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新定义型—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、有理数
1．（2024七上·湛江期末）有一种新运算，规定了，小王按规定的法则计算结果是正确的．请你计算　 　．
2．（2024七上·广州月考）我们记一对有理数a，b为数对．如果数对使等式成立，则称之为“有趣数对”．
（1）如果数对是“有趣数对”，那么是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对是“有趣数对”，求的值；
（3）如果a和b互为相反数，那么是“有趣数对”吗？请说明理由．
3．（2024七上·龙岗期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则和关于的“美好关联数”为．
（1）和关于的“美好关联数”为　 　；、
（2）若和关于的“美好关联数”为，求的值；
（3）若和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，，和关于的“美好关联数”为，．
的最小值为　 　；
的最小值为　 　．
4．（2024七上·濠江期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
（1）【概念理解】直接写出结果：　 　．
（2）关于除方，下列说法正确的是：　 　（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
　 　；　 　．
（4）计算：．
5．（2024七上·广州期末）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
，，．
请你想一想：
（1）　 　，　 　；
（2）已知，求m的值；
（3）判断与的大小关系，并说明理由．
6．（2024七上·南沙期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定．
（1）根据除方的定义，可记作　 　；
（2）直接写出计算结果：　 　；
（3）计算：；
（4）对于有理数时， 　 　．
7．（2024七上·龙湖期末）我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是=ad-bc，例如．
（1）请你依此法则计算二阶行列式．
（2）请化简二阶行列式，并求当x＝4时二阶行列式的值．
8．（2024七上·金平期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数为“友好数对”，记为，例如数对，，都是“友好数对”，请回答下列问题：
（1）数对是“友好数对”吗？试说明理由，
（2）若数对是“友好数对”，求的值，
（3）若数对是“友好数对”，求的值．
9．（2023七上·澄海期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
（1）求的值
（2）若，求的值；
10．（2024七上·福田期末）对正整数a，b规定运算★如下：，则　 　．
11．（2024七上·罗定期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题：
（1）数对是“有趣数对”吗？试说明理由．
（2）若是“有趣数对”，求的值．
二、代数式
12．（2024七上·惠阳期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如a=b=0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值.
（2）若（m，n）是“相伴数对”，求整式26m+4n-2（4m-2n）+5的值．
13．（2024七上·怀集期末）对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“@”如下：．根据以上规定解答下列各题：
（1）计算：的值；
（2）若，求的值．
14．（2023七上·澄海期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：等，我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）
（1）若是“相伴数对”，求b的值；
（2）写两个“相伴数对”，其中，且；
（3）若是“相伴数对”，求代数式的值．
15．（2024七上·普宁期末）定义一种新的运算，观察下列各式：
，，，．
（1）根据你观察到的规律，计算；
（2）请你用代数式表示的结果；
（3）若，请计算的值．
16．（2024七上·湛江期末）阅读下面方框内的材料，解答相应的问题：
对称式： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式．
问题：
（1）给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可；
（2）写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式；
写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式；
（3）已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式．
17．（2024七上·茂名期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
（1）求的值；
（2）若，求a的值；
（3）若，（其中x为有理数），试比较与n的大小．
18．（2024七上·阳春期末）综合探究：
整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题．
如：代数式的化简问题．若把看成一个整体，
则：．
这就是数学解题中的“整体思想”．
请运用上面的“整体思想”解决下列问题：
（1）尝试应用：化简
（2）拓展运用：如图1，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．
（3）迁移运用：如图2，长方形纸片，点E，F分别是边上任意一点，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由．
三、一元一次方程
19．（2024七上·电白期末）定义：若，则称与是关于的关联数.例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．8 D．2
20．（2024七上·深圳期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“阳光方程”例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则　 　．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为若其中一个方程的解为，求的值．
（3）已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：只需要补充含有的代数式．
若关于的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于的一元一次方程的解为 ．
21．（2024七上·海珠期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则　 　．
（2）若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值．
（3）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为　 　．（请直接写出答案）
22．（2024七上·潮南期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”．
（1）若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值；
（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．
四、几何图形初步
23．（2024七上·江海期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线．
（1）应用：若，为的二倍分线，且则　 　°；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上为直线上方的一条射线．
①若，分别为和的三倍分线，（，）已知，，则_▲_°；
②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】22
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据新定义运算： ，
可得：
故答案为：22．
【分析】本题考查了新定义运算下的有理数四则混合运算，根据定义的新定义，将对应位置的数字代入，集合有理数的运算法则，进行计算，即可求解．
2．【答案】（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边，
∴是“有趣数对”.
