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章末复习课
第七章
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一、三角函数的定义
二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
三、三角函数的图象与性质
内容索引
四、三角函数的图象变换
三角函数的定义
一
1.利用三角函数的定义求三角函数值，以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论.
2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
已知角θ的终边经过点P(-，m)(m≠0)且sin θ=m，试判断角θ所
在的象限，并求cos θ和tan θ的值.
例 1
由题意得，r=，
所以sin θ==m.
因为m≠0，所以m=±，故角θ是第二或第三象限角.
当m=时，r=2，点P的坐标为(-)，角θ是第二象限角，
所以cos θ===-，
tan θ===-，
当m=-时，r=2，点P的坐标为(-，-)，角θ是第三象限角，所
以cos θ===-，tan θ===.
利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论.
反
思
感
悟
跟踪训练 1
(1)若sin α<0且tan α>0，则α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
∵sin α<0，∴α的终边在第三或第四象限，
∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，
故α是第三象限角.
(2)已知角α的终边过点P(-8m，-6sin 30°)，且cos α=-，则m的值为
A.- B.- C. D.
√
由题意得点P(-8m，-3)，r=，
所以cos α==-，所以m=.
二
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明.在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用.
2.诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中，奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与
不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.
3.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系及诱导公式，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例 2
已知=-4，求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值.
方法一　由已知得=-4，
解得tan θ=2.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ
=
=
==.
方法二　由已知=-4，
解得tan θ=2.
即=2，∴sin θ=2cos θ.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ)=cos2θ
===.
反
思
感
悟
(1)关于同角三角函数的基本关系
一是利用基本关系进行直接运算，二是综合利用基本关系进行弦、切互化，整体代换求值等.
(2)关于诱导公式的应用
首先结合口诀理解、熟记诱导公式，其次在应用的过程中要善于观察角度之间的关系，如互余、互补、拆分出特殊角等，以达到灵活应用目的.
已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，求
·tan2(π-α)的值.
跟踪训练 2
方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-，
x2=2，
由α是第三象限角，得sin α=-，
则cos α=-，
∴·tan2(π-α)
=·tan2α
=-tan2α=-=-.
三
三角函数的图象与性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养.
函数f(x)=3sin的部分图象如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
例 3
f(x)的最小正周期T===π，
令2x+=+kπ，k∈Z，
则x=+，k∈Z，
当k=2时，x0=，y0=3.
(2)求f(x)的单调递减区间；
令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z.
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
因为x∈，
所以2x+∈，
于是当2x+=0，
即x=-时，f(x)取得最大值0；
当2x+=-，
即x=-时，f(x)取得最小值-3.
反
思
感
悟
(1)单调性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx+φ视为一个“整体”.
(2)周期性：函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期
为，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
三角函数的四条性质
反
思
感
悟
(3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx，而偶函数一般可化为y=Acos ωx+B的形式.
(4)对称性：求形如y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的对称中心和对称轴，把ωx+φ视为一个整体，分别与y=sin x，y=cos x的对称中心、对称轴对应解出x，即得相应函数的对称中心的坐标和对称轴方程.对于y=tan(ωx+φ)的对称中心，则令ωx+φ
=(k∈Z)解得.
(1)函数f(x)=tan的单调递增区间是
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
跟踪训练 3
√
令-+kπ<2x-<+kπ，k∈Z.
解得-+所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)函数y=sin的图象的对称中心和对称轴方程分别
为　　　　　 　　　　　　.
(k∈Z)，x=+，k∈Z
令2x-=kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
∴f(x)的对称中心为(k∈Z).
令2x-=+kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z.
∴f(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z.
四
三角函数的图象变换
1.重点考查三角函数的平移变换、伸缩变换和解析式的确定，通过对图象的描述、观察来讨论函数的有关性质.
2.掌握平移和伸缩变换，以及由图象求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养.
如图是函数y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象.
(1)求此函数的解析式；
例 4
由图象知A==，
k==-1，T=2×=π，
∴ω==2，
∴y=sin(2x+φ)-1.
当x=时，2×+φ=+2kπ，k∈Z，
∴φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<，
∴φ=，
故所求函数的解析式为y=sin-1.
(2)分析该函数的图象是由y=sin x的图象如何变换得来的？
把y=sin x的图象向左平移个单位，得到y=sin
，得到y=sin
，得到y=sin的图象，最后把函数y=sin的图象向下平移1个单位，得到y=sin-1的图象.
反
思
感
悟
(1)由图象求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图象上的最高点或最低点.
(2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的.左右平移只是把x变成x±φ，其他不变，左右伸缩只是
把x变成ωx或x，其他不变.
把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐
标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个
最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值.
跟踪训练 4
依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2cos，
则函数g(x)=2cos.
因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2，
则g(x)=2cos.
又因为函数g(x)为奇函数，
所以φ+=+kπ，k∈Z，
所以φ=+kπ，k∈Z.又0<φ<π，则φ=.一、三角函数的定义
1.利用三角函数的定义求三角函数值，以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论.
