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章末复习课
第八章
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五、三角恒等变换的应用
一、向量数量积的运算
二、向量数量积的应用
三、三角函数式求值
内容索引
四、三角函数式的化简与证明
向量数量积的运算
一
1.求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b=|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a=(x1，y1)，b=
(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
2.掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2.若=-3，则=　　　.
例 1
因为
=
=-2-=-3，所以=.
求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算.
反
思
感
悟
已知在△ABC中，A=，AB=2，AC=4，=，=，
=，则的值为　　　.
跟踪训练 1
-
由题意，得E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴F(1，0)，E(0，2)，D，
∴==.
∴=×+1×(-1)
=-1=-.
二
向量数量积的应用
1.主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算.
2.掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养.
已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
例 2
由|ka+b|=|a-kb|，
得(ka+b)2=3(a-kb)2，
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2，
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|==1，
|b|==1，
∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0，
∴a·b==.
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
由(1)知a·b==.
由函数的单调性可知，f(k)=在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，
∴当k=1时，(a·b)min=f(1)=×(1+1)=，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ==，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
反
思
感
悟
向量数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
(1)a∥b x1y2-x2y1=0，a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①|a|=；
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ==.
已知|a|=1，|b|=.
(1)若a∥b，求a·b；
跟踪训练 2
若a∥b，则a与b的夹角为0或π.所以a·b=|a||b|cos 0=1××1=或a·b=|a||b|·cos π=-.
(2)若a与b的夹角为60°，求|a+b|；
因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 60°+|b|2=1+2×1××+2
=3+，所以|a+b|=.
(3)若(2a-b)⊥b，求a与b的夹角θ.
若(2a-b)⊥b，则(2a-b)·b=0，
即2a·b-b2=0，所以2|a||b|cos θ-|b|2=0，即2×cos θ-2=0，所以cos θ=，又0≤θ≤π，所以θ=.
三
三角函数式求值
1.三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换.
2.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养.
已知角α的顶点在坐标原点O处，始边与x轴的正半轴重合，将角α
的终边绕O点逆时针旋转后经过点(-3，4)，则sin α=　　　　.
例 3
∵角α的终边绕O点逆时针旋转后得到的角为α+，
∴cos==-，
sin==，
∴sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
反
思
感
悟
求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，
如α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=[(α+β)+(α-β)]，β=[(α+β)-(α-β)]等.
若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则
α+β的值是
A. B.
C.或 D.或
跟踪训练 3
√
∵α∈，
∴2α∈，
又∵sin 2α=，
∴2α∈，α∈，
∴cos 2α=-=-.
又∵β∈，
∴β-α∈，
∴cos(β-α)=-=-，
∴cos(α+β)=cos
=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)
=-×-×=，
易得α+β∈，则α+β=.
四
三角函数式的化简与证明
1.三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式.
2.掌握三角函数公式以及变形形式并会灵活运用，提升逻辑推理素养.
化简：(-π<α<0).
例 4
原式=
=
==.
因为-π<α<0，所以-<<0，所以sin<0，
所以原式==cos α.
反
思
感
悟
三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路
(1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系起来.
(2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来.
(3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一.
求证：tan2x+=.
跟踪训练 4
左边=+=
=
==
==
=
==右边.
原式得证.
五
三角恒等变换的应用
1.利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形.常用倍角的降幂公式，辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简.
2.掌握利用三角公式及变形形式对函数式化简，重点提升逻辑推理与数学运算素养.
已知函数f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
例 5
f(x)=cos2-sincos-
=(1+cos x)-sin x-=cos.
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)若f(α)=，求sin 2α的值.
由(1)知f(α)=cos=，
所以cos=.
所以sin 2α=-cos=-cos 2
=1-2cos2=1-=.
反
思
感
悟
(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.
已知函数f(x)=sin·cos.
(1)求f(x)的周期；
跟踪训练 5
由积化和差公式可知f(x)=
=sin+sin
=sin-，
∴T==.
(2)若x∈，求f(x)的值域.
∵x∈，
∴4x-∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈，
∴f(x)的值域为.一、向量数量积的运算
1.求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b=|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
2.掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例1　如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=.若·=-3，则·=　　　　.
反思感悟　求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算.
