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专题05 天体运动热门问题
目录 题型一 中心天体质量和密度的估算 题型二 卫(行)星运行参量的分析 题型三 航天器（卫星）的变轨问题 题型四 双星与多星问题
题型一 中心天体质量和密度的估算
【解题指导】
1.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．
2.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．
【方法提炼】
估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区
(1)两条思路
①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算
由G＝mg天体得M＝，再由ρ＝，V＝πR3得ρ＝。
②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G＝mr得M＝，再结合ρ＝，V＝πR3得ρ＝，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r＝R，则ρ＝。
(2)三个常见误区
①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。
②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。
③在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg天体。
【综合训练】
1．天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的　　
A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍
【答案】
【解答】解：设日地距离为，则行星的轨道
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
行星绕红矮星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
联立解得
即这颗红矮星的质量约为太阳质量的0.1倍。
综上分析，故错误，正确。
故选：。
2．2024年5月3日、搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道；5月8日，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行；6月2日，嫦娥六号探测器“着上组合体”成功着陆月背南极艾特肯盆地的预选着陆区；中国成为第一个从月球背面带回月壤的国家，此次带回月壤1935.3克。设嫦娥六号探测器在环月轨道上做圆周运动，绕行周期为，月球的质量为，半径为，引力常量为，忽略其他天体的影响。下列说法错误的是　　
A．嫦娥六号探测器的环月轨道离月球的高度为
B．月球平均密度表达式为
C．月球表面重力加速度的表达式为
D．月球的第一宇宙速度表达式为
【答案】
【解答】解：、由万有引力提供向心力可得，解得：，故正确；
、对月球，由密度公式可得：，解得：，故错误；
、在月球表面，物体受到的重力与万有引力相等，则有：，解得：，故正确；
、由万有引力提供向心力可得：，解得：，故正确。
本题是选择错误的，故选：。
3．如图所示，人造卫星（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星作地球的两条切线，两条切线的夹角为，若卫星绕地球运动的周期为，引力常量为。则地球的密度为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：设卫星绕地球运动的半径为，地球半径为，根据万有引力提供向心力
解得
根据几何关系有
地球的体积为
地球的密度为
故正确，错误；
故选：。
4．2024年10日21时50分，中国在西昌卫星发射中心成功将卫星互联网高轨星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知高轨卫星03星绕地球近似做圆周运动，卫星距离地面高度为，环绕周期为，已知引力常量为，地球半径为。则下列说法正确的是　　
A．03星运行的线速度大于
B．03星运行的线速度大小为
C．地球的质量为
D．地球的密度为
【答案】
【解答】解：、地球的第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，则03星运行的线速度小于第一宇宙速度，故错误；
、地球半径为，03星距离地面高度为，则03星的轨道半径，03星运行的线速度大小为，故错误；
、设地球和03星的质量分别为和，03星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得
解得，故正确；
、地球的体积为，地球的密度为，解得，故错误。
故选：。
5．嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为月球球体半径的倍，引力常量为。根据题中所给信息，下列说法正确的是　　
A．可以估测地球的质量
B．可以估测月球的密度
C．周期与周期满足
D．地球的质量与月球的质量之比等于
【答案】
【解答】解：月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，则有，
解得，
由于月球的半径未知，故不能求出地球的质量，故错误；
嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有，解得，
月球的密度为
故正确；
