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第一章 数与式
重难点01 规律探究型问题
类型一 数与式、图形的规律问题
【命题预测】数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析。主要考査学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，要求学生通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
题型01 个位数规律
（2024·山西大同·模拟预测）
1．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即 请你推算的个位数字是 ．
（2024·山东临沂·二模）
2．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ．
（2021·湖北武汉·一模）
3．观察下列算式：，…，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
题型02 单/多项式类规律
（2022·西藏·中考真题）
4．按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A． B． C． D．
（2023·西藏·中考真题）
5．按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
（2021·甘肃武威·中考真题）
6．一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是 ．
题型03 单/多项式类规律
（2024·四川德阳·中考真题）
7．将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
（2022·湖南怀化·中考真题）
8．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 ．
（2022·山东泰安·中考真题）
9．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是 ．
（2023·湖南常德·中考真题）
10．观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
题型04 杨辉三角形类规律
（2023·黑龙江大庆·中考真题）
11．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
（2023·四川巴中·中考真题）
12．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
（2020·山东泰安·中考真题）
13．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则 ．
题型05 表格类规律
（2021·湖北随州·中考真题）
14．根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．100 B．121 C．144 D．169
（2020·湖北·中考真题）
15．根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）

A．17 B．18 C．19 D．20
（2020·湖南娄底·中考真题）
16．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
（2024·河南商丘·模拟预测）
17．如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　）
A．990 B．9900 C．985 D．9850
题型06 跨学科类规律（化学）
（2024·重庆·中考真题）
18．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
（2023·四川遂宁·中考真题）
19．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．

（2024·重庆·一模）
20．有机化学中“烷烃”的分子式如CH4、C2H6、C3H8…可分别按下图对应展开，则C100Hm中m的值是（ ）

A．200 B．202 C．302 D．300
（2024·广东·三模）
21．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ．
题型07 通过观察已知等式求解
（2023·四川内江·中考真题）
22．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
（2021·四川眉山·中考真题）
23．观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算 ．
（2024·四川遂宁·中考真题）
24．在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时， ．
（2024·安徽·模拟预测）
25．观察下列图形，并根据图形规律解决问题
观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…，
(1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：_____________________；
(3)根据以上结论计算：．
题型08 通过观察已知等式，猜想第n个代数式
（2023·山东聊城·中考真题）
26．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．

（2023·浙江·中考真题）
27．观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
（2022·安徽·中考真题）
28．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
（2024·安徽宿州·三模）
29．观察下列图形与等式的关系：
第1个图
第2个图
第3个图
第4个图
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______；
(2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；
(3)运用上述规律计算：．
题型09 图形固定累加型
（2023·重庆·中考真题）
30．用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）
31．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
（2023·山西·中考真题）
32．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）

（2023·湖北十堰·中考真题）
33．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．

题型10 图形递变累加型
（2024·山东济宁·中考真题）
34．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
（2022·山东济宁·中考真题）
35．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
（2024·西藏·中考真题）
36．如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）．
（2024·安徽合肥·二模）
37．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．
(1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”；
(2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系．
（2023·安徽·中考真题）
38．【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
题型11 分区域累加型
（2024·河北唐山·模拟预测）
39．嘉嘉利用便利贴拼成一个宝塔形图案，宝塔形图案共有层，每一层由三列的便利贴拼成，前3层如图所示．若同一层中每一列皆比前一列多2张，且每一层第一列皆比前一层第一列多2张，则此宝塔形图案是由（ ）张便利贴拼成的．
A． B． C． D．
（2024·山东泰安·中考真题）
40．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
（2024·安徽·模拟预测）
41．下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为 ．
（2024·安徽六安·模拟预测）
42．如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…．
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值．
题型12 图形循环规律
（2021百色市模拟）
43．正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
（2023·浙江衢州·模拟预测）
44．根据图中箭头的指向规律，从2022到2023再到2024，箭头的方向是以下图示中的（ ）
A． B． C． D．
（2024贵州市模拟）
45．如图，物体从A点出发，按照（第一步）（第二步）……的顺序循环运动，则第2023步到达（ ）
A．A点 B．C点 C．G点 D．F点
（2022·海南省直辖县级单位·二模）
46．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A开始沿正方形的边按A→B→C→D→A逆时针方向循环运动，当它的运动路程为2022时，点P所在位置为点 ．
题型13 图形类规律
（2022·山东聊城·中考真题）
47．如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
（2022·黑龙江绥化·中考真题）
48．如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为 ．
（2021·贵州黔西·中考真题）
49．如图，在中，，，，作正方形，使顶点，分别在，上，边在上；类似地，在△中，作正方形；在△中，作正方形；；依次作下去，则第个正方形的边长是 ．
（2020·辽宁·中考真题）
50．如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于2，则的面积为 ．（用含正整数的式子表示）