（2）解：根据题意得，
解得
∴，，
∴.
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“有趣数对”的定义可得，求出m的值，再证明即可；
（2）利用“有趣数对”的定义可得，再求出x的值，最后求出即可；
（3）先利用相反数的定义可得，且，再求出，再根据“有趣数对”的定义分析求解即可.
（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边
所以是“有趣数对”；
（2）解：依题意得，
解得
∴，，
∴；
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
3．【答案】（1）8
（2）解：因为和关于的“美好关联数”为，
所以，
所以，
解得或；
（3）1；820
【知识点】定义新运算；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）-3和5关于2的“美好关联数”为|-3-2|+|5-2|=5+3=8.
故答案为：8.
（3）①∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x0-1|+|x1-1|=1，
在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，
∴x0+x1有最小值，最小值为1；
②∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x1-2|+|x2-2|=1，
∵1≤x1≤2，2≤x2≤3，
∴x1+x2的最小值为1+2=3；
同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；
x5+x6的最小值为5+6=11；
x39+x40的最小值为39+40=79；
∴
∴的最小值为820.
故答案为：1，820.
【分析】（1）利用美好关联数”的定义，列式计算即可.
（2）利用美好关联数”的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（3）①利用“美好关联数”的定义，结合已知条件可得到|x0-1|+|x1-1|=1，可推出在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，据此可得到x0+x1的最小值；②利用和关于的“美好关联数”为，可得到|x1-2|+|x2-2|=1，利用1≤x1≤2，2≤x2≤3，可得到x1+x2的最小值为1+2=3；同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；x5+x6的最小值为5+6=11；根据其规律可得到x39+x40的最小值为39+40=79；然后列式计算求出的最小值.
4．【答案】（1）-1
（2）①④
（3）；
（4）解：
=
=
=
=
=
=．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
5．【答案】（1）23；
（2）解：，
，
∴，
解得：；
（3）解：，，
∴，
当时，，，
当时，，，
当时，，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）5×3+8=23；；
故答案为：23； .
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法可得，再求出m的值即可；
（3）利用作差法可得，再分类讨论即可.
6．【答案】（1）
（2）1
（3）解：；
（4）
【知识点】乘方的相关概念；有理数的减法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：记作，
故答案为：；
（2）根据题意可得：2023÷2023=1，
故答案为；1；
（4）a ＝a÷a÷a÷…÷a＝a×××……×=，
故答案为： .
【分析】（1）根据题干中的定义分析求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（3）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（4）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.
7．【答案】（1）解：
＝3×3﹣（﹣2）×4
＝9+8
＝17；
（2）解：
＝（2x﹣3）×4﹣（x+2）×2
＝8x﹣12﹣2x﹣4
＝6x﹣16，
当x＝4时，6x﹣16＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法列出算式可得6x﹣16，再将x=4代入计算即可.
8．【答案】（1）解：数对是“友好数对”，理由如下：
∵，
∴，
∴数对是“友好数对”；
（2）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
解得；
（3）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次方程；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“友好数对”的定义分析求解即可；
（2）利用“友好数对”的定义可得，再求出a的值即可；
（3）利用“友好数对”的定义可得，求出，再将其代入计算即可.