开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故错误；
地球的质量与月球的质量之比等于，故错误。
故选：。
题型二 卫(行)星运行参量的分析
【解题指导】
1.由v＝ 得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度．
2.做圆周运动的卫星的向心力由地球对它的万有引力提供，并指向它们轨道的圆心——地心．
3.在赤道上随地球自转的物体不是卫星，它随地球自转所需向心力由万有引力和地面支持力的合力提供．
【方法提炼】
环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即＝m＝mrω2＝mr·()2＝ma；
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg天体。
(3)三点提醒
①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；
②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；
③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度。
(4)四点注意
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。
④区别轨道半径与距天体表面的高度。
【综合训练】
6．2024年9月19日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第五十九颗、六十颗“北斗三号”导航卫星，“北斗三号”采用、和三种轨道的混合星座，提供全球覆盖和高精度导航服务。中圆地球轨道卫星的运行周期为12小时，轨道平面与赤道面夹角为；地球静止轨道卫星的运行周期为24小时，轨道面为赤道面；倾斜地球同步轨道卫星的运行周期为24小时，轨道平面与卫星轨道面几乎重合。若将三种轨道的卫星都视做匀速圆周运动，则关于三种轨道卫星的说法正确的是　　
A．轨道卫星与轨道卫星的向心力大小相等
B．轨道卫星与轨道卫星都相对地球静止
C．轨道卫星与轨道卫星的加速度大小之比为
D．轨道卫星与轨道卫星的轨道高度之比为
【答案】
【解答】解：、依题意，轨道卫星与轨道卫星的质量关系未知，由万有引力提供向心力有，可知二者的向心力大小关系不能确定，故错误；
、依题意，地球静止轨道卫星相对地球静止，而倾斜地球同步轨道卫星相对地球运动，故错误；
、对轨道卫星与轨道卫星，根据开普勒第三定律有
解得轨道卫星与轨道卫星的轨道半径之比为
两卫星的轨道高度为，所以它们的轨道高度之比不是。
卫星的加速度为
联立可得
则轨道卫星与轨道卫星的加速度大小之比为，故正确；错误。
故选：。
7．让宇航员不坐火箭就能上天，“流浪地球2”中的太空电梯何日能实现，如图所示，假若质量为的宇航员乘坐这种赤道上的“太空升降机”上升到距离地面高度处而静止在电梯内。已知地球的半径为，表面的重力加速度为，自转周期为，引力常量为，假若同步卫星距离地面的高度为，下列说法正确的是　　
A．宇航员停在太空电梯内时，运动状态不发生改变，所受合外力为零
B．当时，宇航员受到的支持力为
C．当时，万有引力大于宇航员做圆周运动的向心力
D．当时，宇航员受到向下的压力为
【答案】
【解答】解：、宇航员停在太空电梯中时，实际是随着地球在自转，速度方向发生变化，速度在改变，运动状态发生改变，所受合外力不为零，故错误；
、当，对宇航员进行受力分析，由圆周运动的规律可得
解得宇航员受到的支持力为，故错误；
、当时，，万有引力正好等于宇航员做圆周运动的向心力，故错误；
、当，由牛顿第二定律得
可得宇航员受到向下的压力为，故正确。
故选：。
8．如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球同步卫星。关于、、做匀速圆周运动的说法中正确的是　　
A．、、三物体，都仅由万有引力提供向心力
B．周期关系为
C．线速度的大小关系为
D．向心加速度的大小关系为
【答案】
【解答】解：、、围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力。为地球赤道上的物体，由万有引力和地面给的支持力的合力提供向心力，故错误；
、为地球同步卫星，为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等。
对于、，根据万有引力提供向心力得
解得
由图可知
则得，所以有，故正确；
、根据，、角速度相等，的轨道半径小一些，则有
对于、，根据
解得
的轨道半径大于的轨道半径，则，所以有，故错误；
、根据，、角速度相等，的运动半径小一些，则有
对于、，根据
解得
由于的轨道半径大于的轨道半径，则的加速度小于的加速度，所以有，故错误。
故选：。
9．北京时间2023年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。而在2020年11月10日清晨，载有3名潜航员的“奋斗者”号从“探索一号”母船机库缓缓推出，被稳稳起吊布放入水，近4小时后，“奋斗者”号成功坐底，下潜深度达10909米，创造了中国载人深潜新纪录。这标志着我国在载人航天和深海载人潜水器都取得世界领先水平。假设载人飞船运行的离地高度为，所处位置的重力加速度值为。深海潜水器的下潜深度为，所处位置的重力加速度为。已知地球的半径为，引力常量为。则与的比值为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：设地球的质量为，载人飞船质量为。根据载人飞船的万有引力等于重力，有
可得
球壳对其内部物体的引力为零，故潜水器相当于在半径为的星球上运行，设其质量为，潜水器的质量为，则根据球体的体积公式可求出它与地球之间的质量关系为
