资源简介 新定义型—广东省(人教版)数学七(上)期末复习一、有理数1.(2024七上·湛江期末)有一种新运算,规定了,小王按规定的法则计算结果是正确的.请你计算 .2.(2024七上·广州月考)我们记一对有理数a,b为数对.如果数对使等式成立,则称之为“有趣数对”.(1)如果数对是“有趣数对”,那么是“有趣数对”吗?请说明理由;(2)如果数对是“有趣数对”,求的值;(3)如果a和b互为相反数,那么是“有趣数对”吗?请说明理由.3.(2024七上·龙岗期末)对于有理数,,,,若,则称和关于的“美好关联数”为,例如,,则和关于的“美好关联数”为.(1)和关于的“美好关联数”为 ;、(2)若和关于的“美好关联数”为,求的值;(3)若和关于的“美好关联数”为,和关于的“美好关联数”为,和关于的“美好关联数”为,,和关于的“美好关联数”为,.的最小值为 ;的最小值为 .4.(2024七上·濠江期末)【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后.小芳对类似于这样几个相同有理数(均不等于0)的除法运算产生了兴趣,决定探究学习.经过查阅资料,类比有理数的乘方运算,小芳知道这种除法运算叫做除方,并把记作,读作“的4次商”.【概念归纳】一般地,我们把个()相除记作,读作“的次商”(1)【概念理解】直接写出结果: .(2)关于除方,下列说法正确的是: (填序号)①任何非零数的2次商都等于1;②对于任何正整数,;③;④负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数(3)【概念运用】经过探究,小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算,例:.仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式: ; .(4)计算:.5.(2024七上·广州期末)定义一种新运算:观察下列各式,并解决问题.,,.请你想一想:(1) , ;(2)已知,求m的值;(3)判断与的大小关系,并说明理由.6.(2024七上·南沙期末)定义新运算:求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方.记作,比如把记作,记作.特别地,规定.(1)根据除方的定义,可记作 ;(2)直接写出计算结果: ;(3)计算:;(4)对于有理数时, .7.(2024七上·龙湖期末)我们将这样子的式子称为二阶行列式,它的运算法则公式表示就是=ad-bc,例如.(1)请你依此法则计算二阶行列式.(2)请化简二阶行列式,并求当x=4时二阶行列式的值.8.(2024七上·金平期末)观察下列三个等式:,,,我们称使等式成立的一对有理数为“友好数对”,记为,例如数对,,都是“友好数对”,请回答下列问题:(1)数对是“友好数对”吗?试说明理由,(2)若数对是“友好数对”,求的值,(3)若数对是“友好数对”,求的值.9.(2023七上·澄海期末)用“”定义一种新运算:对于任意有理数和,规定.如:.(1)求的值(2)若,求的值;10.(2024七上·福田期末)对正整数a,b规定运算★如下:,则 .11.(2024七上·罗定期末)观察下列三个等式:,,,我们称使等式成立的一对有理数a,b为“有趣数对”,记为,例如数对,,都是“有趣数对”,请回答下列问题:(1)数对是“有趣数对”吗?试说明理由.(2)若是“有趣数对”,求的值.二、代数式12.(2024七上·惠阳期末)一般情况下不成立,但有些数可以使得它成立,例如a=b=0.我们称使得成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b).(1)若(1,b)是“相伴数对”,求b的值.(2)若(m,n)是“相伴数对”,求整式26m+4n-2(4m-2n)+5的值.13.(2024七上·怀集期末)对于两个有理数m,n,定义一种新的运算“@”如下:.根据以上规定解答下列各题:(1)计算:的值;(2)若,求的值.14.(2023七上·澄海期末)一般情况下不成立,但有些数可以使得它成立,例如:等,我们称使得成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b)(1)若是“相伴数对”,求b的值;(2)写两个“相伴数对”,其中,且;(3)若是“相伴数对”,求代数式的值.15.(2024七上·普宁期末)定义一种新的运算,观察下列各式:,,,.(1)根据你观察到的规律,计算;(2)请你用代数式表示的结果;(3)若,请计算的值.16.(2024七上·湛江期末)阅读下面方框内的材料,解答相应的问题:对称式: 一个含有多个字母的式子中,任意交换两个字母的位置,当字母的取值均不相等,且都不为时,式子的值都不变,这样的式子叫做对称式例如:式子中任意两个字母交换位置,可得到式子,,,因为,所以是对称式而式子中字母,交换位置,得到式子,因为,所以不是对称式.问题:(1)给出下列式子:,,,,其中是对称式的是______填序号即可;(2)写出一个系数为,只含有字母,且次数为的单项式,使该单项式是对称式;写出一个只含有字母,的三次三项式,使该多项式是对称式;(3)已知,,求,并直接判断所得结果是否是对称式.17.(2024七上·茂名期末)用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定,如:.(1)求的值;(2)若,求a的值;(3)若,(其中x为有理数),试比较与n的大小.18.(2024七上·阳春期末)综合探究:整体思想是一种重要的数学思想方法,其思维方式是根据问题的结构特征,把一组数,一个代数式或几个图形视为一个整体,去观察,分析,解决问题的一种方法.这样做,不仅简化解题过程,提高思维能力,还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题.如:代数式的化简问题.若把看成一个整体,则:.这就是数学解题中的“整体思想”.