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专题07 功能关系与机械能守恒
目录 题型一 机械能守恒定律的应用 题型二 功能关系的综合应用 题型三 动力学观点和能量观点的综合应用
【题型一】 机械能守恒定律的应用
【解题指导】
1.单物体多过程机械能守恒问题：划分物体运动阶段，研究每个阶段中的运动性质，判断机械能是否守恒；2.多物体的机械能守恒：一般选用ΔEp＝－ΔEk形式，不用选择零势能面．
【方法提炼】
1.机械能守恒的判断
(1)利用机械能的定义判断：若系统的动能、重力势能和弹性势能的总和不变，则机械能守恒。
(2)利用做功判断：若系统只有重力或弹簧弹力做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若系统只有动能和势能的相互转化，或还有其他形式能之间的相互转化，而无机械能与其他形式能之间的相互转化，则机械能守恒。
(4)绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，机械能不守恒。
2．应用机械能守恒定律解题时的三点注意
(1)要注意研究对象的选取研究对象的选取是解题的首要环节，有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研究对象机械能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象，机械能却是守恒的。如图所示，单独选物体A机械能减少，但由物体A、B二者组成的系统机械能守恒。
(2)要注意研究过程的选取有些问题研究对象的运动过程分几个阶段，有的阶段机械能守恒，而有的阶段机械能不守恒。因此，在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。
(3)要注意机械能守恒表达式的选取
【综合训练】
1．（2024 北京）如图所示，光滑水平轨道与竖直面内的光滑半圆形轨道在点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点。下列说法正确的是　　
A．物体在点所受合力为零
B．物体在点的速度为零
C．物体在点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在点时弹簧的弹性势能等于物体在点的动能
【答案】
【解答】解：小物体恰好能到达最高点，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆轨道的半径为，在点是速度大小为，由牛顿第二定律得，即，物体在点的速度，故错误，正确；
由能量守恒定律知，物体在点时弹簧的弹性势能等于物体离开弹簧后的在水平面上的动能，由水平轨道向圆轨道的运动过程中满足机械能守恒，所以弹性势能等于小物体在点时的动能和重力势能之和，故错误。
故选：。
2．（2025 西安校级模拟）如图所示，在直立、内壁光滑的管内放置一轻质弹簧，弹簧处于原长时其上端处于点，将小球从管口点由静止释放，将弹簧压缩至最低点，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，对于小球从点释放至第一次运动到点的过程，下列说法正确的是　　
A．该过程中小球受到的重力先做正功再做负功
B．该过程中小球的机械能守恒
C．该过程中弹簧的弹性势能先增大后减小
D．该过程中小球受到的重力做功的功率先增大后减小
【答案】
【解答】解：．该过程中小球一直向下运动，其位移方向与重力同向，所以小球受到的重力一直做正功，故错误；
．从到过程，小球只受重力作用，机械能守恒，从到过程，由于弹簧弹力对小球做负功，所以小球的机械能减少，故错误；
．该过程中弹簧的压缩量一直增大，所以该过程中弹簧的弹性势能一直增大，故错误；
．根据由于该过程中小球的速度先增大后减小，所以小球受到的重力做功的功率先增大后减小，故正确。
故选：。
3．（2024 西充县校级模拟）如图为小明玩橡皮筋球的瞬间，小球正在向上运动，手正在向下运动，橡皮筋处于拉伸状态。在橡皮筋逐渐恢复原长的过程中，小球一直在上升，下列说法正确的是　　
A．小球动能一直增加
B．小球机械能一直增加
C．小球一直处于超重状态
D．橡皮筋与小球构成的系统机械能守恒
【答案】
【解答】解：、小球正在向上运动，此后橡皮筋在恢复原长的过程中，当橡皮筋弹力大于小球重力时，小球向上做加速运动，小球处于超重状态，小球动能增加；当橡皮筋弹力小于小球重力时，小球向上做减速运动，小球处于失重状态，小球动能减少；故错误；
、橡皮筋在恢复原长的过程中，小球向上运动，橡皮筋弹力对小球一直做正功，则小球的机械能一直增加，故正确；
、由于手在下降，因此手对橡皮筋的弹力做负功，系统的机械能减小，故错误。
故选：。
4．（2024 吉林二模）如图，飞机在竖直平面内经一小段圆弧向上加速爬升，飞机沿该圆弧运动时　　
A．飞机的机械能守恒
B．飞行员处于失重状态
C．飞机克服重力做功的功率变小
D．飞机所受合力方向与速度方向的夹角为锐角
【答案】