9．【答案】（1）解：
（2）解：依题意得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴a的值为
【知识点】解一元一次方程；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）按照新运算的法则代入计算即可.注意位置不能代反.
（2）根据新运算法则进行换算，得到关于a的方程，再求解方程即可.
10．【答案】2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：2．
【分析】本题考查了新定义的运算，以及有理数的四则混合运算，根据规定的新运算进行转化，结合有理数的乘法与加法运算法则，即可求解．
11．【答案】（1）解：∵，，，∴数对不是“有趣数对”；
（2）解：∵是“有趣数对”，∴，
整理得：，
∴，
∴．
【知识点】整式的加减运算；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据题目所给“有趣数对”的定义，结合等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”进行分析判断，即可解答；
（2）根据“有趣数对”的定义，得出，将整体代入，即可解答．
12．【答案】（1）解：将a=1，代入中，得，化简求得b=-.
（2）解：将a=m，b=n，代入中，得9m+4n=0.
26m+4n-2（4m-2n）+5=26m+4n-8m+4n+5=18m+8n+5=2（9m+4n）+5=0+5=5.
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）将a=1代入，可得，再求出b的值即可；
（2）将a=m，b=n，代入中，得9m+4n=0，再将其代入26m+4n-2（4m-2n）+5=2（9m+4n）+5计算即可.
13．【答案】（1）解：由新定义运算可得：
（2）解：由新定义可得：
由可得
将代入可得，
原式．
【知识点】定义新运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据新定义把m=4，n=-3代入计算即可求解；
（2）根据新定义把m=x-y，n=x+y代入计算整理，由已知的等式可得x+2y=3，然后整体代换计算即可求解.
14．【答案】（1）解：∵是“相伴数对”，
∴，
解得：，
∴b的值为
（2）解：，（答案不唯一）.
（3）解：∵是“相伴数对”，
∴，即，
整理得：，
∴
【知识点】解一元一次方程；定义新运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（2）设（2，a），（3，b）是“相伴数对”，
∴，，
解得：，；
也可以是其他的数.
故答案为：，等
【分析】（1）根据定义把（1，b）代入等式求解即可；
（2）相伴数对满足 ，其中一个数设为已知的数，代入等式求出另外一个未知数即可.
（3）根据等式求出“相伴数对”的两个数的数量关系，然后化简整式代入求值.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
，即，
，
．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先利用题干中的定义及计算方法求出，再求出，最后将代入计算即可.
16．【答案】（1）
（2）解：①根据题意可写出对称式为：；
根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式为：，
（3）解：
；
根据对称式的定义，可知不是对称式．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（1）根据对称式的定义：，故是对称式；，故不是对称式；，故是对称式．
故答案为：；
【分析】（1）根据对称式定义，结合，，，， 逐项分享判断，即可求解；
（2）①根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式，即可得到答案；
根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式，即可得到答案；
（3）根据整式的运算法则，去括号，合并同类项，化简得到，结合对称式定义，进行验证，即可得到答案．
17．【答案】（1）解：由题意得
；
（2）解：由题意得，，
∴，
解得：
（3）解：根据题意得：，即，
，即
∴，
∴
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义代入求值即可；
（2）根据新定义代入，得关于a的一元一次方程，求解即可；
（3）根据新定义代入分别表示出m和n，再对4m和n作差比较即可.
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：因为分别是线段的中点，
所以．
所以．
因为，所以；
（3）解：由折叠的性质可知平分平分
故不会发生变化．
【知识点】整式的加减运算；角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；整体思想
【解析】【分析】（1）将（x+y）当作整体，再利用合并同类项的计算方法分析求解即可；
（2）先利用线段中点的性质，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得.