请运用上面的“整体思想”解决下列问题:(1)尝试应用:化简(2)拓展运用:如图1,点O是线段上一点,C、D分别是线段的中点,当时,求线段的长度.(3)迁移运用:如图2,长方形纸片,点E,F分别是边上任意一点,连接.将对折,点B落在直线上的点处,得折痕;将对折,点A落在直线上的点处,得折痕,的度数会随着折痕的变化而变化吗?说明你的理由.三、一元一次方程19.(2024七上·电白期末)定义:若,则称与是关于的关联数.例如:若,则称与是关于2的关联数;若与是关于4的关联数,则的值是( )A.0 B.1 C.8 D.220.(2024七上·深圳期末)定义:如果两个一元一次方程的解之和为,我们就称这两个方程互为“阳光方程”例如:的解为,的解为,所以这两个方程互为“阳光方程”.(1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”,则 .(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”,且这两个“阳光方程”的解的差为若其中一个方程的解为,求的值.(3)已知关于的一元一次方程的解是,请写出解是的关于的一元一次方程:只需要补充含有的代数式.若关于的一元一次方程和互为“阳光方程”,则关于的一元一次方程的解为 .21.(2024七上·海珠期末)定义:关于x的方程与方程(a,b均为不等于0的常数)称互为“反对方程”,例如:方程与方程互为“反对方程”.(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”,则 .(2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数,求整数d的值.(3)已知关于x的一元一次方程的解为,那么关于y的一元一次方程的解为 .(请直接写出答案)22.(2024七上·潮南期末)定义:如果两个一元一次方程的解的和为1,我们就称这两个方程为“集团方程”,例如:方程和为“集团方程”.(1)若关于x的方程与方程是“集团方程”,求m的值;(2)若“集团方程”的两个解的差为6,其中一个较大的解为n,求n的值;(3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”,求关于y的一元一次方程的解.四、几何图形初步23.(2024七上·江海期末)新定义:如果的内部有一条射线将分成的两个角,其中一个角是另一个角的n倍,那么我们称射线为的n倍分线,例如,如图1,,则为的4倍分线.,则也是的4倍分线.(1)应用:若,为的二倍分线,且则 °;(2)如图2,点A,O,B在同一条直线上为直线上方的一条射线.①若,分别为和的三倍分线,(,)已知,,则_▲_°;②在①的条件下,若,的度数是否发生变化?若不发生变化,请写出计算过程;若发生变化,请说明理由.③如图3,已知,且,所在射线恰好是分别为和的三倍分线,请直接写出的度数.答案解析部分1.【答案】22【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则【解析】【解答】解:根据新定义运算: ,可得:故答案为:22.【分析】本题考查了新定义运算下的有理数四则混合运算,根据定义的新定义,将对应位置的数字代入,集合有理数的运算法则,进行计算,即可求解.2.【答案】(1)解:∵是“有趣数对”,∴,∴,把,代入中,左边=右边,∴是“有趣数对”.(2)解:根据题意得,解得∴,,∴.(3)解:∵a和b互为相反数,∴,且∴,∴不是“有趣数对”.【知识点】一元一次方程的其他应用;相反数的意义与性质;绝对值的概念与意义;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)利用“有趣数对”的定义可得,求出m的值,再证明即可;(2)利用“有趣数对”的定义可得,再求出x的值,最后求出即可;(3)先利用相反数的定义可得,且,再求出,再根据“有趣数对”的定义分析求解即可.(1)解:∵是“有趣数对”,∴,∴,把,代入中,左边=右边所以是“有趣数对”;(2)解:依题意得,解得∴,,∴;(3)解:∵a和b互为相反数,∴,且∴,∴不是“有趣数对”.3.【答案】(1)8(2)解:因为和关于的“美好关联数”为,所以,所以,解得或;(3)1;820【知识点】定义新运算;绝对值的概念与意义【解析】【解答】解:(1)-3和5关于2的“美好关联数”为|-3-2|+|5-2|=5+3=8.故答案为:8.(3)①∵和关于的“美好关联数”为,∴|x0-1|+|x1-1|=1,在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1,∴x0+x1有最小值,最小值为1;②∵和关于的“美好关联数”为,∴|x1-2|+|x2-2|=1,∵1≤x1≤2,2≤x2≤3,∴x1+x2的最小值为1+2=3;同理可知x3+x4的最小值为3+4=7;x5+x6的最小值为5+6=11;x39+x40的最小值为39+40=79;∴∴的最小值为820.故答案为:1,820.【分析】(1)利用美好关联数”的定义,列式计算即可.(2)利用美好关联数”的定义,可得到关于x的方程,解方程求出x的值.(3)①利用“美好关联数”的定义,结合已知条件可得到|x0-1|+|x1-1|=1,可推出在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1,据此可得到x0+x1的最小值;②利用和关于的“美好关联数”为,可得到|x1-2|+|x2-2|=1,利用1≤x1≤2,2≤x2≤3,可得到x1+x2的最小值为1+2=3;同理可知x3+x4的最小值为3+4=7;x5+x6的最小值为5+6=11;根据其规律可得到x39+x40的最小值为39+40=79;然后列式计算求出的最小值.4.【答案】(1)-1(2)①④(3);(4)解:======.【知识点】有理数混合运算法则(含乘方)5.【答案】(1)23;(2)解:,,∴,解得:;(3)解:,,∴,当时,,,当时,,,当时,,.