【解答】解：、飞机向上加速爬升，重力势能增加，动能也增加，故机械能也增加，故错误；
、由于飞机沿圆弧加速爬升，故飞机所受的合力做证功，故飞机所受合力方向与速度方向的夹角为锐角，加速度方向与合力方向相同，所以加速度方向与速度方向成锐角，斜向上，有向上的加速度分量，飞行员处于超重状态，故错误，正确；
、飞机克服重力做功的功率为
其中为速度与竖直方向的夹角，飞机沿该圆弧向上运动时，减小，故飞机克服重力做功的功率变大，故错误。
故选：。
5．（2024 吉林二模）如图甲所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，一木块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则下列说法正确的是　　
A．木块上滑过程中，重力势能增加了
B．木块受到的摩擦力大小为
C．木块的重力大小为
D．木块与斜面间的动摩擦因数为
【答案】
【解答】解：、根据机械能定义可知，机械能的变化量等于重力势能变化量和动能变化量的和，则
解得
故错误；
、木块上滑过程中，机械能的变化量等于摩擦力所做的功，则
解得
故错误；
、重力所做的功等于重力势能变化量，则
△
解得
故正确；
、根据滑动摩擦力的公式可求，滑动摩擦力为
解得
故错误。
故选：。
【题型二】 功能关系的综合应用
【解题指导】
1.做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度．
2.功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应动能的变化等．
【方法提炼】
1.力学中几种功能关系
(1)合外力做功与动能的关系：W合＝ΔEk.
(2)重力做功与重力势能的关系：WG＝－ΔEp.
(3)弹力做功与弹性势能的关系：W弹＝－ΔEp.
(4)除重力及系统内弹力以外其他力做功与机械能的关系：W其他＝ΔE机．
(5)滑动摩擦力做功与内能的关系：Ffl相对＝ΔE内．
2.涉及做功与能量转化问题的解题方法
(1)分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功能之间的对应关系，确定能量之间的转化情况．
(2)当涉及滑动摩擦力做功时，机械能不守恒，一般应用能量守恒定律，特别注意摩擦产生的内能Q＝Ffl相对，l相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度．
(3)解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解．
【综合训练】
6．（2024 山东）如图所示，质量均为的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为。两木板与地面间动摩擦因数均为，弹性绳劲度系数为，被拉伸时弹性势能为绳的伸长量）。现用水平力缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，则所做的功等于　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：当甲所坐木板刚要离开原位置时，设弹性绳的伸长量为；
对甲及其所坐的木板整体，根据平衡条件
解得弹性绳的伸长量
此时弹性绳的弹性势能
乙同学的位移
根据功能关系，拉力做功
代入数据解得
综上分析，故错误，正确。
故选：。
7．（2024 福建）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包　　
A．第一次运动过程中上升与下降时间之比
B．第一次经点时的机械能比第二次的小
C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为
D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大
【答案】
【解答】解：沙包从抛出到最高点的运动可视为平抛运动的“逆运动”，则可得第一次抛出上升的高度为，根据
可得上升时间为
最高点距水平地面高为，故下降的时间为
故一次抛出上升时间、下降时间比值为，故错误；
两条轨迹最高点等高、沙包抛出的位置相同，故可知两次从抛出到落地的时间相等为
故可得第一次、第二次抛出时水平方向的分速度分别为，
由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度也相等，为，由于沙包在空中运动过程中只受重力，机械能守恒
故第一次过点比第二次机械能少
解得△
从抛出到落地瞬间根据动能定理可得
解得
则故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为，故正确，错误；
根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，如图所示，
故可知第一次抛出时速度与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故正确。
