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数学命题理论与实践
2024年教育部教育考试院负责命制了全国甲卷文、理科数学试卷、新课标I卷、II卷数学试卷，共4套数学试卷。高考数学试题严格遵循考试内容改革的精神和要求，积极进行教育改革和探索。新课标卷改革了试卷结构和难度结构，通过减少题目的数量，给学生提供充足的思考时间，深入考查学生的思维过程。试题既考查学生的基础知识和关键能力，又注重考查学生的思维能力、创新能力以及实际应用能力等综合素养。
试题设计强化素养导向，注重数学本质，突出理性思维，渗透数学文化，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，试卷服务拔尖创新人才选拔，数学试题对考试内容和方法的创新探索，是对我国教育改革和发展的有力推动，助力我国教育强国建设。
一、基本情况概述
（一）立足课程标准，积极引导教学
普通高中数学课程标准是高考数学考查内容范围和考查要求层次的依据，2024年高考数学试卷立足课程标准中的学业质量标准和课程内容，注重考查学生的基础知识和基本技能，强调知识的结构化和解题方法的普适性，注重对学生数学学科核心素养的考查，新课标卷严格依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称课程标准》）命制，实行不分文理科的试卷设置。全国甲卷依据教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）命制，实行文理分科的试卷设置，同时设置了“选修4-4；坐标系与参数方程”和“选修4-5：不等式选讲”两个选考题目。引导中学教学立足课程标准，以课程目标和核心素养为指引，避免超纲教学。
（二）遵循高考评价体系，重点培育数学学科核心素养
高考评价体系是新时代高考内容改革的理论支撑和实践指南。以高考评价体系为指导，高考数学主要考查理性思维、数学应用、数学探索、数学文化4类学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力5种关键能力，提出具有学科特点的基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，通过设置课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境3类试题情境落实考查内容和考查要求。2024年高考数学新课标卷贯彻《中国高考评价体系》，落实高考内容改革的要求，对全卷进行创新设计，调减试卷题量，给学生提供充足的思考时间。不过分强调知识内容的覆盖面，不受限于对某些具体知识内容的考查，着重考查数学学科核心素养，充分体现基础性、综合性、应用性、创新性的“四翼”要求，引导中学教学遵循教育规律，重视教材作用，突出数学本质，重视概念教学，夯实学生学习基础，展示学生思维过程，以数学的“四基”为载体，引导学生提取有效信息、领悟数学思想、学会理性思考、积累数学活动经验，培养数学学科核心素养。
（三）创新试卷结构设计，体现“反刷题、反套路”命题思想
2024年高考数学新课标卷创设全新的试卷结构，减少题量，给学生提供充足的思考时间，全卷由过去的22道题减少到19道题，同时增加了多选题的单题分值和解答题的总分值，多选题由每题5分增加到6分，解答题总分由70分增加到77分，强化了思维过程和思维能力的考查功能。解析几何题的位置前移，降低了试题的运算量，导数的考查注重了通性通法，降低了难度，减少了概率等知识的比重。试题深化基础性和综合性，突出考查核心素养与创新能力，运算量稳中有降，坚持多角度、多层次考查，引导考生少算多想，整体有较大的创新，体现了“反刷题、反套路”的命题思想。