【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则;解一元一次方程;整式的大小比较【解析】【解答】解:(1)5×3+8=23;;故答案为:23; . 【分析】(1)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(2)利用题干中的定义及计算方法可得,再求出m的值即可;(3)利用作差法可得,再分类讨论即可.6.【答案】(1)(2)1(3)解:;(4)【知识点】乘方的相关概念;有理数的减法法则;有理数混合运算法则(含乘方)【解析】【解答】解:(1)根据题意可得:记作,故答案为:;(2)根据题意可得:2023÷2023=1,故答案为;1;(4)a =a÷a÷a÷…÷a=a×××……×=,故答案为: .【分析】(1)根据题干中的定义分析求解即可;(2)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(3)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(4)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.7.【答案】(1)解:=3×3﹣(﹣2)×4=9+8=17;(2)解:=(2x﹣3)×4﹣(x+2)×2=8x﹣12﹣2x﹣4=6x﹣16,当x=4时,6x﹣16=6×4﹣16=24﹣16=8.【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则;利用整式的加减运算化简求值【解析】【分析】(1)根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(2)根据题干中的定义及计算方法列出算式可得6x﹣16,再将x=4代入计算即可.8.【答案】(1)解:数对是“友好数对”,理由如下:∵,∴,∴数对是“友好数对”;(2)解:∵数对是“友好数对”,∴,解得;(3)解:∵数对是“友好数对”,∴,∴,∴,∴.【知识点】解一元一次方程;有理数的乘法法则;有理数的加法法则;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)利用“友好数对”的定义分析求解即可;(2)利用“友好数对”的定义可得,再求出a的值即可;(3)利用“友好数对”的定义可得,求出,再将其代入计算即可.9.【答案】(1)解:(2)解:依题意得:,∴,∴,∴,解得:,∴a的值为【知识点】解一元一次方程;定义新运算;有理数混合运算法则(含乘方)【解析】【分析】(1)按照新运算的法则代入计算即可.注意位置不能代反.(2)根据新运算法则进行换算,得到关于a的方程,再求解方程即可.10.【答案】2【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则【解析】【解答】解:由题意得:,故答案为:2.【分析】本题考查了新定义的运算,以及有理数的四则混合运算,根据规定的新运算进行转化,结合有理数的乘法与加法运算法则,即可求解.11.【答案】(1)解:∵,,,∴数对不是“有趣数对”;(2)解:∵是“有趣数对”,∴,整理得:,∴,∴.【知识点】整式的加减运算;有理数的减法法则;有理数的乘法法则;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)根据题目所给“有趣数对”的定义,结合等式成立的一对有理数a,b为“有趣数对”进行分析判断,即可解答;(2)根据“有趣数对”的定义,得出,将整体代入,即可解答.12.【答案】(1)解:将a=1,代入中,得,化简求得b=-.(2)解:将a=m,b=n,代入中,得9m+4n=0.26m+4n-2(4m-2n)+5=26m+4n-8m+4n+5=18m+8n+5=2(9m+4n)+5=0+5=5.【知识点】解一元一次方程;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)将a=1代入,可得,再求出b的值即可;(2)将a=m,b=n,代入中,得9m+4n=0,再将其代入26m+4n-2(4m-2n)+5=2(9m+4n)+5计算即可.13.【答案】(1)解:由新定义运算可得:(2)解:由新定义可得:由可得将代入可得,原式.【知识点】定义新运算;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)根据新定义把m=4,n=-3代入计算即可求解;(2)根据新定义把m=x-y,n=x+y代入计算整理,由已知的等式可得x+2y=3,然后整体代换计算即可求解.14.【答案】(1)解:∵是“相伴数对”,∴,解得:,∴b的值为(2)解:,(答案不唯一).(3)解:∵是“相伴数对”,∴,即,整理得:,∴【知识点】解一元一次方程;定义新运算;利用整式的加减运算化简求值;求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解:(2)设(2,a),(3,b)是“相伴数对”,∴,,解得:,;也可以是其他的数.故答案为:,等【分析】(1)根据定义把(1,b)代入等式求解即可;(2)相伴数对满足 ,其中一个数设为已知的数,代入等式求出另外一个未知数即可.(3)根据等式求出“相伴数对”的两个数的数量关系,然后化简整式代入求值.15.【答案】(1)解:;(2)解:;(3)解:,,即,,.【知识点】利用整式的加减运算化简求值;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)根据题干中的定义及计算方法分析求解即可;(2)利用题干中的定义及计算方法分析求解即可;(3)先利用题干中的定义及计算方法求出,再求出,最后将代入计算即可.16.【答案】(1)(2)解:①根据题意可写出对称式为:;根据对称式定义和题目上的条件,写出对称式为:,(3)解:;根据对称式的定义,可知不是对称式.【知识点】整式的加减运算;去括号法则及应用;单项式的次数与系数;多项式的项、系数与次数【解析】【解答】解:(1)根据对称式的定义:,故是对称式;,故不是对称式;,故是对称式.