类型二 平面直角坐标系中的规律问题 (旋转、平移、翻滚、渐变等)
【命题预测】该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。
题型01 沿坐标运动的点的规律
（2024·黑龙江绥化·中考真题）
51．如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
（2024·河南南阳·三模）
52．如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
（2024·甘肃酒泉·三模）
53．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的坐标是 ．

（2024·山东泰安·二模）
54．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ．
题型02 绕原点呈“回”字形运动的点的规律
（2023·山东日照·中考真题）
55．数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
（2024·山东聊城·三模）
56．如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ．
（2021·山东潍坊·中考真题）
57．在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 ．
（2023·辽宁阜新·中考真题）
58．如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )

A． B． C． D．
题型03 图形变换的点的规律
（2023·山东烟台·中考真题）
59．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（2023·湖南怀化·中考真题）
60．在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为 ，点的坐标为 ．

（2024河口区模拟）
61．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为 ．
（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）
62．如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）
63．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）
64．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合．点P是两锐角平分线的交点，第一次滚动后得到对应点为；第二次滚动后得到对应点为；……按此规律，则点的坐标是 ．
题型04 坐标轴与直线相结合类规律
（2023·山东东营·中考真题）
65．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．

（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）
66．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ．

（2024·四川广安·中考真题）
67．已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
（2023·山东烟台·模拟预测）
68．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【专项训练】
（2024·江苏徐州·中考真题）
69．观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
（2024·江苏扬州·中考真题）
70．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
（2024·重庆南岸·模拟预测）
71．按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（ ）
A．25块 B．61块 C．85块 D．113块
72．如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
（2024·山东威海·一模）
73．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·山东潍坊·中考真题）
74．将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ．
（2024·山西·模拟预测）
75．榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 ．