19．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x 1与3x 5是关于4的关联数，
∴（2x 1） （3x 5）＝4，
去括号，得2x 1 3x＋5＝4，
移项，得2x 3x＝4＋1 5，
合并同类项，得 x＝0，
系数化成1，得x＝0．
故答案为：A．
【分析】根据“关联数”的定义可得（2x 1） （3x 5）＝4，再利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
20．【答案】（1）
（2）解：“阳光方程”的一个解为，则另一个解为x=，
这两个“阳光方程”的解的差为5，
则或，
解得或．
故的值为或
（3）解：①y+1；-y-1；
②y=-2024
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）解x+2m=0得x=-2m.
解3x-2=-x得.
因为一元一次方程x+2m=0和3x-2=-x是"阳光方程"，
所以
解得：
故答案为：.
（3）①：关于x的一元一次方程的解为x=2024，那么只有是这个形式的方程，解都不变.所以令x=y+1，则方程的解满足，解为.
方程可变形为：，
故答案为：y+1；-y-1.
②：解得x=2023.
∵一元一次方程和互为阳光方程，
∴一元一次方程的解为x=1-2023，即x=-2022.
∵
∴
∴y+2=-2022，
∴y=-2024.
故答案为：y=-2024.
【分析】（1）根据题意分别求出两个方程的解，再建立关于m的方程求解即可；
（2）根据题意把另外一个解设为1-k，建立关于k的方程求解；
（3）①将未知方程变形成的同解方程，即可解决问题；
②先求解方程，可得到此方程的解，再根据"阳光方程"的定义得到方程的解，观察发现变形后就是的同解方程，可得到关于y的方程，解方程求出y的值.
21．【答案】（1）2
（2）解：关于x的方程2x 3＝d的解为：x=，
将2x 3＝d整理，得2x （d＋3）＝0，
其“反对方程”为（d＋3）x 2＝0，
解得：x=，
∵和都是整数，
∴d＋3＝±2，
解得：d＝ 1或 5．
（3）
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵关于x的方程2x 3＝0的“反对方程”为3x 2＝0，
∴3x 2＝3x c，
∴c＝2，
故答案为：2．
（3）整理x＋5＝7x＋m，得x＋（5 m）＝0，
将x=代入，得＋2（m 5）＝0①；
整理（m 5）（y＋2）＋7＝，
得（ 7） （m 5）（y＋2）＝0②；
比对①和②，得 （y＋2）＝2，
解得：y＝ 4，
故答案为：y＝ 4．
【分析】（1）根据“反对方程”的定义可得3x 2＝3x c，再求出c的值即可；
（2）先分别求出原方程和“反对方程”的解，再结合“和都是整数”可得d＋3＝±2，再求出d的值即可；
（3）把第一个方程整理成一元一次方程的一般形式，将x=代入并去分母；将第二个方程整理成与前者相同的形式，对比系数可以得到关于y的一元一次方程，求出y的值即可．
22．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵关于x的方程与方程是“集团方程”，
∴，
∴；
（2）解：∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：．
∵关于y的一元一次方程可化为：，令，
∴．
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再结合“集团方程”的定义可得， 再求出m的值即可；
（2）根据“ 两个解的差是6，且n为较大的解 ”可得， 再求出n的值即可；
（3）先求出，再结合“集团方程”的定义可得可化为：， 再， 求出y的值即可.
23．【答案】（1）40
（2）135.
②不变，
∵，分别为和的三倍分线，，，
∴，，
∴，
，
，
，
，
；
③解：设，
∵，
∴，
∵，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】角的运算；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，∠BOP=2∠POA；
∵∠BOP+∠POA=60°
∴3∠POA=60°，解得∠POA=20°；
∴∠BOP=40°
故答案为：40.
（2）解：①∵，分别为和的三倍分线（，），∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴
故答案为：135
【分析】（1）根据定义，可得∠BOP和∠POA的倍数关系，根据角的和差性质即可求解；
（2）①根据定义可得相应角的倍数关系，进而求出相应角的度数；根据角的和差性质即可求解；
②根据定义可得相应角的倍数关系，列代数式，根据平角的性质即可求解；
③设未知数，用未知数表示相应角的度数，根据平角的性质，列一元一次方程即可求解.