根据潜水器的万有引力等于重力，有
解得
联立解得，故正确，错误。
故选：。
10．2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器成功发射，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，近地卫星绕地球做匀速圆周运动的周期约为。若“嫦娥六号”探测器在近月轨道绕月做匀速圆周运动，周期约为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：对近地卫星围绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，对“嫦娥六号”探测器在近月轨道绕月做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，联立解得，代入数据解得，故错误，正确。
故选：。
题型三 航天器（卫星）的变轨问题
【解题指导】
1.卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动：
①当v增大时，所需向心力增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加；
②当v减小时，所需向心力减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v＝知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．
2.低轨道的卫星追高轨道的卫星需要加速，同一轨道后面的卫星追赶前面的卫星需要先减速后加速．
【方法提炼】
航天器（卫星）变轨应注意的五个问题
(1)若卫星由高轨道变轨到低轨道，即轨道半径(半长轴)减小时，需要在高轨道变轨处减速；反之，若卫星由低轨道变轨到高轨道，即轨道半径(半长轴)增大时，需要在低轨道变轨处加速。
(2)卫星变轨时速度的变化情况，可根据轨道半径(半长轴)的变化情况判断；稳定的新轨道上运行速度的变化情况可由开普勒第二定律判断。
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。外轨道的速度大于内轨道的速度。
(5)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律＝k。
【综合训练】
11．神舟十六号载人飞船与空间站组合顺利交会对接。在对接完成之前，神舟十六号需要完成六次自主变轨，距离地面的高度从上升到，逐渐接近空间站。已知同步卫星距离地面高度约为，对于变轨过程，下列说法正确的是　　
A．变轨完成后，飞船的向心加速度增大了
B．变轨完成后，飞船速度大于地球第一宇宙速度
C．在变轨过程中，需要对飞船加速
D．变轨完成后，飞船的运行周期大于24小时
【答案】
【解答】解：、变轨完成后，飞船的轨道半径变大，根据万有引力提供向心力得
可得
变轨完成后，飞船的轨道半径增大，则飞船的向心加速度减小了，故错误；
、飞船绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得
可得
第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动卫星的最大速度，是近地卫星的运行速度，变轨完成后，飞船的轨道半径变大，飞船速度小于地球的第一宇宙速度，故错误；
、在变轨过程中，飞船从低轨道进入高轨道，机械能增加，需要对飞船加速，故正确；
、根据万有引力提供向心力得
可得
变轨完成后，飞船运行的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以飞船运动的周期小于地球同步卫星的运行周期，即小于24小时，故错误。
故选：。
12．“天问一号”火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是　　
A．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”机械能减小
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需点火加速
D．图中两阴影部分的面积相等
【答案】
【解答】解：从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器需要减速变轨，做近心运动，故其机械能变小，故正确，错误；
由开普勒第三定律可知，由于从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器运行轨道的半长轴变短，故其周期变小，故错误；
由开普勒第二定律可知，只有在相同轨道上运行的探测器与火星的连线每秒扫过的面积才相等，故错误。
故选：。
13．太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则　　
A．空间站变轨前、后在点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【答案】
【解答】解：根据万有引力定律
得
由于空间站变轨前、后在点到地球中心的距离相等，因此空间站变轨前、后在点的加速度相同，故正确；
根据开普勒第三定律
变轨后的半长轴
联立得
空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故错误；
空间站变轨前后的运动情况如图所示：
根据运动的合成与分解，空间站在点变轨前的速度小于变轨后的速度，即，故错误；
空间站从2轨道进入3轨道做向心运动，因此
空间站在1、3轨道做匀速圆周运动，根据线速度与轨道半径的关系
由于，因此，即
综合分析得
空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故错误。