故答案为:;【分析】(1)根据对称式定义,结合,,,, 逐项分享判断,即可求解;(2)①根据对称式定义和题目上的条件,写出对称式,即可得到答案;根据对称式定义和题目上的条件,写出对称式,即可得到答案;(3)根据整式的运算法则,去括号,合并同类项,化简得到,结合对称式定义,进行验证,即可得到答案.17.【答案】(1)解:由题意得;(2)解:由题意得,,∴,解得:(3)解:根据题意得:,即,,即∴,∴【知识点】整式的加减运算;解一元一次方程;定义新运算【解析】【分析】(1)根据新定义代入求值即可;(2)根据新定义代入,得关于a的一元一次方程,求解即可;(3)根据新定义代入分别表示出m和n,再对4m和n作差比较即可.18.【答案】(1)解:;(2)解:因为分别是线段的中点,所以.所以.因为,所以;(3)解:由折叠的性质可知平分平分故不会发生变化.【知识点】整式的加减运算;角的运算;线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算;角平分线的概念;整体思想【解析】【分析】(1)将(x+y)当作整体,再利用合并同类项的计算方法分析求解即可;(2)先利用线段中点的性质,再利用线段的和差及等量代换可得;(3)先利用角平分线的定义可得,再利用角的运算和等量代换可得.19.【答案】A【知识点】解一元一次方程;列一元一次方程【解析】【解答】解:∵2x 1与3x 5是关于4的关联数,∴(2x 1) (3x 5)=4,去括号,得2x 1 3x+5=4,移项,得2x 3x=4+1 5,合并同类项,得 x=0,系数化成1,得x=0.故答案为:A.【分析】根据“关联数”的定义可得(2x 1) (3x 5)=4,再利用解一元一次方程的计算方法及步骤(先去括号,再移项并合并同类项,最后系数化为“1”即可)分析求解即可.20.【答案】(1)(2)解:“阳光方程”的一个解为,则另一个解为x=,这两个“阳光方程”的解的差为5,则或,解得或.故的值为或(3)解:①y+1;-y-1;②y=-2024【知识点】定义新运算;解含括号的一元一次方程;解含分数系数的一元一次方程【解析】【解答】解:(1)解x+2m=0得x=-2m.解3x-2=-x得.因为一元一次方程x+2m=0和3x-2=-x是"阳光方程",所以解得:故答案为:.(3)①:关于x的一元一次方程的解为x=2024,那么只有是这个形式的方程,解都不变.所以令x=y+1,则方程的解满足,解为.方程可变形为:,故答案为:y+1;-y-1.②:解得x=2023.∵一元一次方程和互为阳光方程,∴一元一次方程的解为x=1-2023,即x=-2022.∵∴∴y+2=-2022,∴y=-2024.故答案为:y=-2024.【分析】(1)根据题意分别求出两个方程的解,再建立关于m的方程求解即可;(2)根据题意把另外一个解设为1-k,建立关于k的方程求解;(3)①将未知方程变形成的同解方程,即可解决问题;②先求解方程,可得到此方程的解,再根据"阳光方程"的定义得到方程的解,观察发现变形后就是的同解方程,可得到关于y的方程,解方程求出y的值.21.【答案】(1)2(2)解:关于x的方程2x 3=d的解为:x=,将2x 3=d整理,得2x (d+3)=0,其“反对方程”为(d+3)x 2=0,解得:x=,∵和都是整数,∴d+3=±2,解得:d= 1或 5.(3)【知识点】一元一次方程的解;解一元一次方程【解析】【解答】解:(1)∵关于x的方程2x 3=0的“反对方程”为3x 2=0,∴3x 2=3x c,∴c=2,故答案为:2.(3)整理x+5=7x+m,得x+(5 m)=0,将x=代入,得+2(m 5)=0①;整理(m 5)(y+2)+7=,得( 7) (m 5)(y+2)=0②;比对①和②,得 (y+2)=2,解得:y= 4,故答案为:y= 4.【分析】(1)根据“反对方程”的定义可得3x 2=3x c,再求出c的值即可;(2)先分别求出原方程和“反对方程”的解,再结合“和都是整数”可得d+3=±2,再求出d的值即可;(3)把第一个方程整理成一元一次方程的一般形式,将x=代入并去分母;将第二个方程整理成与前者相同的形式,对比系数可以得到关于y的一元一次方程,求出y的值即可.22.【答案】(1)解:∵,∴.∵,∴.∵关于x的方程与方程是“集团方程”,∴,∴;(2)解:∵“集团方程”的两个解和为1,∴另一个方程的解是,∵两个解的差是6,且n为较大的解,∴,∴.(3)解:∵,∴.∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”,∴关于x的一元一次方程的解为:.∵关于y的一元一次方程可化为:,令,∴.【知识点】一元一次方程的解;解含分数系数的一元一次方程;已知一元一次方程的解求参数【解析】【分析】(1)先分别求出两个方程的解,再结合“集团方程”的定义可得, 再求出m的值即可;(2)根据“ 两个解的差是6,且n为较大的解 ”可得, 再求出n的值即可;(3)先求出,再结合“集团方程”的定义可得可化为:, 再, 求出y的值即可.23.【答案】(1)40(2)135.②不变,∵,分别为和的三倍分线,,,∴,,∴,,,,,;③解:设,∵,∴,∵,所在射线恰好是分别为和的三倍分线,∴,,∵,∴,∴,∴,,∴.【知识点】角的运算;定义新运算;一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解:(1)根据题意可得,∠BOP=2∠POA;∵∠BOP+∠POA=60°∴3∠POA=60°,解得∠POA=20°;∴∠BOP=40°故答案为:40.(2)解:①∵,分别为和的三倍分线(,),∴,,∵,∴,∴,,∴,,∴故答案为:135【分析】(1)根据定义,可得∠BOP和∠POA的倍数关系,根据角的和差性质即可求解;(2)①根据定义可得相应角的倍数关系,进而求出相应角的度数;根据角的和差性质即可求解;②根据定义可得相应角的倍数关系,列代数式,根据平角的性质即可求解;③设未知数,用未知数表示相应角的度数,根据平角的性质,列一元一次方程即可求解.1 / 1新定义型—广东省(人教版)数学七(上)期末复习一、有理数1.