1 / 1新定义型—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、有理数
1．（2024七上·湛江期末）有一种新运算，规定了，小王按规定的法则计算结果是正确的．请你计算　 　．
【答案】22
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据新定义运算： ，
可得：
故答案为：22．
【分析】本题考查了新定义运算下的有理数四则混合运算，根据定义的新定义，将对应位置的数字代入，集合有理数的运算法则，进行计算，即可求解．
2．（2024七上·广州月考）我们记一对有理数a，b为数对．如果数对使等式成立，则称之为“有趣数对”．
（1）如果数对是“有趣数对”，那么是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对是“有趣数对”，求的值；
（3）如果a和b互为相反数，那么是“有趣数对”吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边，
∴是“有趣数对”.
（2）解：根据题意得，
解得
∴，，
∴.
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“有趣数对”的定义可得，求出m的值，再证明即可；
（2）利用“有趣数对”的定义可得，再求出x的值，最后求出即可；
（3）先利用相反数的定义可得，且，再求出，再根据“有趣数对”的定义分析求解即可.
（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边
所以是“有趣数对”；
（2）解：依题意得，
解得
∴，，
∴；
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
3．（2024七上·龙岗期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则和关于的“美好关联数”为．
（1）和关于的“美好关联数”为　 　；、
（2）若和关于的“美好关联数”为，求的值；
（3）若和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，，和关于的“美好关联数”为，．
的最小值为　 　；
的最小值为　 　．
【答案】（1）8
（2）解：因为和关于的“美好关联数”为，
所以，
所以，
解得或；
（3）1；820
【知识点】定义新运算；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）-3和5关于2的“美好关联数”为|-3-2|+|5-2|=5+3=8.
故答案为：8.
（3）①∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x0-1|+|x1-1|=1，
在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，
∴x0+x1有最小值，最小值为1；
②∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x1-2|+|x2-2|=1，
∵1≤x1≤2，2≤x2≤3，
∴x1+x2的最小值为1+2=3；
同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；
x5+x6的最小值为5+6=11；
x39+x40的最小值为39+40=79；
∴
∴的最小值为820.
故答案为：1，820.
【分析】（1）利用美好关联数”的定义，列式计算即可.
（2）利用美好关联数”的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（3）①利用“美好关联数”的定义，结合已知条件可得到|x0-1|+|x1-1|=1，可推出在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，据此可得到x0+x1的最小值；②利用和关于的“美好关联数”为，可得到|x1-2|+|x2-2|=1，利用1≤x1≤2，2≤x2≤3，可得到x1+x2的最小值为1+2=3；同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；x5+x6的最小值为5+6=11；根据其规律可得到x39+x40的最小值为39+40=79；然后列式计算求出的最小值.
4．（2024七上·濠江期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
（1）【概念理解】直接写出结果：　 　．
（2）关于除方，下列说法正确的是：　 　（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
　 　；　 　．
（4）计算：．
【答案】（1）-1
（2）①④
（3）；
（4）解：
=
=
=
=
=
=．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
5．（2024七上·广州期末）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
，，．
请你想一想：
（1）　 　，　 　；
（2）已知，求m的值；
（3）判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）23；
（2）解：，
，
∴，
解得：；
（3）解：，，
∴，
当时，，，
当时，，，
当时，，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）5×3+8=23；；
故答案为：23； .
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法可得，再求出m的值即可；
（3）利用作差法可得，再分类讨论即可.
6．（2024七上·南沙期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定．
（1）根据除方的定义，可记作　 　；
（2）直接写出计算结果：　 　；
（3）计算：；
（4）对于有理数时， 　 　．
【答案】（1）
（2）1
（3）解：；
（4）
【知识点】乘方的相关概念；有理数的减法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：记作，
故答案为：；
（2）根据题意可得：2023÷2023=1，
故答案为；1；
（4）a ＝a÷a÷a÷…÷a＝a×××……×=，
故答案为： .