故选：。
14．嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆月背南极艾特肯盆地。如图所示，假设登月探测器在环月轨道1上的点实施变轨，进入椭圆轨道2，再由点进入圆轨道3。若轨道1的半径为，轨道3的半径为，登月探测器在轨道3的运行周期为，则下列说法正确的是　　
A．探测器在轨道3上运行时加速度不变
B．探测器在轨道2上运行的周期为
C．探测器在轨道1和轨道3上运行的线速度大小之比
D．探测器从轨道2上的点进入圆轨道3时，需要点火加速
【答案】
【解答】解：、根据牛顿第二定律有
解得
可知，探测器在轨道3上运行时加速度大小不变，方向改变，所以加速度是变化的，故错误；
、探测器在轨道2上运行时的轨道半长轴为
探测器在轨道2和轨道3上运行时，根据开普勒第三定律得
解得探测器在轨道2上运行的周期为，故正确；
、探测器在轨道1、3上运行时，根据万有引力提供向心力得
解得
解得，故错误；
、探测器由高轨道变轨到低轨道，做向心运动，需要在点减速，故错误。
故选：。
15．2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为，周期约为。则鹊桥二号在捕获轨道运行时　　
A．周期约为
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
【答案】
【解答】解：设鹊桥二号在捕获轨道、冻结轨道半长轴分别为、，鹊桥二号在捕获轨道、冻结轨道运行的周期分别为、；
根据开普勒第三定律有
代入数据解得，故错误；
鹊桥二号在捕获轨道运行时，根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号与月球的联线在相等的时间内扫过的面积相等，因此鹊桥二号在近月点附近，相等的时间内通过的弧长更长，运行的速度大，在远月点点附近，相等的时间内通过的弧长更短，运行的速度小，因此鹊桥二号在近月点的速度大于远月点的速度，故正确；
根据卫星变轨原理可知，鹊桥二号在捕获轨道近月点需要减速才能进入冻结轨道运行，所以鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，故错误；
在近月点，根据万有引力定律和牛顿第二定律，可得
则有
由此可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，故错误。
故选：。
题型四 双星与多星问题
【解题指导】
1.核心问题是“谁”提供向心力的问题．
2.“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；3.多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F合＝m，以此列向心力方程进行求解．
【方法提炼】
1.双星系统
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即＝，两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π 。
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝。
2．多星系统
(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
(2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。
【综合训练】
16．在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设、两个天体的质量均为，相距为，其连线的中点为，另一天体（图中未画出）质量为，若处于、连线的垂直平分线上某特殊位置，、、可视为绕点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为。则　　
A．的线速度大小为的倍
B．的向心加速度大小为的一半
C．在一个周期内的路程为
D．的角速度大小为
【答案】
【解答】解：由于，因此天体对、天体的万有引力可以忽略不计；
、天体之间的万有引力
设角速度为，对天体，万有引力提供向心力
联立解得
因此，故错误；
设到点的距离为，则之间的距离
、之间的万有引力
天体做匀速圆周运动的向心力
代入数据解得
根据向心力公式
联立上述，解得
根据线速度与角速度的关系，的线速度
、的线速度
因此，即，故正确；
根据向心加速度公式
、的向心加速度之比
因此的向心加速度大小为的倍，故错误；
在一个周期内的路程为，故错误。
故选：。
17．依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕二者的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为，恒星距黑洞的距离约为，恒星做圆周运动的周期约为，为太阳的质量、为日地距离，为地球绕太阳的运动周期。由此估算该黑洞的质量约为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：设该黑洞的质量为，恒星的质量为，两者相距为，运动周期为，黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，根据万有引力提供向心力有
其中
解得
地球绕太阳做匀速圆周运动，设地球质量为，根据万有引力提供向心力有
联立解得
依题意可知，，，，解得，故错误，正确。
故选：。
18．据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，，则第一、二种四星系统周期的比值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：对于第一种四星系统，图甲中每颗星体受力情况如下图所示。
