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6.3.2 正方形的判定（学案，有答案）
列清单·划重点
知识点1 正方形的判定
1.定义法：有一组__________相等的矩形是正方形.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴矩形 ABCD是正方形.
2.定理1：对角线相等的_________是正方形.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是菱形,____________,
∴菱形 ABCD是正方形.
3.定理2：对角线互相________的矩形是正方形.
几何语言：如图所示，
∵ 四边形 ABCD 是矩形,____________,
∴矩形 ABCD是正方形.
4.定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
几何语言：如图所示，
∵四边形ABCD 是菱形,___________,
∴菱形 ABCD 是正方形.
注意
判定正方形的一般思路；
正方形的判定方法较多，应用时要注意灵活选择.
知识点2 正方形的性质和判定
注意
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形.
明考点·识方法
考点1 利用矩形证明正方形
典例1 如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点 E、F.求证：四边形 PEBF 是正方形.
思路导析 根据有一组邻边相等的矩形是正方形证明即可。
变式 如图，在四边形AECF中, CE,CF 分别是 的内、外角平分线.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)当 满足什么条件时，四边形AECF是正方形 请说明理由.
考点2 利用菱形证明正方形
典例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形， 点 E 是边 CD 的延长线上的动点，连接AE,过点 C作 于点 F.
(1)求证:四边形ABCD 是正方形;
(2)当点 F 是AE 的中点,且 时，求四边形ABCD的面积.
思路导析 (1)根据四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC得平行四边形ABCD 为菱形，再根据 即可得出结论；(2)连接 AC，根据于点 F,点 F 为AE 的中点得 CF 为线段 AE 的垂直平分线，则 在中由勾股定理得 据此可得四边形ABCD的面积.
变式 如图，四边形AECF 是菱形,对角线 AC,EF交于点O,点 D，B是对角线EF 所在直线上两点，且连接 AD,AB, CD,CB,
(1)求证:四边形ABCD 是正方形;
(2)若正方形 ABCD 的面积为72, 求菱形 AECF 的面积.
考点3 正方形性质和判定的综合应用
典例3 如图，在正方形ABCD和 中,点 B,C,G在同一条直线上，P是线段AF 的中点，连接 DP，连接EP 并延长，交AD于点 Q.请证明：
(1)四边形 ECGF 是矩形;
(2)当 时,四边形 ECGF 是正方形.
思路导析 (1)根据正方形的性质和平角的定义证明 即可证明平行四边形 ECGF 是矩形；(2)根据正方形的性质，结合已知条件，证明得出 PE，进而证明 得出 即可得出 根据邻边相等的矩形是正方形即可证明.
变式 如图，正方形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,∥∥
(1)求证:四边形OCED 是正方形;
(2)若 则点 E 到边 AB 的距离为___________.
当堂测·夯基础
1.如图，将矩形纸片ABCD 折叠,使点 A 落在 BC上的点 F 处, 折痕为 BE，若沿 EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是 ( )
A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形
第1题图 第2 题图
2.如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形 ABCD是正方形的是 ( )
平分
3.如图，在正方形ABCD内,作等边三角形ADE,连接BD,BE.则
4.如图,在 中，垂足为点 D,AN 是外角 的平分线， AN,垂足为点 E.
(1)求证:四边形 ADCE 为矩形;
(2)当 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形 请给出证明；
(3)在(2)的条件下,若, 求正方形 ADCE 的周长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1. 邻边 2. 菱形 3.垂直 4.∠ABC=90°
【明考点·识方法】
典例1 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形 PEBF 是矩形,
∴四边形 PEBF 是正方形.
变式 证明:(1)∵CE,CF分别是 的内、外角平分线，
∴∠AEC=∠AFC=90°,∴四边形 AECF 是矩形;
(2)当△ABC 满足∠ACB=90°时,四边形AECF 是正方形,
理由:∵∠ACB=90°,
∴∠EAC=45°=∠ACE,∴AE=CE,
∵四边形 AECF 是矩形,∴四边形 AECF 是正方形.
典例2 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,AB=BC,
∴平行四边形 ABCD 为菱形，
又∵AB⊥BC,∴菱形ABCD为正方形;
(2)连接AC,如图所示:
∵CF⊥AE于点F,点F为AE 的中点,∴CF 为线段AE的垂直平分线，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC,∠ADC=90°,
在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得
∴四边形 ABCD的面积
变式 解:(1)证明:∵菱形 AECF 的对角线AC 和EF 交于点O,
∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF,∵DE=BF,∴BO=DO,
又∵AC⊥BD,∴四边形 ABCD 是菱形,
∵∠ADO=45°,∴∠DAO=∠ADO=45°,∴AO=DO,∴AC=BD,
∴四边形 ABCD 是正方形;
(2)∵正方形 ABCD的面积为72,
∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12,
∵BF=4,∴OF=2,
∵四边形AECF 是菱形,∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF,.
∴菱形 AECF的面积
典例3 证明:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠BCD=90°,∴∠GCE=90°,
∵四边形 ECGF 是平行四边形，∴平行四边形 ECGF 是矩形；
(2)在正方形 ABCD 和□ECGF 中,点 B,C，G在同一条直线上，
∴AD∥BG,EF∥BG,∠ADC=90°,AD=DC,∴AD∥EF,∴∠QAP=∠EFP,
∵P 是线段AF 的中点,∴AP=PF,
又∵∠APQ=∠FPE,∴△APQ≌△FPE(ASA),∴AQ=EF,QP=PE,
∵∠DPE=90°,∴∠DPQ=90°,
在△PDQ和△PDE中,,
∴矩形 ECGF 是正方形.
变式 解:(1)证明: ∥∥∴四边形OCED 是平行四边形，
在正方形ABCD中，
∴四边形 OCED 是正方形;
(2)如图，连接EO并延长，交AB于点G，交CD于点 H,
由(1)知,四边形OCED 是正方形,
∵四边形ABCD 是正方形， ∥
∵四边形OCED 是正方形，
∴点 E到边 AB 的距离为1.5;
故答案为:1.5.
【当堂测·夯基础】
1. A 2. A 3. 30
4.解:(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.
∵AN 是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE,
∵ ∠DAC + ∠CAE + ∠BAD +∠MAE=180°,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°,
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形 ADCE 为矩形;
(2)答案不唯一,如:当∠BAC=90°时,四边形 ADCE 是一个正方形.
证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠B=45°,
∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD,
∵四边形 ADCE为矩形,∴矩形 ADCE是正方形.
故当∠BAC=90°时,四边形 ADCE 是一个正方形；
(3)由勾股定理，得
∴ AD=2 ,∴AD=2,
∴正方形 ADCE 的周长为 4AD=4×2=8.
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