【分析】（1）根据题干中的定义分析求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（3）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（4）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.
7．（2024七上·龙湖期末）我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是=ad-bc，例如．
（1）请你依此法则计算二阶行列式．
（2）请化简二阶行列式，并求当x＝4时二阶行列式的值．
【答案】（1）解：
＝3×3﹣（﹣2）×4
＝9+8
＝17；
（2）解：
＝（2x﹣3）×4﹣（x+2）×2
＝8x﹣12﹣2x﹣4
＝6x﹣16，
当x＝4时，6x﹣16＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法列出算式可得6x﹣16，再将x=4代入计算即可.
8．（2024七上·金平期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数为“友好数对”，记为，例如数对，，都是“友好数对”，请回答下列问题：
（1）数对是“友好数对”吗？试说明理由，
（2）若数对是“友好数对”，求的值，
（3）若数对是“友好数对”，求的值．
【答案】（1）解：数对是“友好数对”，理由如下：
∵，
∴，
∴数对是“友好数对”；
（2）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
解得；
（3）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次方程；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“友好数对”的定义分析求解即可；
（2）利用“友好数对”的定义可得，再求出a的值即可；
（3）利用“友好数对”的定义可得，求出，再将其代入计算即可.
9．（2023七上·澄海期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
（1）求的值
（2）若，求的值；
【答案】（1）解：
（2）解：依题意得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴a的值为
【知识点】解一元一次方程；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）按照新运算的法则代入计算即可.注意位置不能代反.
（2）根据新运算法则进行换算，得到关于a的方程，再求解方程即可.
10．（2024七上·福田期末）对正整数a，b规定运算★如下：，则　 　．
【答案】2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：2．
【分析】本题考查了新定义的运算，以及有理数的四则混合运算，根据规定的新运算进行转化，结合有理数的乘法与加法运算法则，即可求解．
11．（2024七上·罗定期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题：
（1）数对是“有趣数对”吗？试说明理由．
（2）若是“有趣数对”，求的值．
【答案】（1）解：∵，，，∴数对不是“有趣数对”；
（2）解：∵是“有趣数对”，∴，
整理得：，
∴，
∴．
【知识点】整式的加减运算；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据题目所给“有趣数对”的定义，结合等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”进行分析判断，即可解答；
（2）根据“有趣数对”的定义，得出，将整体代入，即可解答．
二、代数式
12．（2024七上·惠阳期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如a=b=0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值.
（2）若（m，n）是“相伴数对”，求整式26m+4n-2（4m-2n）+5的值．
【答案】（1）解：将a=1，代入中，得，化简求得b=-.
（2）解：将a=m，b=n，代入中，得9m+4n=0.
26m+4n-2（4m-2n）+5=26m+4n-8m+4n+5=18m+8n+5=2（9m+4n）+5=0+5=5.
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）将a=1代入，可得，再求出b的值即可；
（2）将a=m，b=n，代入中，得9m+4n=0，再将其代入26m+4n-2（4m-2n）+5=2（9m+4n）+5计算即可.
13．（2024七上·怀集期末）对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“@”如下：．根据以上规定解答下列各题：
（1）计算：的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由新定义运算可得：
（2）解：由新定义可得：
由可得
将代入可得，
原式．
【知识点】定义新运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据新定义把m=4，n=-3代入计算即可求解；
（2）根据新定义把m=x-y，n=x+y代入计算整理，由已知的等式可得x+2y=3，然后整体代换计算即可求解.
14．（2023七上·澄海期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：等，我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）
（1）若是“相伴数对”，求b的值；
（2）写两个“相伴数对”，其中，且；
（3）若是“相伴数对”，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵是“相伴数对”，
∴，
解得：，
∴b的值为
（2）解：，（答案不唯一）.