设，由几何关系可知，图甲中正方形的对角线的长度为
由万有引力定律可得：，
每颗星体所受合力大小为：
由合力提供向心力有：
联立解得：
对于第二种四星系统，图乙中三角形顶点上的星体受力情况如下图所示。
由几何关系可知，图乙中三角形的边长：，三角形的顶点与中心的距离为：
由万有引力定律可得：，
每颗星所受合力大小为：
由合力提供向心力有：
联立解得：
可得第一、二种四星系统周期的比值为：，故正确，错误。
故选：。
19．如图所示，、恒星构成的双星系统，一颗质量为，另一颗质量为，两星均视为质点且距离保持不变，均绕它们连线上的点做匀速圆周运动。轨道平面上的观测点相对于点静止，连续两次出现、与、共线的时间间隔为。仅考虑双星间的万有引力，引力常量为。则下列说法不正确的是　　
A．恒星的质量为
B．恒星圆周运动的角速度为
C．任意时间内两星与点的连线扫过的面积相等
D．恒星、之间的距离为
【答案】
【解答】解：设恒星、的质量分别为、，做圆周运动的轨迹半径分别为、，且两恒星之间的距离为，根据题图可知，而根据题意可得。根据可得两恒星转动得角速度，根据万有引力充当向心力有：，，解得：，由此可知，，即恒星的质量为，故正确；
由于两恒星角速度相同，但半径不同，且的轨迹半径大于的轨迹半径，因此任意时间内两星与点的连线扫过的面积，故错误；
根据，，解得： ，则有：，可得，故正确。
本题选择错误的，故选：。
20．宇宙间存在一些离其他恒星较远的双星系统。双星系统由两颗相距较近的恒星组成，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的一点做周期相同的匀速圆周运动。某双星系统由甲、乙两颗恒星组成，甲、乙两颗恒星的质量分别为、，且。它们做匀速圆周运动的周期为，万有引力常量为。关于双星系统的下列说法正确的是　　
A．恒星甲做匀速圆周运动的半径大于恒星乙做匀速圆周运动的半径
B．恒星甲做匀速圆周运动的线速度大于恒星乙做匀速圆周运动的线速度
C．双星做圆周运动的速率之和
D．双星之间的距离
【答案】
【解答】解：、两星做圆周运动的角速度相等，根据万有引力提供向心力有：
可得：
根据题设条件可知：
则有：
则恒星甲做匀速圆周运动的半径小于恒星乙做匀速圆周运动的半径，故错误；
、根据可知恒星甲做匀速圆周运动的线速度小于恒星乙做匀速圆周运动的线速度，故错误；
、根据中表达式，变形后有：，
两式相加整理后得：
双星做圆周运动的速率之和：，故正确，错误。
故选：。
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专题05 天体运动热门问题
目录 题型一 中心天体质量和密度的估算 题型二 卫(行)星运行参量的分析 题型三 航天器（卫星）的变轨问题 题型四 双星与多星问题
题型一 中心天体质量和密度的估算
【解题指导】
1.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．
2.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．
【方法提炼】
估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区
(1)两条思路
①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算
由G＝mg天体得M＝，再由ρ＝，V＝πR3得ρ＝。
②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G＝mr得M＝，再结合ρ＝，V＝πR3得ρ＝，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r＝R，则ρ＝。
(2)三个常见误区
①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。
②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。
③在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg天体。
【综合训练】
1．天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的　　
A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍
2．2024年5月3日、搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道；5月8日，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行；6月2日，嫦娥六号探测器“着上组合体”成功着陆月背南极艾特肯盆地的预选着陆区；中国成为第一个从月球背面带回月壤的国家，此次带回月壤1935.3克。设嫦娥六号探测器在环月轨道上做圆周运动，绕行周期为，月球的质量为，半径为，引力常量为，忽略其他天体的影响。下列说法错误的是　　
A．嫦娥六号探测器的环月轨道离月球的高度为
B．月球平均密度表达式为
C．月球表面重力加速度的表达式为
D．月球的第一宇宙速度表达式为
3．如图所示，人造卫星（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星作地球的两条切线，两条切线的夹角为，若卫星绕地球运动的周期为，引力常量为。则地球的密度为　　
A． B． C． D．
4．2024年10日21时50分，中国在西昌卫星发射中心成功将卫星互联网高轨星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知高轨卫星03星绕地球近似做圆周运动，卫星距离地面高度为，环绕周期为，已知引力常量为，地球半径为。则下列说法正确的是　　