（2023·黑龙江绥化·中考真题）
76．在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）

（2023·四川广安·一模）
77．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．

（2020·安徽·中考真题）
78．观察以下等式：
第1个等式：
第个等式：
第3个等式：
第个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第个等式____________；
写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明．
（2023宣城三县三模）
79．【观察思考】
如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，…
依此规律，请解答下面的问题．
【规律发现】
（1）第5个图案有________个正方形；
（2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）；
【规律应用】
（3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由．
（2024·河北唐山·二模）
80．如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题．
在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：．
(1)填空： _______， _________．
(2)求的值．
(3)按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由．
参考答案与解析
参考答案：
1．
【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得个位数字每四个数按，，，循环出现，结合，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，个位数字每四个数按，，，循环出现，
∵，
∴的个位数字与相同，是，
故答案为：．
2．1
【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得．
【详解】因为，，，，，，…，
所以个位数字是以为一循环，且，
又因为，，
所以的结果的个位数字是1，
故答案为：1．
3．D
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可．
【详解】解：∵，，，，，，，，
......，
以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现，
∵，
∴的末尾数字与的尾数相同为，
∵，，，，，，，，
......，
以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现，
∵
∴的末尾数字与的尾数相同为，
∴的末位数字是：．
故选：D．
4．A
【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
【详解】原数据可转化为：，
∴，
，
，
..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
5．
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【详解】解：系数为，次数为1；
系数为，次数为2；
系数为，次数为3；
系数为，次数为4；
第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n，
∴第n个单项式为：．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
6．
【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【详解】解：∵当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
∴第n个式子是：．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
故选：C．
8．744
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．
【详解】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744．
【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．
9．
【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
【详解】第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
10．C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
11．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
12．C
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
13．20110
【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【详解】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，
∴．
故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
14．B
【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解】解：根据图中数据可知：
则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．
15．B
【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．
【详解】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去
故选：B．
【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
16．C
【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
17．D
【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的a，进一步求得b，则可求得c．
【详解】解：观察网格图中的数字可以发现：
，
，
，
故选：D．
18．B
【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
故选：B．
19．
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
20．B
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“”和“”个数变化的规律是解题的关键．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图形中字母“”的个数为：1，字母“”的个数为：；
第2个图形中字母“”的个数为：2，字母“”的个数为：；
第3个图形中字母“”的个数为：3，字母“”的个数为：；
，
所以第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为，
当时，
（个，
即中的值是．
故选：B．
21．
【分析】本题考查图形规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律．
根据题目中的图形，可以发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律，即可得出己烷的化学式．
【详解】解：由题图可得，
第一个甲烷分子结构式中“C”的个数是1，“H”的个数是；
第二个乙烷分子结构式中“C”的个数是2，“H”的个数是；
第三个丙烷分子结构式中“C”的个数是3，“H”的个数是；
…，
第n个分子结构式中“C”的个数是n，“H”的个数是；
∴第6个己烷分子结构式中“C”的个数是6，“H”的个数是，
∴己烷的化学式为．
故答案为：．
22．C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
23．
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