例如，新课标I卷第8题为新情境试题，以不等关系呈现抽象函数与不等式；第11题考查学生的空间想象能力与应用意识；第19题给出新定义“可分数列”，要求考生有较强的逻辑推理能力与应用意识。试题的顺序安排打破常规，有所变化，灵活、科学地确定试题的内容、顺序和难度。在新课标II卷中，以往作为最后一题的函数大题被安排到解答题的第2题，难度大幅度降低；概率与统计试题加强了能力考查力度，被安排在解答题的第4题的位置。新课标I卷将解析几何试题安排在解答题的第2题，难度降低，数列内容则结合新情境，安排在最后。有助于打破学生机械应试的套路以及固定的训练模式，防止猜题、押题，同时测试学生的应变能力和解决各种难题的能力，为我们后期的复习与备考指明了方向。
二、“核心价值金线”：加强价值引领，发挥育人功能
“核心价值金线”是指围绕立德树人来考查学生的政治立场和思维观念、世界观和方法论以及道德品质。高考作为教育改革的重要领域、素质教育的关键环节，要旗帜鲜明地将立德树人作为根本任务，始终坚持正确的政治方向和价值取向，不断强化育人功能和积极导向作用，培养和选拔德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。高考试题命制将全面贯彻党的教育方针，强化理想信念、爱国主义情怀、品德修养、知识见识、奋斗精神、综合素质等内容在考试中的要求。加强对习近平新时代中国特色社会主义思想的考查，加强对社会主义核心价值观，依法治国理念，中华优秀传统文化、革命文化和社会主义先进文化的考查。树立正确的国家观、历史观、民族观、文化观，切实增强中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信，不断提高学生的思想水平、政治觉悟、道德品质、文化素养等。高考命题紧扣“核心价值金线”，始终坚持正确的政治方向和价值取向，不断强化育人功能和积极导向作用。“无价值，不入题”已成为近年来高考内容改革的一个鲜明特征。
数学学科不仅担负着选拔功能，还担负着重要的育人功能。2024年高考数学卷全面贯彻党的教育方针，根据高考内容改革的总体要求，落实立德树人根本任务。构建了德智体美劳“五育”融合的试卷命制体系。数学试题选取生产生活实践题材，通过特定的学科任务设定，考查学生运用数学知识和数学方法解决生产生活中实际问题的能力，引导学生德智体美劳全面发展。例如，新课标I卷第9题以农产品出口为背景，引导考生关注数学与生活的联系，体现了“德育”与“劳育”；第11题以生活中的飘带图案为背景，考查解析几何的相关知识，引导考生关注生活中的数学问题，体现了“美育”与“智育”。新课标II卷第4题以稻田上种植水稻的亩产量为载体考查统计知识，全国甲卷第17题以抽取车间产品检验优级品率为载体考查概率统计知识，都体现了“劳育”，新课标II卷第18题是以篮球比赛为载体考查概率知识在体育运动中的应用，体现了“体育”与“智育”。
三、“能力素养银线”：坚持学科素养导向，重点考查关键能力
学科素养是在一个又一个的真实情境中通过完成特定的学科任务而展现出来或生成的综合品质，高考命题的“素养导向”就是通过特定的情境创设，考查学生调动、运用必备知识与关键能力、思维方法与思维品质、情感态度与价值观高质量完成特定学科任务的综合表现。因学科素养本身具有的内在性和综合性特征，使得其较难被直接观测和考查，尤其是在高考这种纸笔测试中较难全面、有效地考查学科素养。因此，学科素养在高考中的考查往往通过观测学生调动所学知识、运用关键能力完成特定学科任务时所表现出来的关键行为来实现。
只是掌握零碎的、僵化的必备知识而缺乏关键能力，则很难系统、综合且有效地去完成一个又一个特定的学科任务。对于新高考而言，没有必备知识是不行的，但如果只有必备知识也是不行的。必须打破传统的以知识占有为唯一目标的学习惯性和思维方式，在夯实必备知识的基础上，注重关键能力的训练和培养，并在一个又一个的特定学科任务中提高自身的学科素养。只有这样，才能更好地应对新高考改革，而这也是新高考改革所倡导的从“知识立意”向“素养立意”转换的内在要求。
