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(共74张PPT)
第七章
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7.4
数学建模活动：周期现象的描述
1.能利用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型.
学习目标
现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题.
导 语
一、三角函数模型在物理学中的应用
二、三角函数模型在生活中的应用
课时对点练
三、确定模型解决实际问题
随堂演练
内容索引
三角函数模型在物理学中的应用
一
1.单摆、弹簧等简谐振动模型
单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表
示时间，y表示位移，A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.
2.音叉发出的纯音振动模型
音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asin ωx，其中x表示时间，
y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表
示纯音振动的振幅(对应音强).
3.交变电流模型
交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表示时间，y表示
电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位.
4.潮汐现象模型
潮汐现象可以用函数y=Asin(ωx+φ)(x∈[0，+∞)，A>0，ω>0)来表示.
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移
s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin，t∈[0，+∞).用“五点法”
作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少？
例 1
列表如下：
2t+ 0 π 2π
t -
s=4sin 0 4 0 -4 0
描点、连线，图象如图所示.
将t=0代入s=4sin，得s=4sin=2，所以小球开始振动时的位
移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
处理物理学问题的策略
反
思
感
悟
已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象，根
据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式；
跟踪训练 1
由题图知A=300，设t1=，t2=，
则周期T=2(t2-t1)=2×=.
∴ω==150π.
又当t=时，I=0，即sin=0，
而|φ|<，∴φ=.
故所求的解析式为I=300sin，t≥0.
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)
都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
依题意得，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，
又ω∈N+，故所求最小正整数ω=943.
二
三角函数模型在生活中的应用
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
例 2
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象.
(1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式；
由表中数据可知，T=12，∴ω==.
又当t=0时，y=1.5，∴A+b=1.5；
当t=3时，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5=，
∴函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24).
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00到20∶00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行活动？
∵当y>1时，才对冲浪爱好者开放，
∴y=cost+1>1，
即cost>0(0≤t≤24)，
则-+2kπ解得12k-3又0≤t≤24，
∴0≤t<3或9∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即9解三角函数应用问题的基本步骤
反
思
感
悟
某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n月的从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数
f(n)=3 000cos+4 000来刻画(其中正整数n表示一年中的月份).当
该地区从事旅游服务工作人数在5 500或5 500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
跟踪训练 2
√
令3 000cos+4 000≥5 500，
则cos≥，
则-+2kπ≤+≤+2kπ，k∈Z，
解得-6+12k≤n≤-2+12k，k∈Z，
∵1≤n≤12，∴6≤n≤10，
∵n是正整数，
∴n=6，7，8，9，10，共5个.
确定模型解决实际问题
三
平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位：米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：
例 3
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)；
②y=Acos(ωt+φ)+b；③y=-Asin ωt+b(A>0，ω>0，-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
依题意，选②y=Acos(ωt+φ)+b作为函数模型，
∴A==，
b==，T=12，
∴ω==，
∴y=cos+，
又∵函数图象过点(3，2.4)，
即2.4=cos+，
∴cos=1，∴sin φ=-1，
又∵-π<φ<0，∴φ=-，
∴y=cos+=sint+ .
(2)为保证队员安全，规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
由(1)知，y=sint+，
令y≥1.05，即sint+≥1.05，
∴sint≥-，
∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z)，
∴12k-1≤t≤12k+7(k∈Z)，
又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全.
反
思
感
悟
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系
的一个三角函数式为　　　　　　.
跟踪训练 3
y=-4cos t
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
设y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0)，
则从表中数据可以得到A=4，ω===，
又由4sin φ=-4.0，得sin φ=-1，
取φ=-，则y=4sin，
即y=-4cos t.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
1.知识清单：
(1)三角函数模型在物理学及生活中的应用.
(2)根据确定的三角函数模型解决生活中的问题.
2.方法归纳：数形结合，数学建模.
3.常见误区：忽视实际生活中对三角函数的模型的限制.
随堂演练
四
1
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4
1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)
与时间t(s)满足函数关系式θ=sin，则当t=0时，角θ的大小及单摆
的频率是
A.， B.2，
C.，π D.2，π
√
当t=0时，θ=sin ==π，故单摆的频率为.