故选：。
8．（2024 南通模拟）如图所示，水平面上一滑块压在一张纸上，将纸匀速抽出，滑块向前移动一段距离后停止。若换一质量更大的滑块，压在纸上的同一位置，将纸以相同的速度抽出，已知两滑块与纸、水平面之间的动摩擦因数相同，则　　
A．纸抽出的时间变长 B．纸抽出的时间变短
C．抽纸过程拉力做功变多 D．抽纸过程拉力做功不变
【答案】
【解答】、设滑块的质量为，则滑块与纸之间的摩擦力大小为，纸抽出过程中滑块的加速度大小为，纸抽出过程中，物块相对纸的位移，两次将纸以相同的速度抽出，滑块压在纸上的同一位置，即、相同，且加速度相同，所以两次的纸抽出的时间相同，故错误；
、纸抽出时，滑块的速度，加速度与时间相同，所以滑块的速度相同，而第二次滑块与纸之间的摩擦力增大，两者的相对位移不变，所以因摩擦产生的热量增大，根据能量守恒可得抽纸过程拉力做功变多，故正确，错误。
故选：。
9．（2024 红桥区二模）如图所示，劲度系数为的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为的小球从弹簧正上方高处自由下落，当弹簧的压缩量为时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为。此过程中　　
A．小球的机械能守恒
B．小球到距地面高度为时动能最大
C．小球最大动能为
D．弹簧最大弹性势能为
【答案】
【解答】解：、小球压缩弹簧的过程中，弹力对小球做功，所以小球的机械能不守恒，故错误；
、当小球的加速度为零时，速度最大，动能最大，则有：，可得此时弹簧的压缩量为，而此时小球到距地面高度，是弹簧原长，故错误；
、对于小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒。从开始到小球动能最大位置，由系统机械能守恒得：，则小球最大动能为，故错误；
、从开始到最低点，由系统机械能守恒得弹簧最大弹性势能为：，故正确。
故选：。
10．（2024 辽宁模拟）某儿童玩具弹射发射器发射的弹珠在地板上运动的情境类似于下面的过程。轻弹簧左端固定且呈水平状态，用手将一木块压紧弹簧并保持静止，木块与弹簧不拴接，如图所示，弹簧的压缩量为。现松手，木块在弹簧的作用下在粗糙水平面上运动，木块最终离开弹簧后静止于水平面上。关于木块在运动过程中，其动能、加速度的大小分别随位移变化的关系图像（其中、为图线与横轴所围的面积），下列选项图中可能正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：木块在整个运动过程中所受的合力先变小为0再反向增大到弹簧恢复原长时所受的合力不变，木块脱离弹簧做匀减速运动，速度为0后静止；图像的斜率的绝对值表示木块所受的合力大小，由动能定理可知，木块的动能先变大再变小直到减为0，因为水平面粗糙，则弹簧恢复原长时木块所受的合力不为0，即处木块所受的合力不为0，故错误，正确；
对木块，根据牛顿第二定律，有，即，可知与成线性关系，时，，故错误；
将图像转换为图像，图线与横轴所围的面积表示木块所受的合力做功的大小，根据动能定理可知，合力做的功等于动能的变化，即图线和横轴所围的面积应相等，故错误。
故选：。
【题型三】 动力学观点和能量观点的综合应用
【解题指导】
1．做好两个分析
(1)综合受力分析、运动过程分析，由牛顿运动定律做好动力学分析．
(2)分析各力做功情况，做好能量的转化与守恒的分析，由此把握运动各阶段的运动性质，各连接点、临界点的力学特征、运动特征和能量特征．
2．做好四个选择
(1)当物体受到恒力作用发生运动状态的改变而且又涉及时间时，一般选择用动力学方法解题；
(2)当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律；
(3)当涉及细节并要求分析力时，一般选择牛顿运动定律，对某一时刻进行分析时选择牛顿第二定律求解；
(4)复杂问题的分析一般需选择能量的观点、运动与力的观点综合解题．
【方法提炼】
1.应用能量守恒定律解题的注意事项
(1)应用能量守恒定律的两条基本思路
①某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔE减＝ΔE增。
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。
(2)当涉及摩擦力做功时，机械能不守恒，一般应用能量的转化和守恒定律，特别注意摩擦产生的热量Q＝Ffx相对，x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度。
2.利用能量观点解决力学问题的思路
(1)明确研究对象和研究过程。
(2)进行运动分析和受力分析。
(3)选择所用的规律列方程求解。
①动能定理：需要明确初、末动能，明确力的总功，适用于所有情况。
②机械能守恒定律：根据机械能守恒条件判断研究对象的机械能是否守恒，只有满足机械能守恒的条件时才能应用此规律。
③功能关系：根据常见的功能关系求解，适用于所有情况。
④能量守恒定律：适用于所有情况。