24．##0.73
【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可．
【详解】解：根据题意可得，当时，，
则当时，，
故答案为：．
25．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
（1）根据图形得到规律写出答案即可；
（2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可；
（3）利用（2）中得到的规律进行计算即可．
【详解】（1）由图①可得，
，
；
；
；
……
，
故答案为：，
（2）通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：
故答案为：
（3）
26．
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
则第个数对的第一个数为：，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
则第个数对的第二个位：，
∴第n个数对为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
27．(1)6
(2)n
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，
故答案为：6；
（2）由题意得：，
故答案为：n；
（3）
．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键．
28．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
29．(1)11，
(2)
(3)2025
【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点，
（1）根据题图找出规律即可得解；
（2）根据题图找出规律即可得解；
（2）根据题图找出的规律计算即可得解；
能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．
【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，第6个空白小正方形的个数算式应为：，
故答案为：11，；
（2）解：由题图知，
图①空白部分小正方形的个数是；
图②空白部分小正方形的个数是；
图③空白部分小正方形的个数是；
…，
所以图n空白部分小正方形的个数是：，
故答案为：；
（3）解：由（2）问规律可计算得，
．
30．B
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
31．B
【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即，
第2个图案有7个三角形，即，
第3个图案有10个三角形，即，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：（个）．
故选：B．
32．
【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．
【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片，
第2个图案中有6个白色圆片，
第3个图案中有8个白色圆片，
第4个图案中有10个白色圆片，
，
∴第个图案中有个白色圆片．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．
33．##
【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可．
【详解】解：当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
第n个图案有个三角形，
每个三角形用三根，
故第n个图案需要火柴棍的根数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
34．B
【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可．
【详解】第1个图形有1个正方形，
第2个图形有个正方形，
第3个图形有个正方形，
……
第6个图形有（个）正方形，
故选：B.
35．B
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
36．
【分析】
本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“”的个数为，解题的关键是明确题意，发现题目中个数的变化规律．
【详解】
解：∵第1个图案用了个“”，
第2个图案用了个“”，
第3个图案用了个“”，
第4个图案用了个“”，
……，
∴第n个图案中“”的个数为，
故答案为：．
37．(1)10，27
(2)
【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是找到图形的变化规律．
（1）仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律写出答案即可；
（2）根据（1）中的规律利用和表示出，对应相等即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：
图中“△”的个数为，“★”的个数为，
图中“△”的个数为，“★”的个数为，
图中“△”的个数为，“★”的个数为，
…，
∴图中“△”的个数为，“★”的个数为，
∴图4中有个“△”，图5中有个“★”；
（2）解：由（1）得：图中“△”的个数为，“★”的个数为，
∵设图中有个“△”，个“★”，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
38．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）
解：第1个图案中有个，
第2个图案中有个，
第3个图案中有个，
第4个图案中有个，
……
∴第个图案中有个，
故答案为：．
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为，
（3）解：依题意，，
第个图案中有个，
∴，
解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
39．B
【分析】此题考查了图形的规律，根据各层的便利贴的数量变化，找到规律，根据规律进行计算即可.
【详解】解：根据题意可得，第一层有便利贴：（张），
第二层有便利贴：（张），
第三层有便利贴：（张），
……
第n（n为正整数）层有便利贴：（张），
∵
∴当时，（张），
∴此宝塔形图案是由张便利贴拼成的．
故选：B
40．12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
41．85
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形可得前三个图形的小圆圈的变化规律，进而可得第⑦个图形中小圆圈的个数．
【详解】解：观察图形可知：
第①个图形中一共有4个小圆圈，即；
第②个图形中一共有10个小圆圈，即；
第③个图形中一共有19个小圆圈，即；
按此规律排列下去，
第n个图形中小圆圈的个数为：
，
所以第⑦个图形中小圆圈的个数为：
，
故答案为：85
42．(1)
(2)
(3)n的值为6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题；
（2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题；
（3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为；
第2个图案中“☆”的个数为；
第3个图案中“☆”的个数为；
……
第n个图案中“☆”的个数为；
即图案5中“☆”的个数为
故答案为：
（2）由题知，
第1个图案中“★”的个数为；
第2个图案中“★”的个数为；
第3个图案中“★”的个数为；
……
第个图案中“★”的个数为；
故答案为：．
（3）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．
43．D
【分析】先翻转一次和两次确认点B、C对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的规律，从而即可得出答案．
【详解】翻转一次可得：点B对应的数为2；再翻转一次可得：点C对应的数为3
在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下：
点A对应的数分别为，n为非负整数
点B对应的数分别为，n为非负整数
点C对应的数分别为，n为非负整数