关键能力成为当前高考命题的考查重心，主要考查学生的知识获取、实践操作以及思维认知等方面的高阶思维能力，把考查的重点放在学生运用所学知识发现问题、分析问题和解决实际问题的能力上，聚焦于思维过程和思维品质的考查。2024年高考数学试题坚持学科素养导向，重点考查关键能力，主要包括信息获取与加工、数学抽象、空间想象、运算求解、数学建模、逻辑推理、批判性思维等方面。在数学学科高考命题中，能力考查体现出综合性和结构性特点，即一道试题可能考查多种能力，多道试题可能都涉及同一种能力，一份完整的试卷应该对各种能力都有要求。
（一）信息获取与加工
（二）数学抽象与空间想象
数学抽象与空间想象能力主要是指学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象、思考和创新的能力。在教学上，力求做到使学生能将空间物体形态抽象为空间几何图形，能从给定的立体图形想象出实体形状以及几何元素在空间的实际位置关系，并能用语言符号或式子表达出来且能正确解决问题。空间想象能力具体包括以下几个方面：（1）熟悉基本几何图形（平面或空间），并能找出其概念原型，能正确地画出实物或用语言、数学符号表述；（2）能分析图形中基本元素之间的位置关系及度量关系，明确几何图形与实物空间形式的区别与联系；（3）能借助图形来反映并思考客观事物或用数学语言表达空间形状和位置关系。以2024年高考题为例，分析如下。（三）数学建模能力
数学建模是指对一些现实问题进行数学抽象，用数学语言表达、用数学知识构建模型来解决问题的过程。数学建模是为了构建数学与外部世界的桥梁，是解决现实问题的基本手段。在数学高考中对数学建模这一核心素养进行考查，其关键点在于：考生能够结合题目的情境，针对问题建立数学模型，然后运用相关数学知识求解模型，更高水平的考生能够基于现实背景验证模型及改进完善模型，提高创新能力。
数学建模的步骤一般分为四步：第一步，问题分析；第二步，提出假设；第三步，模型
选择或建构；第四步，模型求解与检验。针对不同数学模型，采用解方程、几何求解、证明定理、逻辑推理、数学运算等方法，依据相关的约束条件，结合给定的相关数据，进行求解。也可以用如下流程图来表示其步骤。
以2024年高考题为例，分析如下。
（四）逻辑推理与论证
逻辑推理是指从一些事实或命题出发，依照逻辑规则推算出另一个命题的推理过程。主要有两类：一是由特殊到一般的推理，主要是归纳推理和类比推理；二是由一般到特殊的推理，主要是演绎推理。逻辑推理是得出数学结论和构建数学体系的一种重要方式，是数学具备严谨性的保证，也是数学活动中交流的基本思维。逻辑推理能力要求学生会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能准确、清晰、有条理地进行表述。在数学高考中考查逻辑推理能力的题目比重较大，解决此类题目的关键：能够发现并提出问题，掌握逻辑推理的形式及论证的过程，能够理解知识之间的有机联系。以2024年高考题为例，分析如下。
（五）批判性思维
批判性思维是合理的、反思性的思维，它以质疑和提出问题为起点，以获取证据、进行分析推理为过程，以得出有说服力的结论为结果。心智开放、独立思考、敢于质疑以及对冲突、模糊性的包容是批判性思维的必备品质，训练有素的逻辑推理与论证分析能力以及高水平的证据获取、评估与运用能力是批判性思维的必备技能。
数学中的批判性思维融合了数学归纳、数学演绎、数学分析、数学推论、假定性设定及研究等基本内容。加强对批判性思维的考查是近年来高考命题的重要指导思想，目的就是要将素质教育要求具体落实到高考试题中来，更好地引导学生提高独立思考、创新探索和综合实践能力，减少“题海战术”和“机械刷题”的现象，促进学生发散思维的培养和学以致用。高考命题将会进一步增加试题的开放度，通过提供多种素材、设计条件或结论开放、多角度思考、答案不唯一的试题，进一步打破试题的封闭性，引导学生打破常规进行思考，自主发现问题，提出解决方案，作出独立的判断和解答，从而创造性地解决问题。批判性思维是重要的能力素养，是理性思维的高度体现。高考数学突出对批判性思维能力的考查，考查学生推理论证、发现错误、修正错误的能力，以及发现解决问题的方向和方法的能力。以2024年高考题为例，分析如下。