(4)对结果进行讨论。
【综合训练】
11．（2024 青秀区校级模拟）如图甲所示，足够长的水平传送带以恒定速率逆时针转动，一质量为的小物块从传送带的左端以向右的速度滑上传送带。小物块在传送带上运动时，小物块的动能与小物块的位移关系图像如图乙所示，图中：，已知传送带与小物块之间动摩擦因数不变，重力加速度，则　　
A．从小物块开始滑动到与传送带达到共同速度所需时间为
B．小物块与传送带之间的动摩擦因数为0.1
C．整个过程中物块与传送带间产生的热量为
D．由于小物块的出现导致传送带电动机多消耗的电能为
【答案】
【解答】解：由题图可知，小物块在传送带上做匀减速直线运动，到其位移为时动能减为零，之后物块反向加速，最后以返回出发点。
、根据动能定理有：，结合图乙可知，图像斜率的绝对值表示合外力的大小，小物块向右滑，合外力为，则：
由于初动能：
物块返回与传送带共速的动能为，则：
则传送带速度满足：
联立解得：，，，故错误；
、根据题意可以作图像如下，
由图像可知，小物块做匀变速直线运动且共速前加速度不变，全程可看为匀减速，即：
代入解得：，故错误；
、整个过程中物块与传送带间变生的热量为产生的热量为：△
由图像可知相对位移为：
联立代入数据解得：，故正确；
、根据能量守恒可得：
整个过程中电动机多消耗的电能为：，故错误。
故选：。
12．（2025 清远模拟）如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率向上运行，倾角为的传送带以恒定速率沿顺时针转动，将一个行李箱无初速度地放在传送带底端，行李箱从运动到的平均速度，则行李箱在传送带上从运动到的过程中　　
A．行李箱受到的摩擦力保持不变
B．行李箱与传送带间的动摩擦因数
C．传送带电机对外做的功大于行李箱机械能的增加量
D．摩擦力对传送带做功的值等于行李箱机械能的增加量
【答案】
【解答】．根据题意，平均速度，可知物块在传送带上先做加速直线运动后做匀速直线运动，所以物块受到的摩擦力先为滑动摩擦力，后为静摩擦力，故错误；
．因为物块轻放上去后，能加速向上运动，则
解得
故正确；
．传送带电机对外做的功等于物块机械能的增加量和因摩擦产生的热量，故正确；
．摩擦力对传送带做功的值等于行李箱机械能的增加量和系统产生的内能，故错误。
故选：。
13．（2024 长安区校级模拟）如图所示，水平地面上有足够长平板车，车上最右端放一物块，开始时、均静止。时，车在外力作用下开始沿水平面向右运动，其图像如图所示，已知物块与平板车间的动摩擦因数为0.2，内物块始终没有滑出小车，取。下列说法正确的是　　
A．内，物块的加速度一直保持不变
B．要使物块不会从车的左端滑出小车，小车的长度至少
C．内，与间因相对滑动产生的内能为
D．内，、相对地面的位移大小之比为
【答案】
【解答】解：．根据图像斜率表示加速度，车先以加速度做匀加速直线运动
后以加速度做匀减速直线运动，
根据物块与车的动摩擦因数可知，物体与车的滑动摩擦力产生的加速度为，则有
物块与小车速度相同前，物块受到的滑动摩擦力一直向右，物块做匀加速直线运动，物块与小车速度相同后，物块受到的滑动摩擦力向左，物块做匀减速直线运动。物块运动的图像如红线所示
内，物块先加速后减速，加速时加速度向右，减速时加速度向左，故错误；
．设时刻物块与小车速度相等，则有
解得
此时物块和小车的速度为
之后，物块相对小车向右滑，在时，物块的速度为
内，物块和小车的相对位移为△，由图像可得
要使物块不会从车的左端滑出小车，小车的长度至少，故正确；
．时，物块的速度为
内，由图像可知小车和物块的相对位移为
所以因摩擦产生的内能为△△
代入数解得：
故正确；
．内，小车的位移为
物块的位移为
则有
故正确。
故选：。
14．（2024 运城二模）如图所示，倾角的传送带以的速度沿顺时针方向匀速转动，将物块轻放在传送带下端的同时，物块从传送带上端以的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，不计两物块大小，重力加速度取，，，求：
（1）两物块刚在传送带上运动时各自的加速度大小；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间；
（3）若的质量，求在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量。
【答案】（1）物块刚在传送带上运动时的加速度大小为，物块刚在传送带上运动时的加速度大小为；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间为；
（3）在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量为。
【解答】解：（1）刚开始物块沿传送带向下减速运动有
解得
对于物块，向上加速运动有
解得
（2）物块在传送带上加速的时间
解得
物块从冲上传送带到速度为零所用时间
解得
两个物块在与传送带共速时恰好不相碰，物块从速度为零向上加速到与传送带速度相同所用时间为
解得