2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例1　已知角θ的终边经过点P(-，m)(m≠0)且sin θ=m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值.
反思感悟　利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论.
跟踪训练1　(1)若sin α<0且tan α>0，则α是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知角α的终边过点P(-8m，-6sin 30°)，且cos α=-，则m的值为 (　　)
A.- B.-
C. D.
二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明.在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用.
2.诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中，奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.
3.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系及诱导公式，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例2　已知=-4，
求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值.
反思感悟　(1)关于同角三角函数的基本关系
一是利用基本关系进行直接运算，二是综合利用基本关系进行弦、切互化，整体代换求值等.
(2)关于诱导公式的应用
首先结合口诀理解、熟记诱导公式，其次在应用的过程中要善于观察角度之间的关系，如互余、互补、拆分出特殊角等，以达到灵活应用目的.
跟踪训练2　已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，
求·tan2(π-α)的值.
三、三角函数的图象与性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养.
例3　函数f(x)=3sin的部分图象如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
反思感悟　三角函数的四条性质
(1)单调性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx+φ视为一个“整体”.
(2)周期性：函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx，而偶函数一般可化为y=Acos ωx+B的形式.
(4)对称性：求形如y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的对称中心和对称轴，把ωx+φ视为一个整体，分别与y=sin x，y=cos x的对称中心、对称轴对应解出x，即得相应函数的对称中心的坐标和对称轴方程.对于y=tan(ωx+φ)的对称中心，则令ωx+φ=(k∈Z)解得.
跟踪训练3　(1)函数f(x)=tan的单调递增区间是 (　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y=sin的图象的对称中心和对称轴方程分别为　　　　　　　　　　　.
四、三角函数的图象变换
1.重点考查三角函数的平移变换、伸缩变换和解析式的确定，通过对图象的描述、观察来讨论函数的有关性质.
2.掌握平移和伸缩变换，以及由图象求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养.
例4　如图是函数y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象.
(1)求此函数的解析式；
(2)分析该函数的图象是由y=sin x的图象如何变换得来的？
反思感悟　(1)由图象求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图象上的最高点或最低点.
(2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的.左右平移只是把x变成x±φ，其他不变，左右伸缩只是把x变成ωx或x，其他不变.
跟踪训练4　把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值.
答案精析
例1　解　由题意得，r=，
所以sin θ==m.
因为m≠0，所以m=±，故角θ是第二或第三象限角.
当m=时，r=2，点P的坐标为(-，)，角θ是第二象限角，
所以cos θ===-，
tan θ===-，
当m=-时，r=2，点P的坐标为(-，-)，角θ是第三象限角，所以cos θ===-，
tan θ===.
跟踪训练1　(1)C　[∵sin α<0，
∴α的终边在第三或第四象限，
∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角.]
(2)C　[由题意得点P(-8m，-3)，
r=，
所以cos α==-，
所以m=.]
例2　解　方法一　由已知得
=-4，解得tan θ=2.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ
=
=
==.
方法二　由已知=-4，
解得tan θ=2.
即=2，∴sin θ=2cos θ.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ)=cos2θ===.
跟踪训练2　解　方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-，x2=2，
由α是第三象限角，得sin α=-，
则cos α=-，
∴·
tan2(π-α)=·tan2α
=-tan2α=-=-.
例3　解　(1)f(x)的最小正周期
T===π，
令2x+=+kπ，k∈Z，
则x=+，k∈Z，
当k=2时，x0=，y0=3.
(2)令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z.解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3)因为x∈，
所以2x+∈，
于是当2x+=0，
即x=-时，f(x)取得最大值0；
当2x+=-，
即x=-时，f(x)取得最小值-3.
跟踪训练3　(1)B　[令-+kπ<2x-<+kπ，k∈Z.
解得-+所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.]
(2)(k∈Z)，
x=+，k∈Z
解析　令2x-=kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
∴f(x)的对称中心为(k∈Z).
令2x-=+kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z.
∴f(x)的对称轴方程为
x=+，k∈Z.
例4　解　(1)由图象知
A==，
k==-1，
T=2×=π，
∴ω==2，
∴y=sin(2x+φ)-1.
当x=时，2×+φ
=+2kπ，k∈Z，
∴φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<，
∴φ=，故所求函数的解析式为
y=sin-1.
(2)把y=sin x的图象向左平移个单位，得到y=sin的图象，然后将得到的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y=sin的图象，再将得到的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y=sin的图象，最后把函数y=sin的图象向下平移1个单位，得到y=sin-1的图象.
跟踪训练4　解　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为
m(x)=2cos，
则函数g(x)=2cos.
因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2，
则g(x)=2cos.
又因为函数g(x)为奇函数，
所以φ+=+kπ，k∈Z，
所以φ=+kπ，k∈Z.又0<φ<π，则φ=.

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