（3）解：∵是“相伴数对”，
∴，即，
整理得：，
∴
【知识点】解一元一次方程；定义新运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（2）设（2，a），（3，b）是“相伴数对”，
∴，，
解得：，；
也可以是其他的数.
故答案为：，等
【分析】（1）根据定义把（1，b）代入等式求解即可；
（2）相伴数对满足 ，其中一个数设为已知的数，代入等式求出另外一个未知数即可.
（3）根据等式求出“相伴数对”的两个数的数量关系，然后化简整式代入求值.
15．（2024七上·普宁期末）定义一种新的运算，观察下列各式：
，，，．
（1）根据你观察到的规律，计算；
（2）请你用代数式表示的结果；
（3）若，请计算的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
，即，
，
．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先利用题干中的定义及计算方法求出，再求出，最后将代入计算即可.
16．（2024七上·湛江期末）阅读下面方框内的材料，解答相应的问题：
对称式： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式．
问题：
（1）给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可；
（2）写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式；
写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式；
（3）已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式．
【答案】（1）
（2）解：①根据题意可写出对称式为：；
根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式为：，
（3）解：
；
根据对称式的定义，可知不是对称式．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（1）根据对称式的定义：，故是对称式；，故不是对称式；，故是对称式．
故答案为：；
【分析】（1）根据对称式定义，结合，，，， 逐项分享判断，即可求解；
（2）①根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式，即可得到答案；
根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式，即可得到答案；
（3）根据整式的运算法则，去括号，合并同类项，化简得到，结合对称式定义，进行验证，即可得到答案．
17．（2024七上·茂名期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
（1）求的值；
（2）若，求a的值；
（3）若，（其中x为有理数），试比较与n的大小．
【答案】（1）解：由题意得
；
（2）解：由题意得，，
∴，
解得：
（3）解：根据题意得：，即，
，即
∴，
∴
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义代入求值即可；
（2）根据新定义代入，得关于a的一元一次方程，求解即可；
（3）根据新定义代入分别表示出m和n，再对4m和n作差比较即可.
18．（2024七上·阳春期末）综合探究：
整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题．
如：代数式的化简问题．若把看成一个整体，
则：．
这就是数学解题中的“整体思想”．
请运用上面的“整体思想”解决下列问题：
（1）尝试应用：化简
（2）拓展运用：如图1，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．
（3）迁移运用：如图2，长方形纸片，点E，F分别是边上任意一点，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由．
【答案】（1）解：
；
（2）解：因为分别是线段的中点，
所以．
所以．
因为，所以；
（3）解：由折叠的性质可知平分平分
故不会发生变化．
【知识点】整式的加减运算；角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；整体思想
【解析】【分析】（1）将（x+y）当作整体，再利用合并同类项的计算方法分析求解即可；
（2）先利用线段中点的性质，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得.
三、一元一次方程
19．（2024七上·电白期末）定义：若，则称与是关于的关联数.例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．8 D．2
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x 1与3x 5是关于4的关联数，
∴（2x 1） （3x 5）＝4，
去括号，得2x 1 3x＋5＝4，
移项，得2x 3x＝4＋1 5，
合并同类项，得 x＝0，
系数化成1，得x＝0．
故答案为：A．
【分析】根据“关联数”的定义可得（2x 1） （3x 5）＝4，再利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
20．（2024七上·深圳期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“阳光方程”例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则　 　．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为若其中一个方程的解为，求的值．
（3）已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：只需要补充含有的代数式．
若关于的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】（1）
（2）解：“阳光方程”的一个解为，则另一个解为x=，
这两个“阳光方程”的解的差为5，
则或，
解得或．
故的值为或
（3）解：①y+1；-y-1；
②y=-2024
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）解x+2m=0得x=-2m.
解3x-2=-x得.
因为一元一次方程x+2m=0和3x-2=-x是"阳光方程"，
所以
解得：
故答案为：.