所以，两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用时间为
解得
（3）在时间内，物块与传送带的相对位移大小为
解得
在时间内，物块与传送带的相对位移大小为
解得
则物块与传送带间因摩擦产生的热量
代入数据解得
答：（1）物块刚在传送带上运动时的加速度大小为，物块刚在传送带上运动时的加速度大小为；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间为；
（3）在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量为。
15．（2024 福建一模）如图所示，水平传送带长，以的速度顺时针转动，传送带与半径可调的竖直光滑半圆轨道平滑连接，段为光滑管道，小物块（可视为质点）轻放在传送带左端，已知小物块的质量，与传送带间的动摩擦因数，，重力加速度。
（1）求小物块到达点时的速度大小；
（2）求由于传送小物块，电动机多做的功；
（3）若要使小物块从点飞出后落回传送带的水平距离最大，求半圆轨道半径的大小；
（4）若小物块在半圆轨道内运动时始终不脱离轨道且不从点飞出，求半圆轨道半径的取值范围。
【答案】（1）小物块到达点时的速度大小为；
（2）由于传送小物块，电动机多做的功为；
（3）若要使小物块从点飞出后落回传送带的水平距离最大，半圆轨道半径的大小为；
（4）若小物块在半圆轨道内运动时始终不脱离轨道且不从点飞出，半圆轨道半径的取值范围是或。
【解答】解：（1）对小物块受力分析，由牛顿第二定律：
代入数据解得：
设小物块与传送带共速的时间为，由运动学公式：
可得：
加速的位移为：
因为：
所以小物块在传送带上先加速后匀速，到达点时的速度大小为。
（2）小物块在传送带上因摩擦而产生的热量为：
由于传送小物块，电动机多做的功为：
（3）从点到点，由动能定理：
小物块离开点后做平抛运动，有：，
联立可得：
由数学关系可知，当时，小物块从点飞出后落回传送带的水平距离最大：
（4）①刚好沿半圆到达与圆心等高处，根据动能定理：
解得：
小物块在半圆轨道内运动时始终不脱离轨道，则：
②刚好到达点不脱轨，临界条件是弹力为0，在点：
从点到点，根据动能定理：
代入数据解得：
③刚好到达点不脱轨，在点有，从点到点，根据动能定理：
代入数据解得：
若小物块在半圆轨道内运动时不从点飞出，则满足：
综上所述，半圆轨道半径的取值范围为：或
答：（1）小物块到达点时的速度大小为；
（2）由于传送小物块，电动机多做的功为；
（3）若要使小物块从点飞出后落回传送带的水平距离最大，半圆轨道半径的大小为；
（4）若小物块在半圆轨道内运动时始终不脱离轨道且不从点飞出，半圆轨道半径的取值范围是或。
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专题07 功能关系与机械能守恒
目录 题型一 机械能守恒定律的应用 题型二 功能关系的综合应用 题型三 动力学观点和能量观点的综合应用
【题型一】 机械能守恒定律的应用
【解题指导】
1.单物体多过程机械能守恒问题：划分物体运动阶段，研究每个阶段中的运动性质，判断机械能是否守恒；2.多物体的机械能守恒：一般选用ΔEp＝－ΔEk形式，不用选择零势能面．
【方法提炼】
1.机械能守恒的判断
(1)利用机械能的定义判断：若系统的动能、重力势能和弹性势能的总和不变，则机械能守恒。
(2)利用做功判断：若系统只有重力或弹簧弹力做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若系统只有动能和势能的相互转化，或还有其他形式能之间的相互转化，而无机械能与其他形式能之间的相互转化，则机械能守恒。
(4)绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，机械能不守恒。
2．应用机械能守恒定律解题时的三点注意
(1)要注意研究对象的选取研究对象的选取是解题的首要环节，有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研究对象机械能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象，机械能却是守恒的。如图所示，单独选物体A机械能减少，但由物体A、B二者组成的系统机械能守恒。
(2)要注意研究过程的选取有些问题研究对象的运动过程分几个阶段，有的阶段机械能守恒，而有的阶段机械能不守恒。因此，在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。
(3)要注意机械能守恒表达式的选取
【综合训练】
1．（2024 北京）如图所示，光滑水平轨道与竖直面内的光滑半圆形轨道在点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点。下列说法正确的是　　
A．物体在点所受合力为零
B．物体在点的速度为零
C．物体在点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在点时弹簧的弹性势能等于物体在点的动能