四、“情境载体串联线”：创设真实情境，注重学用结合
“情境载体串联线”是指通过设计生活实践情境和学习探索情境，将其作为任务创设和基本知识能力运用考查的载体，实现对学生学科基本概念、原理、技能和思维方法的考查和选拔，着重考查学生运用所学知识、原理和思维发现问题、解决现实问题的能力。通过合理创设情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，发现新问题、进行新解释、找到新规律、得出新结论。
高考命题的理想试题情境一般具有典型性、复杂性、新颖性和结构不良性四个特征，其中，“典型性”是指在真实世界或学习探索中具有代表性，能够充分考查学科素养和关键能力，具有可操作性且符合学生认知和学科发展规律；“复杂性”是指涉及多种关联活动、涉及多种影响因素、涉及多个参与主体以及要求调动多种关键能力；“新颖性”是指学生未经历过，或者真实世界新出现的，或者呈现方式新鲜少见；“结构不良性”是指冗余信息较多、隐含信息较多、问题创设比较开放、结论设定不唯一、解决方案多元。课程标准和高考评价体系要求高考全面落实情境式命题，材料丰富，情境多元，加强情境的新颖性、灵活性、探究性和开放性。高考命题呈现出“无情境，不成题”的特征。未来那些具有选拔区分度的试题将在情境创设上下功夫，可能呈现出由“简单情境”向“复杂情境”、由“熟悉情境”向“新颖情境”、由“结构良好情境”向“结构不良情境”的转换。
2024年高考数学试题通过精心设计的真实情境，全面检验学生对已学知识的系统掌握和灵活运用能力。试题内容涵盖了德智体美劳情境、科学探究情境以及生产实践情境等方面，题目情境设计紧密结合学生的日常生活，使学生能够深入其中，获得真实的感受与体验，如新课标I卷第14题设置的抽取卡片比较数字大小的比赛情境；问题设计则注重与中学生的思维方式相契合，为他们提供充分的思考与发挥空间，引导他们认识到体美劳教育对个人成长成才的重要性，从而激发他们的参与热情，如新课标II卷第18题以体育为情境。科学探究与科学前沿情境的创设，引导学生深入思考、勇于探索、实证求真，实现从“解题”到“解决问题”的转变，为高中育人方式的改革提供有力支持，如新课标I卷第9题以“一带一路”国际合作为情境。此外，试题还设置了生产实践与社会经济发展情境，注重将理论与实际相结合，紧密结合国家经济社会发展和生产实践，引导学生在解决实际问题的过程中提升关键能力与学科素养，如全国甲卷文18题，理17题，以生产线智能化升级改造为情境。
五、小结：立足课程标准，强化数学思维与关键能力培养
2024年高考数学试题严格遵循课程标准，全面依据学业质量标准和课程内容，深度关注学生对基础知识和基本技能的熟练掌握与灵活应用能力，同时，强调知识的整体性和连贯性。在试题设计上，试卷将主干知识内容和重要原理、方法作为考查的重点，着重对数学学科核心素养进行深入的考查。新课标卷在试卷结构上进行了全新的创设，与传统试卷相比，题量得到了有效的减少，使得学生在解题时能够拥有更充足的思考时间，有助于提升学生的思维能力，加强对学生素养的考查，进一步强化了素养导向的考试评价体系。这种以学生为中心的试卷设计理念，更好地促进学生全面发展，提升他们的综合素质。针对新高考试卷命题规律，在教育教学中应重点关注以下几个方面。