(2024七上·湛江期末)有一种新运算,规定了,小王按规定的法则计算结果是正确的.请你计算 .【答案】22【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则【解析】【解答】解:根据新定义运算: ,可得:故答案为:22.【分析】本题考查了新定义运算下的有理数四则混合运算,根据定义的新定义,将对应位置的数字代入,集合有理数的运算法则,进行计算,即可求解.2.(2024七上·广州月考)我们记一对有理数a,b为数对.如果数对使等式成立,则称之为“有趣数对”.(1)如果数对是“有趣数对”,那么是“有趣数对”吗?请说明理由;(2)如果数对是“有趣数对”,求的值;(3)如果a和b互为相反数,那么是“有趣数对”吗?请说明理由.【答案】(1)解:∵是“有趣数对”,∴,∴,把,代入中,左边=右边,∴是“有趣数对”.(2)解:根据题意得,解得∴,,∴.(3)解:∵a和b互为相反数,∴,且∴,∴不是“有趣数对”.【知识点】一元一次方程的其他应用;相反数的意义与性质;绝对值的概念与意义;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)利用“有趣数对”的定义可得,求出m的值,再证明即可;(2)利用“有趣数对”的定义可得,再求出x的值,最后求出即可;(3)先利用相反数的定义可得,且,再求出,再根据“有趣数对”的定义分析求解即可.(1)解:∵是“有趣数对”,∴,∴,把,代入中,左边=右边所以是“有趣数对”;(2)解:依题意得,解得∴,,∴;(3)解:∵a和b互为相反数,∴,且∴,∴不是“有趣数对”.3.(2024七上·龙岗期末)对于有理数,,,,若,则称和关于的“美好关联数”为,例如,,则和关于的“美好关联数”为.(1)和关于的“美好关联数”为 ;、(2)若和关于的“美好关联数”为,求的值;(3)若和关于的“美好关联数”为,和关于的“美好关联数”为,和关于的“美好关联数”为,,和关于的“美好关联数”为,.的最小值为 ;的最小值为 .【答案】(1)8(2)解:因为和关于的“美好关联数”为,所以,所以,解得或;(3)1;820【知识点】定义新运算;绝对值的概念与意义【解析】【解答】解:(1)-3和5关于2的“美好关联数”为|-3-2|+|5-2|=5+3=8.故答案为:8.(3)①∵和关于的“美好关联数”为,∴|x0-1|+|x1-1|=1,在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1,∴x0+x1有最小值,最小值为1;②∵和关于的“美好关联数”为,∴|x1-2|+|x2-2|=1,∵1≤x1≤2,2≤x2≤3,∴x1+x2的最小值为1+2=3;同理可知x3+x4的最小值为3+4=7;x5+x6的最小值为5+6=11;x39+x40的最小值为39+40=79;∴∴的最小值为820.故答案为:1,820.【分析】(1)利用美好关联数”的定义,列式计算即可.(2)利用美好关联数”的定义,可得到关于x的方程,解方程求出x的值.(3)①利用“美好关联数”的定义,结合已知条件可得到|x0-1|+|x1-1|=1,可推出在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1,据此可得到x0+x1的最小值;②利用和关于的“美好关联数”为,可得到|x1-2|+|x2-2|=1,利用1≤x1≤2,2≤x2≤3,可得到x1+x2的最小值为1+2=3;同理可知x3+x4的最小值为3+4=7;x5+x6的最小值为5+6=11;根据其规律可得到x39+x40的最小值为39+40=79;然后列式计算求出的最小值.4.(2024七上·濠江期末)【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后.小芳对类似于这样几个相同有理数(均不等于0)的除法运算产生了兴趣,决定探究学习.经过查阅资料,类比有理数的乘方运算,小芳知道这种除法运算叫做除方,并把记作,读作“的4次商”.【概念归纳】一般地,我们把个()相除记作,读作“的次商”(1)【概念理解】直接写出结果: .(2)关于除方,下列说法正确的是: (填序号)①任何非零数的2次商都等于1;②对于任何正整数,;③;④负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数(3)【概念运用】经过探究,小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算,例:.仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式: ; .(4)计算:.【答案】(1)-1(2)①④(3);(4)解:======.【知识点】有理数混合运算法则(含乘方)5.(2024七上·广州期末)定义一种新运算:观察下列各式,并解决问题.,,.请你想一想:(1) , ;(2)已知,求m的值;(3)判断与的大小关系,并说明理由.【答案】(1)23;(2)解:,,∴,解得:;(3)解:,,∴,当时,,,当时,,,当时,,.【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则;解一元一次方程;整式的大小比较【解析】【解答】解:(1)5×3+8=23;;故答案为:23; . 【分析】(1)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(2)利用题干中的定义及计算方法可得,再求出m的值即可;(3)利用作差法可得,再分类讨论即可.6.(2024七上·南沙期末)定义新运算:求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方.记作,比如把记作,记作.特别地,规定.(1)根据除方的定义,可记作 ;(2)直接写出计算结果: ;(3)计算:;(4)对于有理数时, .