点D对应的数分别为，n为非负整数
由此可知，只有点D对应的数可以为2020，此时为非负整数，符合要求
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键．
44．B
【分析】此题考查了图形类规律探究，关键是能根据图示进行准确地归纳、应用．根据图示归纳出箭头的方向规律，再运用规律求解．
【详解】解：由题意得，图示中箭头方向按“上”、“右”、“下”、“右”4次一循环的规律出现，
，
从2022到2023再到2024，箭头的方向是：“下”、“右”，
故选：B．
45．C
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据物体的运动规律找出每8步一个循环是解题的关键．根据物体的运动规律可知：每8步一个循环，结合可知第2023步和第7步到达同一点，进而即可得出结论．
【详解】根据物体的运动规律可知，每8步一个循环，
又，
∴第2023步到达G点．
故选：C．
46．C
【分析】先分析得出一周的路程为4，然后运用整式的除法得出所走的圈数，从而得出点P的位置；
【详解】由分析可知：动点P从A开始沿正方形的边按A→B→C→D→A逆时针方向运动一周路程为4，
∴当它的运动路程为2022时，，
∴点P应该从点A运动到点C；
故点P所在的位置是C；
故答案是C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化类问题，结合实际考查了整式的除法问题，关键是找到点P运动的规律．
47．##
【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为，半圆②弧长为（）2π，半圆③弧长为（）3π，......半圆⑧弧长为（）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
【详解】解：∵，
∴，半圆①弧长为，
同理，半圆②弧长为，
，半圆③弧长为，
……
半圆⑧弧长为，
∴8个小半圆的弧长之和为．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化类规律，解题的关键是掌握圆的周长公式和找到弧长的变化规律．
48．
【分析】解直角三角形分别求得，，，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．
【详解】解：，
是直角三角形，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
同理可得：，，……，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．
49．
【分析】法一：过作，通过做辅助线并结合等腰直角三角形的性质找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
法二：直接利用等腰直角三角形的性质，找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
【详解】解：法1：过作，交于点，交于点，如图所示：
，
，
为斜边为1的等腰直角三角形，
，
又△为等腰直角三角形，
，
，
第1个正方形的边长，
同理第2个正方形的边长，
则第个正方形的边长；
法2：由题意得：，
，，
，
同理可得：，
依此类推．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形与正方形的性质，能够准确利用相关性质找到正方形边长的比值规律是解决本题的关键．
50．
【分析】先计算出、、的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解．
【详解】解：∵，
∴面积是矩形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为，
∵点是的中点，∴
∴，
，
∴，
∵点是的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，
∴，
且，
∴
∴，
同理可以计算出：
，
且，
∴，
∴，
故、、的面积分别为：，
观察规律，其分母分别为2,4,8，符合，分子规律为，
∴的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，矩形的性质等，本题的关键是能求出前面三个三角形的面积表达式，进而找出规律求解．
51．
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，
∵，
∴的坐标为．
∴的坐标为
故答案为：．
52．C
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，先求出点的坐标，再从特殊到一般探究出规律，得出的横坐标为为，，纵坐标为，然后利用规律即可解决问题．
【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为,
点的横坐为标，，纵坐标为,
点的横坐标为，，纵坐标为,
点的横坐标为，，纵坐标为,
…
按这个规律平移得到点的横坐标为为，，纵坐标为
∴点的横坐标为，纵坐标为
故选：C．
53．
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，由，可得动点P的坐标是．
【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次接着运动到点，
第5次接着运动到点，
……
∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，
∵，
∴动点P的坐标是，
故答案为：．
54．
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标．
【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；
，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，
最左边的点坐标为，即第个点的坐标，
第2024个点的坐标为．
故答案为：．
55．B
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到；
第3圈有16个点，即到，；
依次类推，第n圈，；
由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；
是在第23圈上，且，即，故B选项正确；
第n圈，，所以，故C、D选项不正确；
故选B．
【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
56．
【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案．
【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现：
第1个回形有2个点，，
第2个回形有4个点，分别是，，，
第3个回形有4个点，分别是，，，
第个回形有4个点，分别是，，，
那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为
故答案为：
57．2022
【分析】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
58．A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可．
【详解】解：由图得，，…
点C的位置每4个一循环，
，
∴在第三象限，与，，，…
符合规律，
∴坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
59．A
【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律．
【详解】解：∵，，，，，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
60．
【分析】根据旋转角度为，可知每旋转6次后点又回到轴的正半轴上，故点在第四象限，且，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为，
∴，
∵每次旋转角度为，
∴6次旋转，
第一次旋转后，在第四象限，，
第二次旋转后，在第三象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第二象限，，
第五次旋转后，在第一象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
……
如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到轴正半轴，
∵，
点在第四象限，且，
如图，过点作轴于，