A．03星运行的线速度大于
B．03星运行的线速度大小为
C．地球的质量为
D．地球的密度为
5．嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为月球球体半径的倍，引力常量为。根据题中所给信息，下列说法正确的是　　
A．可以估测地球的质量
B．可以估测月球的密度
C．周期与周期满足
D．地球的质量与月球的质量之比等于
题型二 卫(行)星运行参量的分析
【解题指导】
1.由v＝ 得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度．
2.做圆周运动的卫星的向心力由地球对它的万有引力提供，并指向它们轨道的圆心——地心．
3.在赤道上随地球自转的物体不是卫星，它随地球自转所需向心力由万有引力和地面支持力的合力提供．
【方法提炼】
环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即＝m＝mrω2＝mr·()2＝ma；
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg天体。
(3)三点提醒
①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；
②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；
③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度。
(4)四点注意
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。
④区别轨道半径与距天体表面的高度。
【综合训练】
6．2024年9月19日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第五十九颗、六十颗“北斗三号”导航卫星，“北斗三号”采用、和三种轨道的混合星座，提供全球覆盖和高精度导航服务。中圆地球轨道卫星的运行周期为12小时，轨道平面与赤道面夹角为；地球静止轨道卫星的运行周期为24小时，轨道面为赤道面；倾斜地球同步轨道卫星的运行周期为24小时，轨道平面与卫星轨道面几乎重合。若将三种轨道的卫星都视做匀速圆周运动，则关于三种轨道卫星的说法正确的是　　
A．轨道卫星与轨道卫星的向心力大小相等
B．轨道卫星与轨道卫星都相对地球静止
C．轨道卫星与轨道卫星的加速度大小之比为
D．轨道卫星与轨道卫星的轨道高度之比为
7．让宇航员不坐火箭就能上天，“流浪地球2”中的太空电梯何日能实现，如图所示，假若质量为的宇航员乘坐这种赤道上的“太空升降机”上升到距离地面高度处而静止在电梯内。已知地球的半径为，表面的重力加速度为，自转周期为，引力常量为，假若同步卫星距离地面的高度为，下列说法正确的是　　
A．宇航员停在太空电梯内时，运动状态不发生改变，所受合外力为零
B．当时，宇航员受到的支持力为
C．当时，万有引力大于宇航员做圆周运动的向心力
D．当时，宇航员受到向下的压力为
8．如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球同步卫星。关于、、做匀速圆周运动的说法中正确的是　　
A．、、三物体，都仅由万有引力提供向心力
B．周期关系为
C．线速度的大小关系为
D．向心加速度的大小关系为
9．北京时间2023年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。而在2020年11月10日清晨，载有3名潜航员的“奋斗者”号从“探索一号”母船机库缓缓推出，被稳稳起吊布放入水，近4小时后，“奋斗者”号成功坐底，下潜深度达10909米，创造了中国载人深潜新纪录。这标志着我国在载人航天和深海载人潜水器都取得世界领先水平。假设载人飞船运行的离地高度为，所处位置的重力加速度值为。深海潜水器的下潜深度为，所处位置的重力加速度为。已知地球的半径为，引力常量为。则与的比值为　　
A． B．
C． D．
10．2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器成功发射，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，近地卫星绕地球做匀速圆周运动的周期约为。若“嫦娥六号”探测器在近月轨道绕月做匀速圆周运动，周期约为　　
A． B． C． D．
题型三 航天器（卫星）的变轨问题
【解题指导】
1.卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动：
①当v增大时，所需向心力增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加；
②当v减小时，所需向心力减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v＝知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．
2.低轨道的卫星追高轨道的卫星需要加速，同一轨道后面的卫星追赶前面的卫星需要先减速后加速．
【方法提炼】
航天器（卫星）变轨应注意的五个问题
(1)若卫星由高轨道变轨到低轨道，即轨道半径(半长轴)减小时，需要在高轨道变轨处减速；反之，若卫星由低轨道变轨到高轨道，即轨道半径(半长轴)增大时，需要在低轨道变轨处加速。
(2)卫星变轨时速度的变化情况，可根据轨道半径(半长轴)的变化情况判断；稳定的新轨道上运行速度的变化情况可由开普勒第二定律判断。