1
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2.已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相分别是
A.， B.，
C.， D.，
√
1
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4
由题意可知A=，32+=52，
则T=8，ω==，∴y=sin.
由图象过点sin φ=，∴sin φ=，
∵|φ|<，∴φ=.
3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动，已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1=5sin，s2=10cos 2t，当t=时，s1与s2的大小关系是
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定
1
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√
当t=时，s1=5sin=5sin =-5，s2=10cos=
10 cos=-5，所以s1=s2.
1
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4.设y=f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，下列是该港口某一天从0 h至24 h记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)
(t∈[0，24])的图象，最能近似表示数据间对应关系的是　　　　　　.
y=12+3sin t
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4
由图表可知，k=12，A=3，=3，
∴T=12，ω==，
又当t=0时，y=12，且点(0，12)在函数的单调递增区间上，
∴φ=2nπ，n∈Z，令n=0，得φ=0.
∴y=12+3sin t.
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
课时对点练
五
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C A C 25
题号 11 12 13 14　 　15
答案 C C 20.5 2 D
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(1)散点图如图所示.
9.
(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c，
由表知ymax=37.4，ymin=36.6，
则c==37，A==0.4，ω===.
由0.4sin+37=37.4，
得sin=1，
即+φ=2kπ+，k∈Z，
则φ=2kπ-，k∈Z，取φ=-，
故可用三角函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据.
答案
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10.
(1)因为x∈[4，16]，则x-∈.
由函数解析式易知，当x-=，即x=14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x-=-，即x=6时，函数取得最小值，
最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30-10=20(℃).
(2)令10sin+20=15，可得sin=-，
而x∈[4，16]，所以x-=-，即x=.
令10sin+20=25，可得sin=，
而x∈[4，16]，所以x-=即x=.
故该细菌在这段时间内能存活-=(小时).
答案
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(1)由题意知，A=40，h=50，T=3，
∴ω==；又f(0)=40sin φ+50=10，
即sin φ=-1，又|φ|≤，∴φ=-；
∴f(t)=40sin+50(t≥0)；
∴f(2 022)=40sin+50
=40sin+50=10，
即2 022分钟时，点P所在位置的高度为10 m.
(2)由(1)知，f(t)=40sin+50
=50-40cost(t≥0)；令f(t)>50+20，
答案
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∴-40cost>20，即cost<-，
解得+2kπ即3k+∵-=，
∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌.
答案
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基础巩固
1.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关
系为y=sin ωt，t∈[0，+∞).图2是该函数在一个周期内的图象，根据
图中数据可确定ω的值为
A.200 B.400
C.200π D.400π
√
由图象可得，T=4×==，则ω=400π.
答案
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=
3sin+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
A.5 B.6
C.8 D.10
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√
根据图象得函数的最小值为2，
有-3+k=2，解得k=5，故最大值为3+k=8.
答案
3.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大
√
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由图象易知振幅为5 cm，周期T=2×(0.7-0.3)=0.8 s，故A错误，B正确；在最高点时，速度为0，加速度最大，故C，D错误.
答案
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4.某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
√
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
答案
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因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，所以当x=1时，500sin(ω+φ)+9 500
=10 000；当x=2时，500sin(2ω+φ)+9 500=9 500，所以ω可取，φ可
取π，即y=500sin+9 500；当x=3时，y=9 000.
答案
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5.据市场调查，一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上，按月呈
f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份)，已知3
月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为
A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+)
B.f(x)=9sin(1≤x≤12，x∈N+)
C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12，x∈N+)
D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+)
√
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方法一　令x=3可排除D，令x=7可排除B，由A==2可排除C；
方法二　由题意，可得A=2，b=7，周期T==2×(7-3)=8，
则ω=，f(x)=2sin+7.
∵当x=3时，y=9，∴2sin+7=9，
即sin=1.∵|φ|<，∴φ=-.
∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+).
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6.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0)，则下列时间段中人流量增加的是
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
√
由-+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为
[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z.当k=1时，t∈[3π，5π].