【答案】(1)(2)1(3)解:;(4)【知识点】乘方的相关概念;有理数的减法法则;有理数混合运算法则(含乘方)【解析】【解答】解:(1)根据题意可得:记作,故答案为:;(2)根据题意可得:2023÷2023=1,故答案为;1;(4)a =a÷a÷a÷…÷a=a×××……×=,故答案为: .【分析】(1)根据题干中的定义分析求解即可;(2)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(3)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(4)利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.7.(2024七上·龙湖期末)我们将这样子的式子称为二阶行列式,它的运算法则公式表示就是=ad-bc,例如.(1)请你依此法则计算二阶行列式.(2)请化简二阶行列式,并求当x=4时二阶行列式的值.【答案】(1)解:=3×3﹣(﹣2)×4=9+8=17;(2)解:=(2x﹣3)×4﹣(x+2)×2=8x﹣12﹣2x﹣4=6x﹣16,当x=4时,6x﹣16=6×4﹣16=24﹣16=8.【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则;利用整式的加减运算化简求值【解析】【分析】(1)根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可;(2)根据题干中的定义及计算方法列出算式可得6x﹣16,再将x=4代入计算即可.8.(2024七上·金平期末)观察下列三个等式:,,,我们称使等式成立的一对有理数为“友好数对”,记为,例如数对,,都是“友好数对”,请回答下列问题:(1)数对是“友好数对”吗?试说明理由,(2)若数对是“友好数对”,求的值,(3)若数对是“友好数对”,求的值.【答案】(1)解:数对是“友好数对”,理由如下:∵,∴,∴数对是“友好数对”;(2)解:∵数对是“友好数对”,∴,解得;(3)解:∵数对是“友好数对”,∴,∴,∴,∴.【知识点】解一元一次方程;有理数的乘法法则;有理数的加法法则;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)利用“友好数对”的定义分析求解即可;(2)利用“友好数对”的定义可得,再求出a的值即可;(3)利用“友好数对”的定义可得,求出,再将其代入计算即可.9.(2023七上·澄海期末)用“”定义一种新运算:对于任意有理数和,规定.如:.(1)求的值(2)若,求的值;【答案】(1)解:(2)解:依题意得:,∴,∴,∴,解得:,∴a的值为【知识点】解一元一次方程;定义新运算;有理数混合运算法则(含乘方)【解析】【分析】(1)按照新运算的法则代入计算即可.注意位置不能代反.(2)根据新运算法则进行换算,得到关于a的方程,再求解方程即可.10.(2024七上·福田期末)对正整数a,b规定运算★如下:,则 .【答案】2【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则【解析】【解答】解:由题意得:,故答案为:2.【分析】本题考查了新定义的运算,以及有理数的四则混合运算,根据规定的新运算进行转化,结合有理数的乘法与加法运算法则,即可求解.11.(2024七上·罗定期末)观察下列三个等式:,,,我们称使等式成立的一对有理数a,b为“有趣数对”,记为,例如数对,,都是“有趣数对”,请回答下列问题:(1)数对是“有趣数对”吗?试说明理由.(2)若是“有趣数对”,求的值.【答案】(1)解:∵,,,∴数对不是“有趣数对”;(2)解:∵是“有趣数对”,∴,整理得:,∴,∴.【知识点】整式的加减运算;有理数的减法法则;有理数的乘法法则;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)根据题目所给“有趣数对”的定义,结合等式成立的一对有理数a,b为“有趣数对”进行分析判断,即可解答;(2)根据“有趣数对”的定义,得出,将整体代入,即可解答.二、代数式12.(2024七上·惠阳期末)一般情况下不成立,但有些数可以使得它成立,例如a=b=0.我们称使得成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b).(1)若(1,b)是“相伴数对”,求b的值.(2)若(m,n)是“相伴数对”,求整式26m+4n-2(4m-2n)+5的值.【答案】(1)解:将a=1,代入中,得,化简求得b=-.(2)解:将a=m,b=n,代入中,得9m+4n=0.26m+4n-2(4m-2n)+5=26m+4n-8m+4n+5=18m+8n+5=2(9m+4n)+5=0+5=5.【知识点】解一元一次方程;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)将a=1代入,可得,再求出b的值即可;(2)将a=m,b=n,代入中,得9m+4n=0,再将其代入26m+4n-2(4m-2n)+5=2(9m+4n)+5计算即可.13.(2024七上·怀集期末)对于两个有理数m,n,定义一种新的运算“@”如下:.根据以上规定解答下列各题:(1)计算:的值;(2)若,求的值.【答案】(1)解:由新定义运算可得:(2)解:由新定义可得:由可得将代入可得,原式.【知识点】定义新运算;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)根据新定义把m=4,n=-3代入计算即可求解;(2)根据新定义把m=x-y,n=x+y代入计算整理,由已知的等式可得x+2y=3,然后整体代换计算即可求解.14.(2023七上·澄海期末)一般情况下不成立,但有些数可以使得它成立,例如:等,我们称使得成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b)(1)若是“相伴数对”,求b的值;(2)写两个“相伴数对”,其中,且;(3)若是“相伴数对”,求代数式的值.【答案】(1)解:∵是“相伴数对”,∴,解得:,∴b的值为(2)解:,(答案不唯一).