第一，紧扣课程标准，落实“四基”。落实“四基”就是落实基础知识、基本技能、基本思想和基本的活动经验，在备考中就是加强对数学基本概念、基本原理和基本方法的考查，引导学生重视基础。具体而言，既要重视基础知识和基本技能，又要注重数学的基本思想和基本活动经验，要认真研究教材的定义概念、原理和方法，要做到深刻理解、准确把握、灵活运用。高考试题不会脱离教材，要加强对教材的学习和研究，注重通性通法，突出数学本质，淡化解题技巧，展现考生的思维过程。不要沉迷解题套路，而要认真分析近几年高考试题的命题思路和考查要求，从数学本质和数学应用的角度，有效提高数学关键能力和学科素养。
第二，聚焦学科素养，提升关键能力。数学高考命题一直强化信息获取与加工、逻辑推理与论证、数学建模、数学抽象、数学运算、批判性思维等关键能力的考查。教师要聚焦课堂主阵地，设计特定的任务驱动和情境创设，着重研究试题开放性、探究性和创新性方向，尽可能引导学生运用必备知识、调动关键能力，充分展示学生思维过程，重视思维的可视化、过程化和规范化，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的思维历程，实现从“解答题目”向“解决问题”的转变，实现从“学习知识”向“训练素养能力”的转变。
第三，理解数学本质，突出数学主干。数学的主干知识是函数与导数、三角函数及解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计等，针对主干知识、重点题型及主要数学思想方法进行横纵拓展，引导学生理解数学本质；同时在选择题和填空题中，集合、复数、三角函数的图像和性质、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、函数与导数综合问题、函数的性质、排列组合、二项式定理以及概率统计等高频考点都能在教材中寻找到“原点”，强化题组和变式题目的训练，让学生充分体会试题的核心价值、情境变化和问题设问方式变换。
第四，加强情境教学，强化综合性与应用性。综合性是高考的重要考查要求，要求考生面对复杂的问题情境时，梳理相关的各种知识和原理，综合运用必备知识、关键能力和学科素养，合理解决问题，体现的是对考生综合素质的考查。高考数学试题的综合性一方面是数学学科内部各个主题的相互综合；另一方面是数学学科和其他学科的综合。此外，试题情境越来越具有多样性，运用逻辑推理和数学抽象等核心素养加强数学问题情境转化为数学问题过程的考查，注重考查学生利用数学建模和数据分析等核心素养解决生产中的实际问题的能力。
综观近年高考数学试题，依据课程标准命题、参照教材内容痕迹增多，内容选择进一步
灵活，试题开放性进一步加强，难度顺序不再固化，能力考查进一步凸显，思维过程考查多样，这对教学备考提出了新的要求。
1．回归课标，重视教材。高考试题中基础题占比很大，大部分试题都能在教材中找到原型，是教材中的例题、课后习题改编，高考还特别重视对数学概念的考查，不能题海战术，机械地模仿解题，忽略对基础知识、基本概念的理解和掌握。在平时的教学过程中，要重视研究学生对知识的获得，研究学习过程。切忌几分钟讲完概念，然后开始“题型n种＋解法n种”的教学。教师要对教材中的基本概念深入挖掘内涵和外延，对定理、公式进行拓展和探究，发现其内在联系和规律。同时教师要注重对教材中的原题延伸，进行变形和变式练习，将思维背景拓展，有效培养学生数学思维的深度和广度，建构各章节内部及章节之间的网络结构，形成知识板块，促进学生数学思维的提高和发展。
2．精研往届高考试题，精选题目。当前，部分学校使用质量不高的教辅资料是教学质量低下的原因之一。高考数学试题通过创新试卷，深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。数学教师应该带领学生精心研究近几年高考试题，从问题情境、设问方式、必备知识考查方式、考查的关键能力和核心素养方向等开展系列研究。通过高考真题的研究和解剖，引导学生实现从“解剖一道题”到“解决一类题”的目标；精选题目，组建模拟试卷要增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性。聚焦主干知识内容和重要原理、方法，着重选择考查数学学科核心素养的优质题目。学校和老师要提升数学课堂教学效率，引导教师遵循教育规律，备考过程中要突出数学教学本质，回归课标，重视教材，重视概念教学，夯实学生学习基础，给学生预留思考和深度学习的空间，引导学生在夯实必备知识的基础上，强化数学学科素养和关键能力的训练与提升，避免超纲学、超量学。