因为[10，15] [3π，5π]，所以C符合题意.
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据I=5sin知ω=100π，该电流的周期为T=== s，
从而频率为每秒50次，0.5 s往复运动25次.
7.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=
5sin，t∈[0，+∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动____次.
25
答案
8.有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ=　　　.
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根据图象，知T=-=，
所以T=1，则ω==2π.
因为t=时，函数取得最大值，
所以2π×+φ=+2kπ，k∈Z.
所以φ=+2kπ，k∈Z，又0<φ<，
所以φ=.
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9.下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
时间(时) 0 2 4 6 8 10 12
温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间(时) 14 16 18 20 22 24
温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
(1)作出这些数据的散点图；
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散点图如图所示.
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(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
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设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c，
由表知ymax=37.4，ymin=36.6，
则c==37，A==0.4，ω===.
由0.4sin+37=37.4，
得sin=1，
即+φ=2kπ+，k∈Z，
则φ=2kπ-，k∈Z，取φ=-，
故可用三角函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据.
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10.已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
因为x∈[4，16]，则x-∈.
由函数解析式易知，当x-=，即x=14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x-=-，即x=6时，函数取得最小值，
最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30-10=20(℃).
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(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
答案
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令10sin+20=15，
可得sin=-，
而x∈[4，16]，所以x-=-，即x=.
令10sin+20=25，
可得sin=，
而x∈[4，16]，所以x-=即x=.
故该细菌在这段时间内能存活-=(小时).
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11.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周
期，乙将传播到
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
√
综合运用
相邻的最大值和最小值之间间隔区间长度为半个周期，由题图可知应传播至丙位置.
答案
12.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致是
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设所对的圆心角为α，则α=l，
弦AP的长d=2|OA|·cos=2|OA|·sin =2sin，即有d=f(l)=2sin .
√
答案
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13.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
y=a+Acos(x=1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月
平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的
平均气温值为　　　　 ℃.
20.5
由题意得∴
∴y=23+5cos，
当x=10时，y=23+5×=20.5.
答案
14.如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y=
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∵水轮的半径为2米，水轮圆心O距离水面1米，∴A=2，
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
∴T=15=，∴ω=.
Asin(ωx+φ)+1，则A=　　　　，ω=　　　　.
2
答案
15.科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按y=sin(ωx+φ)进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，且现在三条曲线都处于x轴的同一点处，那么第322天时
A.智力曲线I处于最低点
B.情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期
C.智力曲线I与情绪曲线E相交
D.情绪曲线E与体力曲线P都关于(322，0)对称
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拓广探究
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第322天时，322除33余25，322除28余14，322除23余0，即智力曲线I
位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处.A项，>，则智力曲线I不处于最低点，故A错误；
B项，情绪曲线E处于下降期，故B错误；
C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交，故C错误；
D项，(322，0)位于体力曲线P与情绪曲线E的交点，且在x轴上，故D正确.
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16.如图，某公园摩天轮的半径为40 m，点O距地面的高度为50 m，摩天轮逆时针转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻t(分钟)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h，求2 022分钟时点P距离地面的高度；
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由题意知，A=40，h=50，T=3，
∴ω==；又f(0)=40sin φ+50=10，
即sin φ=-1，又|φ|≤，∴φ=-；
∴f(t)=40sin+50(t≥0)；
∴f(2 022)=40sin+50
=40sin+50=10，
即2 022分钟时，点P所在位置的高度为10 m.
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(2)当离地面(50+20)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？
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由(1)知，f(t)=40sin+50
=50-40cost(t≥0)；令f(t)>50+20，
∴-40cost>20，即cost<-，
解得+2kπ即3k+∵-=，
∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌.
答案培优课　三角函数中的最值问题
　　三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题.
一、y=Asin(ωx+φ)+B型的最值问题
例1　y=3sin在区间上的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　.
跟踪训练1　已知函数f(x)=1+2sin，则f(x)在上的最小值是　　　　　　，若不等式f(x)-m<2在上恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
二、可化为y=f(sin x)(y=f(cos x))型的最值问题
例2　已知0≤x≤，求函数y=cos2x-2acos x的最大值M(a)与最小值m(a).