2．（2025 西安校级模拟）如图所示，在直立、内壁光滑的管内放置一轻质弹簧，弹簧处于原长时其上端处于点，将小球从管口点由静止释放，将弹簧压缩至最低点，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，对于小球从点释放至第一次运动到点的过程，下列说法正确的是　　
A．该过程中小球受到的重力先做正功再做负功
B．该过程中小球的机械能守恒
C．该过程中弹簧的弹性势能先增大后减小
D．该过程中小球受到的重力做功的功率先增大后减小
3．（2024 西充县校级模拟）如图为小明玩橡皮筋球的瞬间，小球正在向上运动，手正在向下运动，橡皮筋处于拉伸状态。在橡皮筋逐渐恢复原长的过程中，小球一直在上升，下列说法正确的是　　
A．小球动能一直增加
B．小球机械能一直增加
C．小球一直处于超重状态
D．橡皮筋与小球构成的系统机械能守恒
4．（2024 吉林二模）如图，飞机在竖直平面内经一小段圆弧向上加速爬升，飞机沿该圆弧运动时　　
A．飞机的机械能守恒
B．飞行员处于失重状态
C．飞机克服重力做功的功率变小
D．飞机所受合力方向与速度方向的夹角为锐角
5．（2024 吉林二模）如图甲所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，一木块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则下列说法正确的是　　
A．木块上滑过程中，重力势能增加了
B．木块受到的摩擦力大小为
C．木块的重力大小为
D．木块与斜面间的动摩擦因数为
【题型二】 功能关系的综合应用
【解题指导】
1.做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度．
2.功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应动能的变化等．
【方法提炼】
1.力学中几种功能关系
(1)合外力做功与动能的关系：W合＝ΔEk.
(2)重力做功与重力势能的关系：WG＝－ΔEp.
(3)弹力做功与弹性势能的关系：W弹＝－ΔEp.
(4)除重力及系统内弹力以外其他力做功与机械能的关系：W其他＝ΔE机．
(5)滑动摩擦力做功与内能的关系：Ffl相对＝ΔE内．
2.涉及做功与能量转化问题的解题方法
(1)分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功能之间的对应关系，确定能量之间的转化情况．
(2)当涉及滑动摩擦力做功时，机械能不守恒，一般应用能量守恒定律，特别注意摩擦产生的内能Q＝Ffl相对，l相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度．
(3)解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解．
【综合训练】
6．（2024 山东）如图所示，质量均为的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为。两木板与地面间动摩擦因数均为，弹性绳劲度系数为，被拉伸时弹性势能为绳的伸长量）。现用水平力缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，则所做的功等于　　
A． B．
C． D．
7．（2024 福建）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包　　
A．第一次运动过程中上升与下降时间之比
B．第一次经点时的机械能比第二次的小
C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为
D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大
8．（2024 南通模拟）如图所示，水平面上一滑块压在一张纸上，将纸匀速抽出，滑块向前移动一段距离后停止。若换一质量更大的滑块，压在纸上的同一位置，将纸以相同的速度抽出，已知两滑块与纸、水平面之间的动摩擦因数相同，则　　
A．纸抽出的时间变长 B．纸抽出的时间变短
C．抽纸过程拉力做功变多 D．抽纸过程拉力做功不变
9．（2024 红桥区二模）如图所示，劲度系数为的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为的小球从弹簧正上方高处自由下落，当弹簧的压缩量为时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为。此过程中　　
A．小球的机械能守恒
B．小球到距地面高度为时动能最大
C．小球最大动能为
D．弹簧最大弹性势能为