在中，，
∴，
，
∴点的坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
61．
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半相反数，然后确定出点的坐标即可．
【详解】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半，
当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半的相反数，
因为2024能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为．
故答案为：．
62．
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可．
【详解】解：连接，
由题意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，
∴滚动2024次后停止滚动，则时，，
故答案为：．
63．
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：正方形顶点M的坐标为，
,
是等边三角形，点B坐标是，
等边三角形高为，
由题知，
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
继续滚动有，的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，
，
的坐标与的坐标一样为，
故答案为：．
64．
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，直角三角形内切圆，能通过三角形的运动方式，依次求出点的坐标并发现规律是解题的关键．根据三角形的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：过点作，垂足分别为，分别过点作轴，轴，轴，垂足为，以点为圆心，长为半径作，
点P是两锐角平分线的交点，
点P为的内心，
又，
，，
A，B，
，
，
，
，，
四边形为正方形，
，
在中，
，
横坐标为，
，
同理可得，，
由此可见，每滚动三次一个循环，且横坐标的增加为三角形的周长，
，
则的横坐标为，
故点的坐标为，
故答案为：．
65．
【分析】分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可．
【详解】解：当，，解得，
∴点,
∵是正方形，
∴，
∴点，
∴点的横坐标是，
当时，，解得，
∴点，
∵是正方形，
∴，
∴点，
即点的横坐标是，
当时，，解得，
∴点，
∵是正方形，
∴，
∴点的横坐标是，
……
以此类推，则点的横坐标是
故答案为：
【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解题的关键．
66．
【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．
67．
【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
68．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，点的坐标规律．解此题的关键是计算前三个正方形的面积，从中找出规律．根据相似三角形的判定原理，得出，继而得知；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算前三个正方形的面积，从中找出规律．数形结合找出规律是解决问题的关键．
【详解】解：设正方形的面积分别为，，，，
根据题意得，
（同位角相等）．
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
同理，得，
由正方形的面积公式，得，
，
，
，
由此可得．
第2023个正方形的面积为，
故选：A．
69．D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵，
，
，
∴第5个数为，
第6个数为，
第7个数为，
故选：D．
70．D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．
故选：D
71．C
【分析】本题考查图形的变化规律，得到第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是解题的关键．
【详解】∵第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
…，
第n个图案中黑色小正方形地砖的块数，
∴第7个图案中黑色小正方形地砖的块数．
故选：C．
72．C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
73．B
【分析】本题考查图形的变化类，根据题意可发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而根据规律，即可求解．
【详解】解：依题意，
故选：B．
74． 45 2
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．
【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时，
若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵，
而，在第行，第1列，
∴2024在第行，第2列，
∴，，
故答案为：45，2．
75．##
【分析】本题考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为，因此得到当连接结构数为n时，总长度为．
【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为，
∴当连接结构数为1时，总长度为，
当连接结构数为2时，总长度为，
当连接结构数为n时，总长度为，
故答案为：．
76．##
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
77．
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键．
78．（1）；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；
（2），
证明：∵左边==右边，
∴等式成立．
【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
79．（1）12；（2）；（3）可以组成第n个图案，
【分析】本题考查图形类规律探究，从已有图形，抽象出相应的规律，是解题的关键．
（1）从已有图形中，得到第n个图案有个正方形，进而求出第5个图案即可；
（2）由（1）即可得出结果；
（3）令，进行求解即可．
【详解】解：（1）第1个图案有：个正方形；
第2个图案有：个正方形；
第3个图案有：个正方形；
，
∴第n个图案有个正方形，
∴第5个图案有个正方形，
故答案为：12；
（2）由（1）可知：第n个图案有个正方形，
故答案为：；
（3）可以，
当时，．
80．(1)1；
(2)14
(3)；能；9
【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．进行列式计算，即可作答．
（2）同理分别计算出，再代入，进行计算，即可作答．
（3）找出规律：第n行第2个数字为，根据进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，；
故答案为：1；
（2）解：依题意，；
；
∴；
（3）解：第1行第2个数字为
第2行第2个数字为
第3行第2个数字为
以此类推
第n行第2个数字为
这个数字能为19
令，解得，
故n 的值为9

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