤道的正上方,其轨道平面必须与赤道平面重合.
(5)确定的高度:离地面高度固定不变.
(6)确定的环绕速率:线速度大小一定.
知识分点突破
知识点1
一、2.G　球心　向心　重　地轴　等于
典例突破
[典例1] C　重力加速度随纬度的增加而增大,所以将物体从赤道向两极移动,物体的重力增大,A错误;由赤道向两极移动过程中,自转半径减小,而角速度不变,根据F=mω2r可知向心力减小,B错误,C正确;物体随地球自转时绕地轴转动,向心力的方向不一定指向球心,而重力的方向竖直向下,也不一定指向球心,D错误.
[典例2] BD　由万有引力公式可得g=,则该星球的重力加速度g′=g=0.2g=2 m/s2,在地球表面重力G=mg=100 N,在该星球表面G′=mg′=20 N.
[典例3] D　设地球的质量为M,半径为R,引力常量为G′,根据万有引力等于重力可得G′=G,在距地面高度为地球半径的3倍时,有G′=F,联立可得F=.
知识点2
典例突破
[典例4] C　因为v=,所以r=,选项A错误;根据=m,r=,可解得恒星的质量M=,选项C正确;表达式=m两边消掉了m,则行星的质量无法计算,选项B错误.
[典例5] D　根据地球表面上的物体所受重力近似等于万有引力,得mg=G,解得M=.
知识点3
一、1.地面附近　7.9　11.2　2.地球　11.2　3.16.7
典例突破
[典例6] A　7.9 km/s为第一宇宙速度,它是最小发射速度,即当物体以该速度抛出后物体将环绕地球表面做圆周运动,不会落回地面,且该速度为抛出后不落回地面的最小抛出速度,故A正确.
[典例7] C　火星探测器前往火星,脱离了地球引力束缚,但还在太阳系内,所以,发射速度就应该大于第二宇宙速度,而小于第三宇宙速度,A、B、D错误,C正确.
知识点4
二、1.万有引力　3.小　小　大　小
三、赤道
典例突破
[典例8] D　与对接前的空间站相比,组合体运行的轨道半径不变,根据F=G=m=mr=mω2r=ma,可得 T=2π,v=,a=,可知组合体运行的周期、线速度和向心加速度都不变,因组合体的质量变大,则所需的向心力变大.
[典例9] C　由=mω2r=mr=ma=F合,解得T=,ω=,F合=G,a=G,可知同步卫星周期、角速度和加速度与其质量无关,合外力与其质量有关,质量越小,合外力越小.

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