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2024-2025学年四川省成都市蓉城联盟高二上学期12月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
3.成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了名同学在某天校园跑的时长单位：分钟，得到统计数据如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.设，为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.不透明的口袋里有个白球，个红球，这个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取个球，则抽出的个球均为白球的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知圆，直线，若圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图，在平行六面体中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.设，为双曲线上的两点，线段的中点为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，，，，，则( )
A.
B. 点到直线的距离为
C.
D. 直线与平面所成角的正弦值为
10.已知事件，事件发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若事件与事件互斥，则
B. 若事件与事件相互独立，则
C. 若事件发生时事件一定发生，则
D. 若，则事件与事件相互独立
11.已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. B. 当时，
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设一组数据，，，的平均数为，则，，，的平均数为 ．
13.过，，三点的圆的标准方程为 ．
14.已知椭圆的上顶点为，，分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于，两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，年月日是第个“世界读书日”自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取人，将他们的竞赛成绩分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到如图所示的频率分布直方图．
求这名学生成绩的众数和平均数取各组区间中间值计算
已知成绩落在的学生平均成绩为，方差为，落在的学生平均成绩为，方差为，求这两组成绩的总体平均数和总体方差．
16.本小题分
已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，．
当点的横坐标为时，求切线的方程
当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值．
17.本小题分
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲．
求第次投篮者为乙的概率
求前次投篮中甲投篮次数不少于次的概率．
18.本小题分
在平行四边形中如图，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且如图
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值
点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
一动圆与圆外切，与圆内切．
设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程
若点，，是直线上的动点，直线，与曲线分别交于，两点，证明：直线过定点
设和的面积分别为和，求的最大值．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：易知众数为，平均数为；
总体平均数，
总体方差．
16.解：圆的圆心为，半径为，
因为是直线上的一动点，
则当点的横坐标为时，点坐标为，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，
此时切线方程为，即，
综上，所求的切线方程为或；
由题意知，
，
则要使四边形面积的最小值，只需的值最小，
因为点在直线上，
所以的最小值为圆心到直线的距离，
所以，
所以四边形面积的最小值为．
17.解：解：设事件“甲第次投篮投进”，事件乙第次投篮投进”，
事件“第三次投篮者为乙”，
根据题意可知，，与互斥，
设事件“前次投篮中甲投篮次数不少于次”，根据题意可知：，
事件，，，互斥，且每次投篮的结果相互独立，
．

18.证明：连接，在中，
，，
，
在中，，，
同理可得：，
，
平面．
解：设为的中点，，
平面，平面，
平面平面，
又平面平面，平面，
平面，
以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，，，
设平面的法向量为，
，，
取，，
设直线与平面所成角为，
，
．
设，，，
设点到平面的距离为，
，，
是线段上靠近点的三等分点，
易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，，
取，，
设平面与平面所成的角为，
，
．
19.解：设动圆的半径为，圆心的坐标为．
由题意可知：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．
则圆内含于圆，
动圆与圆内切，且与圆外切，
动圆的圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设其方程为：，其中，，，，
从而轨迹的方程为：；
证明：设，，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立方程消去得，
由根与系数的关系可得，即，
则，
故点，
联立方程可得．
由根与系数的关系可得，即，
则，
故点，
当即时，轴，此时过点，
当，时，，
所以直线的方程为，即，
故直线过定点，
综上直线过定点，
解：由知，直线过定点，则，
由知，
又，当时取等号，
函数在单调递增，
所以，
则，
所以的最大值为．
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