反思感悟　可化为y=f(cos x)型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域.
跟踪训练2　若函数y=sin2x+acos x+a-在上的最大值是1，则实数a的值为　　　　　　　　.
三、函数图象平移距离的最小值问题
例3　将函数f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为 (　　)
A. B. C. D.
反思感悟　函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值.
跟踪训练3　已知函数f(x)=cos 2ωx的最小正周期为π，将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值
例4　已知函数f(x)=sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是　　　　.
反思感悟　由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图象，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线.
跟踪训练4　已知函数f(x)=cos在(0，m)上的值域为，则m的取值范围是　　　　　　　.
五、求ω的最值问题
例5　(1)已知将函数f(x)=2cos-1(ω>0)的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 (　　)
A.3 B. C. D.
(2)先将函数f(x)=sin x的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(其中ω∈N+且纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递增，则ω的最大值为　　　　　　　.
反思感悟　已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式(组)求范围或最值.
跟踪训练5　设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　　　　　.
答案精析
例1　
解析　∵x∈，
∴2x-∈，
∴sin∈，
∴y∈.
故该函数的值域为.
跟踪训练1　2　(1，+∞)
解析　函数f(x)=1+2sin，
又x∈，
∴2x-∈，
即2≤1+2sin≤3，
∴f(x)min=2，f(x)max=3，
∵f(x)-m<2 m>f(x)-2，
∴m>1，即m的取值范围是(1，+∞).
例2　解　设cos x=t，∵0≤x≤，
∴0≤t≤1.
∵y=t2-2at=(t-a)2-a2，
∴当a≤0时，m(a)=0，
M(a)=1-2a；
当0M(a)=1-2a；当m(a)=-a2，M(a)=0；
当a≥1时，m(a)=1-2a，M(a)=0.
综上所述，M(a)=
m(a)=
跟踪训练2　
解析　y=1-cos2x+acos x+a-=-++a-.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
①若>1，即a>2，
则当cos x=1时，
ymax=a+a-=1 a
=<2(舍去)；
②若0≤≤1，即0≤a≤2，
则当cos x=时，
ymax=+a-=1，
解得a=或a=-4<0(舍去)；
③若<0，即a<0，
则当cos x=0时，
ymax=a-=1
a=>0(舍去).
综上可知，a=.
例3　D　[伸长后得y=sin 2x，
平移后得y=sin[2(x+φ)]
=sin(2x+2φ)，
因为该函数为偶函数，
所以2φ=+kπ(k∈Z)，
即φ=+(k∈Z)，又φ>0，
所以取k=0，得φ的最小值为.]
跟踪训练3　A　[f(x)=cos 2ωx，
由其最小正周期为π，
得=π，解得ω=1，
所以f(x)=cos 2x.
将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得图象对应函数为
y=cos[2(x+m)]=cos(2x+2m)，
因为其图象关于x=对称，
所以+2m=kπ，k∈Z，
所以m=-+，k∈Z，
又m>0，则实数m的最小值为.]
例4　
解析　令t=x+，
∵x∈，
∴t∈.
∴函数y=sin t，
t∈的值域为
，作出y=sin t的图象.
如图所示，图中点A的坐标为，
∴≤a+≤，即≤a≤π.
跟踪训练4　
解析　因为x∈(0，m)，
所以-<2x-<2m-.
因为f(x)在(0，m)上的值域为，f(0)=cos=，
所以0<2m-≤，
解得例5　(1)B　[依题意知，=k·T，
k∈N+，
∴=k·，k∈N+，
∴ω=k，k∈N+，
∴ω的最小值为.]
(2)9
解析　由题意易知g(x)
=sin在区间上单调递增，所以有
k∈Z，即12k-4≤ω≤8k+，k∈Z.
由12k-4≤8k+可得k≤，
当k=1时，ω∈，所以正整数ω的最大值为9.
跟踪训练5　
解析　由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立，故当x=时，函数f(x)有最大值，
故f=1，
∴-=2kπ(k∈Z)，
∴ω=8k+(k∈Z)，又ω>0，
∴ωmin=.

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