3．实现“知识点教学”到“思维教学”的转变。培养思维是发展核心素养的关键，思维教学需要高质量的问题引导，数学认知结构的建构中，概念的理解和概念体系的建立是核心，概念学习的基本方式是概念形成与概念同化，必须经历“情境与问题一共性分析与归纳一抽象本质特征，下定义一关键词辨析一简单应用一联系与综合”的过程，让学生在观察与实验、分析与综合、归纳与概括中经历概念的抽象过程，发展学生的思维。在教学中，精心设计问题情境，让学生在独立思考中发现和提出问题，在积极思维中分析和解决问题。知识是发展核心素养和提升关键能力的载体，对核心知识深入理解，即对概念或命题的内涵与外延有充分的把握，对知识之间的逻辑关系有清晰的认识，对知识所蕴含的思想方法有深刻的领悟。提高学生的思维能力，给学生提供充分的思考时间和交流表达的机会。
4．研究高考数学创新题、新定义题教学。2024年新课标I卷和II卷第19题都设置了创新题和新定义题，新课标I卷第19题以等差数列为知识背景，创新设问方式，设置数学新定义，搭建思维平台，引导学生积极思考，在思维过程中领悟数学方法，自主选择路径和策略分析问题、解决问题。这两道题重点考查学生对数学的思维方式，学生的数学阅读能力和对数学语言的理解，解决此类问题没有固化的套路与解题模板，传统的机械刷题和题海战术等备考策略很难奏效。创新题（新定义题）重点检验学生的数学思维能力，涵盖对研究对象定义的深入理解、基于定义的逻辑推理与数学运算能力，特别是阅读理解与数学表达能力的运用。在解读此类题目时，关注对数学符号的理解及有效信息的提取。在教学过程中，引导学生加强对教材内容的阅读理解，强化数学书籍的阅读部分，设计专题训练，加强实际问题向数学问题的转化能力，包括符号化表达的训练。从思维品质层面而言，面对新情境下的陌生问题，学生应通过有逻辑的尝试与试验，从具体到抽象、从特殊到一般进行探索，适当利用图表呈现中间结果，发现规律、提出猜想，最终通过逻辑推理验证结论的正确性。
数学教学的目的之一是在认知及实践活动中发展学生的思考力。近年来，高考数学试题的内容选择和呈现方式越来越开放和灵活，需要学生会“思考”，将知识及其之间的关系理解透彻，数学学科有着严谨的逻辑体系，学生仅靠“机械刷题”已经很难适应指向学科素养的考查，只有会“思考”，真正理解教材内容，才能够顺利解决遇到的数学问题。一线教学中，教师要引导学生重视数学思维。数学是思维的体操，教师在教学中必须让学生多想，引导学生学会“思考”。教师要关注学生思维的差异，给学生提供完整的思考问题的机会，并通过高质量的作业和训练促进学生数学思维的提高。
数学反思能力的基本特征包括：思维的开放性、灵活性、探究性和创新性等。但在传统的教学中，教师对学生反思能力的培养不够。近年来，高考中的试题类型越来越丰富，特别是新高考实施以来，在保留单选题、填空题、解答题的基础上，增加了多选题、开放性问题和结构不良问题等，这要求学生在日常学习中学会“反思”，在日常教学中，教师要注意引导学生掌握多种思路以及关注不同解题条件下的相应的工作量，形成经常反思、梳理、总结解决类似问题的意识。在解题过程中，学生需要充分理解题干中的条件，识别其背后的规律，同时能根据题目所给出的条件建立各条件之间的逻辑关联与运算法则，进而得出结论。

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