（3）①：关于x的一元一次方程的解为x=2024，那么只有是这个形式的方程，解都不变.所以令x=y+1，则方程的解满足，解为.
方程可变形为：，
故答案为：y+1；-y-1.
②：解得x=2023.
∵一元一次方程和互为阳光方程，
∴一元一次方程的解为x=1-2023，即x=-2022.
∵
∴
∴y+2=-2022，
∴y=-2024.
故答案为：y=-2024.
【分析】（1）根据题意分别求出两个方程的解，再建立关于m的方程求解即可；
（2）根据题意把另外一个解设为1-k，建立关于k的方程求解；
（3）①将未知方程变形成的同解方程，即可解决问题；
②先求解方程，可得到此方程的解，再根据"阳光方程"的定义得到方程的解，观察发现变形后就是的同解方程，可得到关于y的方程，解方程求出y的值.
21．（2024七上·海珠期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则　 　．
（2）若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值．
（3）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为　 　．（请直接写出答案）
【答案】（1）2
（2）解：关于x的方程2x 3＝d的解为：x=，
将2x 3＝d整理，得2x （d＋3）＝0，
其“反对方程”为（d＋3）x 2＝0，
解得：x=，
∵和都是整数，
∴d＋3＝±2，
解得：d＝ 1或 5．
（3）
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵关于x的方程2x 3＝0的“反对方程”为3x 2＝0，
∴3x 2＝3x c，
∴c＝2，
故答案为：2．
（3）整理x＋5＝7x＋m，得x＋（5 m）＝0，
将x=代入，得＋2（m 5）＝0①；
整理（m 5）（y＋2）＋7＝，
得（ 7） （m 5）（y＋2）＝0②；
比对①和②，得 （y＋2）＝2，
解得：y＝ 4，
故答案为：y＝ 4．
【分析】（1）根据“反对方程”的定义可得3x 2＝3x c，再求出c的值即可；
（2）先分别求出原方程和“反对方程”的解，再结合“和都是整数”可得d＋3＝±2，再求出d的值即可；
（3）把第一个方程整理成一元一次方程的一般形式，将x=代入并去分母；将第二个方程整理成与前者相同的形式，对比系数可以得到关于y的一元一次方程，求出y的值即可．
22．（2024七上·潮南期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”．
（1）若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值；
（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵关于x的方程与方程是“集团方程”，
∴，
∴；
（2）解：∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：．
∵关于y的一元一次方程可化为：，令，
∴．
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再结合“集团方程”的定义可得， 再求出m的值即可；
（2）根据“ 两个解的差是6，且n为较大的解 ”可得， 再求出n的值即可；
（3）先求出，再结合“集团方程”的定义可得可化为：， 再， 求出y的值即可.
四、几何图形初步
23．（2024七上·江海期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线．
（1）应用：若，为的二倍分线，且则　 　°；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上为直线上方的一条射线．
①若，分别为和的三倍分线，（，）已知，，则_▲_°；
②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数．
【答案】（1）40
（2）135.
②不变，
∵，分别为和的三倍分线，，，
∴，，
∴，
，
，
，
，
；
③解：设，
∵，
∴，
∵，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】角的运算；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，∠BOP=2∠POA；
∵∠BOP+∠POA=60°
∴3∠POA=60°，解得∠POA=20°；
∴∠BOP=40°
故答案为：40.
（2）解：①∵，分别为和的三倍分线（，），∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴
故答案为：135
【分析】（1）根据定义，可得∠BOP和∠POA的倍数关系，根据角的和差性质即可求解；
（2）①根据定义可得相应角的倍数关系，进而求出相应角的度数；根据角的和差性质即可求解；
②根据定义可得相应角的倍数关系，列代数式，根据平角的性质即可求解；
③设未知数，用未知数表示相应角的度数，根据平角的性质，列一元一次方程即可求解.
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