(3)解:∵是“相伴数对”,∴,即,整理得:,∴【知识点】解一元一次方程;定义新运算;利用整式的加减运算化简求值;求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解:(2)设(2,a),(3,b)是“相伴数对”,∴,,解得:,;也可以是其他的数.故答案为:,等【分析】(1)根据定义把(1,b)代入等式求解即可;(2)相伴数对满足 ,其中一个数设为已知的数,代入等式求出另外一个未知数即可.(3)根据等式求出“相伴数对”的两个数的数量关系,然后化简整式代入求值.15.(2024七上·普宁期末)定义一种新的运算,观察下列各式:,,,.(1)根据你观察到的规律,计算;(2)请你用代数式表示的结果;(3)若,请计算的值.【答案】(1)解:;(2)解:;(3)解:,,即,,.【知识点】利用整式的加减运算化简求值;求代数式的值-整体代入求值【解析】【分析】(1)根据题干中的定义及计算方法分析求解即可;(2)利用题干中的定义及计算方法分析求解即可;(3)先利用题干中的定义及计算方法求出,再求出,最后将代入计算即可.16.(2024七上·湛江期末)阅读下面方框内的材料,解答相应的问题:对称式: 一个含有多个字母的式子中,任意交换两个字母的位置,当字母的取值均不相等,且都不为时,式子的值都不变,这样的式子叫做对称式例如:式子中任意两个字母交换位置,可得到式子,,,因为,所以是对称式而式子中字母,交换位置,得到式子,因为,所以不是对称式.问题:(1)给出下列式子:,,,,其中是对称式的是______填序号即可;(2)写出一个系数为,只含有字母,且次数为的单项式,使该单项式是对称式;写出一个只含有字母,的三次三项式,使该多项式是对称式;(3)已知,,求,并直接判断所得结果是否是对称式.【答案】(1)(2)解:①根据题意可写出对称式为:;根据对称式定义和题目上的条件,写出对称式为:,(3)解:;根据对称式的定义,可知不是对称式.【知识点】整式的加减运算;去括号法则及应用;单项式的次数与系数;多项式的项、系数与次数【解析】【解答】解:(1)根据对称式的定义:,故是对称式;,故不是对称式;,故是对称式.故答案为:;【分析】(1)根据对称式定义,结合,,,, 逐项分享判断,即可求解;(2)①根据对称式定义和题目上的条件,写出对称式,即可得到答案;根据对称式定义和题目上的条件,写出对称式,即可得到答案;(3)根据整式的运算法则,去括号,合并同类项,化简得到,结合对称式定义,进行验证,即可得到答案.17.(2024七上·茂名期末)用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定,如:.(1)求的值;(2)若,求a的值;(3)若,(其中x为有理数),试比较与n的大小.【答案】(1)解:由题意得;(2)解:由题意得,,∴,解得:(3)解:根据题意得:,即,,即∴,∴【知识点】整式的加减运算;解一元一次方程;定义新运算【解析】【分析】(1)根据新定义代入求值即可;(2)根据新定义代入,得关于a的一元一次方程,求解即可;(3)根据新定义代入分别表示出m和n,再对4m和n作差比较即可.18.(2024七上·阳春期末)综合探究:整体思想是一种重要的数学思想方法,其思维方式是根据问题的结构特征,把一组数,一个代数式或几个图形视为一个整体,去观察,分析,解决问题的一种方法.这样做,不仅简化解题过程,提高思维能力,还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题.如:代数式的化简问题.若把看成一个整体,则:.这就是数学解题中的“整体思想”.请运用上面的“整体思想”解决下列问题:(1)尝试应用:化简(2)拓展运用:如图1,点O是线段上一点,C、D分别是线段的中点,当时,求线段的长度.(3)迁移运用:如图2,长方形纸片,点E,F分别是边上任意一点,连接.将对折,点B落在直线上的点处,得折痕;将对折,点A落在直线上的点处,得折痕,的度数会随着折痕的变化而变化吗?说明你的理由.【答案】(1)解:;(2)解:因为分别是线段的中点,所以.所以.因为,所以;(3)解:由折叠的性质可知平分平分故不会发生变化.【知识点】整式的加减运算;角的运算;线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算;角平分线的概念;整体思想【解析】【分析】(1)将(x+y)当作整体,再利用合并同类项的计算方法分析求解即可;(2)先利用线段中点的性质,再利用线段的和差及等量代换可得;(3)先利用角平分线的定义可得,再利用角的运算和等量代换可得.三、一元一次方程19.(2024七上·电白期末)定义:若,则称与是关于的关联数.例如:若,则称与是关于2的关联数;若与是关于4的关联数,则的值是( )A.0 B.1 C.8 D.2【答案】A【知识点】解一元一次方程;列一元一次方程【解析】【解答】解:∵2x 1与3x 5是关于4的关联数,∴(2x 1) (3x 5)=4,去括号,得2x 1 3x+5=4,移项,得2x 3x=4+1 5,合并同类项,得 x=0,系数化成1,得x=0.故答案为:A.【分析】根据“关联数”的定义可得(2x 1) (3x 5)=4,再利用解一元一次方程的计算方法及步骤(先去括号,再移项并合并同类项,最后系数化为“1”即可)分析求解即可.20.(2024七上·深圳期末)定义:如果两个一元一次方程的解之和为,我们就称这两个方程互为“阳光方程”例如:的解为,的解为,所以这两个方程互为“阳光方程”.(1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”,则 .(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”,且这两个“阳光方程”的解的差为若其中一个方程的解为,求的值.(3)已知关于的一元一次方程的解是,请写出解是的关于的一元一次方程:只需要补充含有的代数式.若关于的一元一次方程和互为“阳光方程”,则关于的一元一次方程的解为 .