10．（2024 辽宁模拟）某儿童玩具弹射发射器发射的弹珠在地板上运动的情境类似于下面的过程。轻弹簧左端固定且呈水平状态，用手将一木块压紧弹簧并保持静止，木块与弹簧不拴接，如图所示，弹簧的压缩量为。现松手，木块在弹簧的作用下在粗糙水平面上运动，木块最终离开弹簧后静止于水平面上。关于木块在运动过程中，其动能、加速度的大小分别随位移变化的关系图像（其中、为图线与横轴所围的面积），下列选项图中可能正确的是　　
A． B．
C． D．
【题型三】 动力学观点和能量观点的综合应用
【解题指导】
1．做好两个分析
(1)综合受力分析、运动过程分析，由牛顿运动定律做好动力学分析．
(2)分析各力做功情况，做好能量的转化与守恒的分析，由此把握运动各阶段的运动性质，各连接点、临界点的力学特征、运动特征和能量特征．
2．做好四个选择
(1)当物体受到恒力作用发生运动状态的改变而且又涉及时间时，一般选择用动力学方法解题；
(2)当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律；
(3)当涉及细节并要求分析力时，一般选择牛顿运动定律，对某一时刻进行分析时选择牛顿第二定律求解；
(4)复杂问题的分析一般需选择能量的观点、运动与力的观点综合解题．
【方法提炼】
1.应用能量守恒定律解题的注意事项
(1)应用能量守恒定律的两条基本思路
①某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔE减＝ΔE增。
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。
(2)当涉及摩擦力做功时，机械能不守恒，一般应用能量的转化和守恒定律，特别注意摩擦产生的热量Q＝Ffx相对，x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度。
2.利用能量观点解决力学问题的思路
(1)明确研究对象和研究过程。
(2)进行运动分析和受力分析。
(3)选择所用的规律列方程求解。
①动能定理：需要明确初、末动能，明确力的总功，适用于所有情况。
②机械能守恒定律：根据机械能守恒条件判断研究对象的机械能是否守恒，只有满足机械能守恒的条件时才能应用此规律。
③功能关系：根据常见的功能关系求解，适用于所有情况。
④能量守恒定律：适用于所有情况。
(4)对结果进行讨论。
【综合训练】
11．（2024 青秀区校级模拟）如图甲所示，足够长的水平传送带以恒定速率逆时针转动，一质量为的小物块从传送带的左端以向右的速度滑上传送带。小物块在传送带上运动时，小物块的动能与小物块的位移关系图像如图乙所示，图中：，已知传送带与小物块之间动摩擦因数不变，重力加速度，则　　
A．从小物块开始滑动到与传送带达到共同速度所需时间为
B．小物块与传送带之间的动摩擦因数为0.1
C．整个过程中物块与传送带间产生的热量为
D．由于小物块的出现导致传送带电动机多消耗的电能为
12．（2025 清远模拟）如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率向上运行，倾角为的传送带以恒定速率沿顺时针转动，将一个行李箱无初速度地放在传送带底端，行李箱从运动到的平均速度，则行李箱在传送带上从运动到的过程中　　
A．行李箱受到的摩擦力保持不变
B．行李箱与传送带间的动摩擦因数
C．传送带电机对外做的功大于行李箱机械能的增加量
D．摩擦力对传送带做功的值等于行李箱机械能的增加量
13．（2024 长安区校级模拟）如图所示，水平地面上有足够长平板车，车上最右端放一物块，开始时、均静止。时，车在外力作用下开始沿水平面向右运动，其图像如图所示，已知物块与平板车间的动摩擦因数为0.2，内物块始终没有滑出小车，取。下列说法正确的是　　
A．内，物块的加速度一直保持不变
B．要使物块不会从车的左端滑出小车，小车的长度至少
C．内，与间因相对滑动产生的内能为
D．内，、相对地面的位移大小之比为
14．（2024 运城二模）如图所示，倾角的传送带以的速度沿顺时针方向匀速转动，将物块轻放在传送带下端的同时，物块从传送带上端以的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，不计两物块大小，重力加速度取，，，求：
（1）两物块刚在传送带上运动时各自的加速度大小；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间；
（3）若的质量，求在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量。
15．（2024 福建一模）如图所示，水平传送带长，以的速度顺时针转动，传送带与半径可调的竖直光滑半圆轨道平滑连接，段为光滑管道，小物块（可视为质点）轻放在传送带左端，已知小物块的质量，与传送带间的动摩擦因数，，重力加速度。
（1）求小物块到达点时的速度大小；
（2）求由于传送小物块，电动机多做的功；
（3）若要使小物块从点飞出后落回传送带的水平距离最大，求半圆轨道半径的大小；
（4）若小物块在半圆轨道内运动时始终不脱离轨道且不从点飞出，求半圆轨道半径的取值范围。
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