跟踪训练1　已知在△ABC中，A=，AB=2，AC=4，=，=，=，则·的值为　　　　.
二、向量数量积的应用
1.主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算.
2.掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养.
例2　已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
反思感悟　向量数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题，设a=(x1，y1)，
b=(x2，y2)，
(1)a∥b x1y2-x2y1=0，a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①|a|=；
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)cos θ==.
跟踪训练2　已知|a|=1，|b|=.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a与b的夹角为60°，求|a+b|；
(3)若(2a-b)⊥b，求a与b的夹角θ.
三、三角函数式求值
1.三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换.
2.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养.
例3　已知角α的顶点在坐标原点O处，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边绕O点逆时针旋转后经过点(-3，4)，则sin α=　　　　　　　　　　.
反思感悟　求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=[(α+β)+(α-β)]，β=[(α+β)-(α-β)]等.
跟踪训练3　若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则α+β的值是 (　　)
A. B.
C.或 D.或
四、三角函数式的化简与证明
1.三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式.
2.掌握三角函数公式以及变形形式并会灵活运用，提升逻辑推理素养.
例4　化简：(-π<α<0).
反思感悟　三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路
(1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系起来.
(2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来.
(3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一.
跟踪训练4　求证：tan2x+=.
五、三角恒等变换的应用
1.利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形.常用倍角的降幂公式，辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简.
2.掌握利用三角公式及变形形式对函数式化简，重点提升逻辑推理与数学运算素养.
例5　已知函数f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)=，求sin 2α的值.
反思感悟　(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.
跟踪训练5　已知函数f(x)=sin·cos.
(1)求f(x)的周期；
(2)若x∈，求f(x)的值域.
答案精析
例1　
解析　因为·
=·
=-2-·=-3，
所以·=.
跟踪训练1　-
解析　由题意，得E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴F(1，0)，E(0，2)，D，
∴=，
=.
∴·=×+
1×(-1)=-1=-.
例2　解　(1)由|ka+b|=|a-kb|，
得(ka+b)2=3(a-kb)2，
∴k2a2+2ka·b+b2
=3a2-6ka·b+3k2b2，
∴(k2-3)a2+8ka·b+
(1-3k2)b2=0.
∵|a|==1，
|b|==1，
∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0，
∴a·b==.
(2)由(1)知a·b=
=.
由函数的单调性可知，f(k)
=在(0，1]上单调递减，
在[1，+∞)上单调递增，
∴当k=1时，(a·b)min
=f(1)=×(1+1)=，
此时a与b的夹角θ的余弦值
cos θ==，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
跟踪训练2　解　(1)若a∥b，则a与b的夹角为0或π.所以a·b=|a||b|cos 0=1××1=或a·b
=|a||b|·cos π=-.
(2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 60°+|b|2=1+2×1××+2=3+，
所以|a+b|=.
(3)若(2a-b)⊥b，则(2a-b)·b=0，
即2a·b-b2=0，
所以2|a||b|cos θ-|b|2=0，
即2×cos θ-2=0，
所以cos θ=，又0≤θ≤π，
所以θ=.
例3　
解析　∵角α的终边绕O点逆时针旋转后得到的角为α+，
∴cos==-，
sin==，
∴sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
跟踪训练3　B　[∵α∈，
∴2α∈，
又∵sin 2α=，
∴2α∈，α∈，
∴cos 2α=-=-.
又∵β∈，
∴β-α∈，
∴cos(β-α)=-
=-，
∴cos(α+β)=cos
=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)
=-×-×=，
易得α+β∈，
则α+β=.]
例4　解　原式=
=
=
=.
因为-π<α<0，所以-<<0，所以sin<0，
所以原式==cos α.
跟踪训练4　证明　左边=+=
=
==
==
=
==右边.
原式得证.
例5　解　(1)f(x)=cos2-sincos-
=(1+cos x)-sin x-
=cos.
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知f(α)=cos
=，所以cos=.
所以sin 2α=-cos
=-cos 2
=1-2cos2=1-=.
跟踪训练5　解　(1)由积化和差公式可知f(x)=
+
=sin+sin
=sin-，
∴T==.
(2)∵x∈，
∴4x-∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈，
∴f(x)的值域为.

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