【答案】(1)(2)解:“阳光方程”的一个解为,则另一个解为x=,这两个“阳光方程”的解的差为5,则或,解得或.故的值为或(3)解:①y+1;-y-1;②y=-2024【知识点】定义新运算;解含括号的一元一次方程;解含分数系数的一元一次方程【解析】【解答】解:(1)解x+2m=0得x=-2m.解3x-2=-x得.因为一元一次方程x+2m=0和3x-2=-x是"阳光方程",所以解得:故答案为:.(3)①:关于x的一元一次方程的解为x=2024,那么只有是这个形式的方程,解都不变.所以令x=y+1,则方程的解满足,解为.方程可变形为:,故答案为:y+1;-y-1.②:解得x=2023.∵一元一次方程和互为阳光方程,∴一元一次方程的解为x=1-2023,即x=-2022.∵∴∴y+2=-2022,∴y=-2024.故答案为:y=-2024.【分析】(1)根据题意分别求出两个方程的解,再建立关于m的方程求解即可;(2)根据题意把另外一个解设为1-k,建立关于k的方程求解;(3)①将未知方程变形成的同解方程,即可解决问题;②先求解方程,可得到此方程的解,再根据"阳光方程"的定义得到方程的解,观察发现变形后就是的同解方程,可得到关于y的方程,解方程求出y的值.21.(2024七上·海珠期末)定义:关于x的方程与方程(a,b均为不等于0的常数)称互为“反对方程”,例如:方程与方程互为“反对方程”.(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”,则 .(2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数,求整数d的值.(3)已知关于x的一元一次方程的解为,那么关于y的一元一次方程的解为 .(请直接写出答案)【答案】(1)2(2)解:关于x的方程2x 3=d的解为:x=,将2x 3=d整理,得2x (d+3)=0,其“反对方程”为(d+3)x 2=0,解得:x=,∵和都是整数,∴d+3=±2,解得:d= 1或 5.(3)【知识点】一元一次方程的解;解一元一次方程【解析】【解答】解:(1)∵关于x的方程2x 3=0的“反对方程”为3x 2=0,∴3x 2=3x c,∴c=2,故答案为:2.(3)整理x+5=7x+m,得x+(5 m)=0,将x=代入,得+2(m 5)=0①;整理(m 5)(y+2)+7=,得( 7) (m 5)(y+2)=0②;比对①和②,得 (y+2)=2,解得:y= 4,故答案为:y= 4.【分析】(1)根据“反对方程”的定义可得3x 2=3x c,再求出c的值即可;(2)先分别求出原方程和“反对方程”的解,再结合“和都是整数”可得d+3=±2,再求出d的值即可;(3)把第一个方程整理成一元一次方程的一般形式,将x=代入并去分母;将第二个方程整理成与前者相同的形式,对比系数可以得到关于y的一元一次方程,求出y的值即可.22.(2024七上·潮南期末)定义:如果两个一元一次方程的解的和为1,我们就称这两个方程为“集团方程”,例如:方程和为“集团方程”.(1)若关于x的方程与方程是“集团方程”,求m的值;(2)若“集团方程”的两个解的差为6,其中一个较大的解为n,求n的值;(3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”,求关于y的一元一次方程的解.【答案】(1)解:∵,∴.∵,∴.∵关于x的方程与方程是“集团方程”,∴,∴;(2)解:∵“集团方程”的两个解和为1,∴另一个方程的解是,∵两个解的差是6,且n为较大的解,∴,∴.(3)解:∵,∴.∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”,∴关于x的一元一次方程的解为:.∵关于y的一元一次方程可化为:,令,∴.【知识点】一元一次方程的解;解含分数系数的一元一次方程;已知一元一次方程的解求参数【解析】【分析】(1)先分别求出两个方程的解,再结合“集团方程”的定义可得, 再求出m的值即可;(2)根据“ 两个解的差是6,且n为较大的解 ”可得, 再求出n的值即可;(3)先求出,再结合“集团方程”的定义可得可化为:, 再, 求出y的值即可.四、几何图形初步23.(2024七上·江海期末)新定义:如果的内部有一条射线将分成的两个角,其中一个角是另一个角的n倍,那么我们称射线为的n倍分线,例如,如图1,,则为的4倍分线.,则也是的4倍分线.(1)应用:若,为的二倍分线,且则 °;(2)如图2,点A,O,B在同一条直线上为直线上方的一条射线.①若,分别为和的三倍分线,(,)已知,,则_▲_°;②在①的条件下,若,的度数是否发生变化?若不发生变化,请写出计算过程;若发生变化,请说明理由.③如图3,已知,且,所在射线恰好是分别为和的三倍分线,请直接写出的度数.【答案】(1)40(2)135.②不变,∵,分别为和的三倍分线,,,∴,,∴,,,,,;③解:设,∵,∴,∵,所在射线恰好是分别为和的三倍分线,∴,,∵,∴,∴,∴,,∴.【知识点】角的运算;定义新运算;一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解:(1)根据题意可得,∠BOP=2∠POA;∵∠BOP+∠POA=60°∴3∠POA=60°,解得∠POA=20°;∴∠BOP=40°故答案为:40.(2)解:①∵,分别为和的三倍分线(,),∴,,∵,∴,∴,,∴,,∴故答案为:135【分析】(1)根据定义,可得∠BOP和∠POA的倍数关系,根据角的和差性质即可求解;(2)①根据定义可得相应角的倍数关系,进而求出相应角的度数;根据角的和差性质即可求解;②根据定义可得相应角的倍数关系,列代数式,根据平角的性质即可求解;③设未知数,用未知数表示相应角的度数,根据平角的性质,列一元一次方程即可求解.1 / 1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 新定义型—广东省(人教版)数学七(上)期末复习(学生版).docx 新定义型—广东省(人教版)数学七(上)期末复习(教师版).docx