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。外轨道的速度大于内轨道的速度。
(5)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律＝k。
【综合训练】
11．神舟十六号载人飞船与空间站组合顺利交会对接。在对接完成之前，神舟十六号需要完成六次自主变轨，距离地面的高度从上升到，逐渐接近空间站。已知同步卫星距离地面高度约为，对于变轨过程，下列说法正确的是　　
A．变轨完成后，飞船的向心加速度增大了
B．变轨完成后，飞船速度大于地球第一宇宙速度
C．在变轨过程中，需要对飞船加速
D．变轨完成后，飞船的运行周期大于24小时
12．“天问一号”火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是　　
A．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”机械能减小
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需点火加速
D．图中两阴影部分的面积相等
13．太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则　　
A．空间站变轨前、后在点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
14．嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆月背南极艾特肯盆地。如图所示，假设登月探测器在环月轨道1上的点实施变轨，进入椭圆轨道2，再由点进入圆轨道3。若轨道1的半径为，轨道3的半径为，登月探测器在轨道3的运行周期为，则下列说法正确的是　　
A．探测器在轨道3上运行时加速度不变
B．探测器在轨道2上运行的周期为
C．探测器在轨道1和轨道3上运行的线速度大小之比
D．探测器从轨道2上的点进入圆轨道3时，需要点火加速
15．2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为，周期约为。则鹊桥二号在捕获轨道运行时　　
A．周期约为
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
题型四 双星与多星问题
【解题指导】
1.核心问题是“谁”提供向心力的问题．
2.“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；3.多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F合＝m，以此列向心力方程进行求解．
【方法提炼】
1.双星系统
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即＝，两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π 。
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝。
2．多星系统
(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
(2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。
【综合训练】
16．在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设、两个天体的质量均为，相距为，其连线的中点为，另一天体（图中未画出）质量为，若处于、连线的垂直平分线上某特殊位置，、、可视为绕点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为。则　　
A．的线速度大小为的倍
B．的向心加速度大小为的一半
C．在一个周期内的路程为
D．的角速度大小为
17．依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕二者的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为，恒星距黑洞的距离约为，恒星做圆周运动的周期约为，为太阳的质量、为日地距离，为地球绕太阳的运动周期。由此估算该黑洞的质量约为　　
A． B． C． D．
18．据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，，则第一、二种四星系统周期的比值为　　
A． B． C． D．
19．如图所示，、恒星构成的双星系统，一颗质量为，另一颗质量为，两星均视为质点且距离保持不变，均绕它们连线上的点做匀速圆周运动。轨道平面上的观测点相对于点静止，连续两次出现、与、共线的时间间隔为。仅考虑双星间的万有引力，引力常量为。则下列说法不正确的是　　
A．恒星的质量为
B．恒星圆周运动的角速度为
C．任意时间内两星与点的连线扫过的面积相等
D．恒星、之间的距离为
20．宇宙间存在一些离其他恒星较远的双星系统。双星系统由两颗相距较近的恒星组成，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的一点做周期相同的匀速圆周运动。某双星系统由甲、乙两颗恒星组成，甲、乙两颗恒星的质量分别为、，且。它们做匀速圆周运动的周期为，万有引力常量为。关于双星系统的下列说法正确的是　　
A．恒星甲做匀速圆周运动的半径大于恒星乙做匀速圆周运动的半径
B．恒星甲做匀速圆周运动的线速度大于恒星乙做匀速圆周运动的线速度
C．双星做圆周运动的速率之和
D．双星之间的距离
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