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2025高考数学一轮复习-第4讲-基本不等式-专项训练
【A级　基础巩固】
1．若x<0，则关于x＋，下列结论正确的是(　　)
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
2．已知x＞2，则＋x的最小值是(　　)
A.2　　　　　　　 B．3
C.4 D．6
3．下列不等式恒成立的是(　　)
A.a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab
C.a＋b≥2 D．a2＋b2≤－2ab
4．设f(x)＝ln x，0A.q＝r

C.q＝r>p D．p＝r>q
5．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A.2 B．3
C.4 D．5
6．(多选)设a＝log23，b＝log2，则下列关系正确的是(　　)
A.ab> B．ab<
C.> D．ab>
7．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)
A.ab有最大值
B.＋有最大值
C.＋有最小值2
D.a2＋b2有最小值
8．(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　)
A.a2＋b2≥ B．2a－b＞
C.log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
9．函数y＝(x>－1)的最小值为________．
10．已知0＜x＜，则x的最大值为________．
11．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
12．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为________万元．
【B级　能力提升】
1．当x＞a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　)
A.1 B．
C.2 D．4
2．已知m>0，n>0，条件p：2m＋n＝mn，条件q：m＋n≥3＋2，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A.6＋2 B．7＋2
C.6＋4 D．7＋4
4．(多选)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.0<≤ B．＋≥1
C.log2a＋log2b<2 D．≤
5．(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有(　　)
A.(a＋2b)2≥8ab
B.＋≥2
C.ab有最大值4
D.＋有最小值9
6．(多选)下列说法正确的是(　　)
A.若x，y∈R且x＋y＞4，则x，y至少有一个大于2
B. x∈R，＝x
C.若1＜a＜3，2＜b＜4，则－2＜2a－b＜4
D.＋的最小值为2
7．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
8．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
9．已知a＞0，b＞0，＋＝1，则满足“m＜a＋2b”恒成立的正实数m的一个取值范围是________(用区间表示).
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
参考答案
【A级　基础巩固】
1．解析：因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
答案：D
2．解析：由x＞2知x－2＞0，则＋x＝＋(x－2)＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝4时取“＝”，所以＋x的最小值是6.
答案：D
3．解析：A.显然当a＜0，b＞0时，不等式a2＋b2≤2ab不成立，故A错误；
B.∵(a＋b)2≥0，∴a2＋b2＋2ab≥0，∴a2＋b2≥－2ab，故B正确；
C.显然当a＜0，b＜0时，不等式a＋b≥2不成立，故C错误；
D.显然当a＞0，b＞0时，不等式a2＋b2≤－2ab不成立，故D错误．
答案：B
4．解析：因为0.
又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f>f()，即p而r＝[f(a)＋f(b)]＝(ln a＋ln b)
＝ln (ab)＝ln ，
所以r＝p，故p＝r答案：B
5．解析：∵直线＋＝1过点(1，1)，∴＋＝1.
又a，b均大于0，∴a＋b＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．
答案：C
6．解析：易知a>0，b>0，＝1，a≠b，ab<＝1，ab> a>1，显然成立．
所以>ab>.
答案：BCD
7．解析：正实数a，b满足a＋b＝1，由基本不等式可得ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以ab有最大值，故选项A正确；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋有最大值，故选项B正确；＋＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋有最小值4，故选项C错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2有最小值，故选项D正确．
答案：ABD
8．解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B，2a－b＝22a-1＝×22a，
因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故D正确．
综上可知，正确的选项为A，B，D.
答案：ABD
9．解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
所以y＝(x>－1)的最小值为0.
答案：0
10．解析：∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，
x＝·≤·＝，
当且仅当2x2＝1－2x2，
即x＝时等号成立．
答案：
11．解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，
∴2a＋＝2a＋2-3b≥2
＝2＝2＝2×2-3＝，
当且仅当即时等号成立．
答案：
12．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝万元．由于x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．
答案：8
【B级　能力提升】
1．解析：2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.
答案：A
2．解析：因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得＋＝1，则m＋n＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即m＝＋1，n＝2＋时取等号，因此p q；
因为m>0，n>0，由m＋n≥3＋2，可取m＝1，n＝10，
则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此q /p，
所以p是q的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时取等号．
答案：D
4．解析：因为a>0，b>0，所以ab≤≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则ab≤＝4或≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则≥，a2＋b2≥8，≤，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；
对于B选项，＋＝＝≥4×＝1，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立．
答案：BD
5．解析：A选项，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，A正确；B选项，找反例，当a＝b＝2时，＋＝，2＝4，＋＜2，B不正确；
C选项，∵a＋b＝4≥2，∴ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，C正确；D选项，＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时等号成立，D不正确．
答案：AC
6．解析：对于A，若x，y均不大于2，则x≤2，y≤2，则x＋y≤4，所以x＋y＞4，则x，y至少有一个大于2为真命题，故A正确；对于B， x∈R，＝|x|＝故B错误；对于C，由1＜a＜3得2＜2a＜6，由2＜b＜4得－4＜－b＜－2，所以－2＜2a－b＜4，故C正确；对于D，由于≥，函数y＝x＋在[，＋∞)上单调递增，故＋≥＋＝，D错误．
答案：AC
7．解析：因为a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋取等号．
答案：4
8．解析：法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，
由x2≥0，可得y2∈(0，1]，
则x2＋y2＝＋y2＝＝≥·2＝，当且仅当y2＝，x2＝时等号成立，
可得x2＋y2的最小值为.
法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，
故x2＋y2≥，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，
可得x2＋y2的最小值为.
答案：
9．解析：由题意可知a＋2b＝(a＋2b)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当b＝a＝时取得等号，所以a＋2b≥恒成立，故正实数m的一个范围可以为(0，4).
答案：(0，4)
10．解析：由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得ac sin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，＋＝1.因此4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，故4a＋c的最小值为9.
答案：92025高考数学一轮复习-第1讲 集合-专项训练
【A级　基础巩固】
1．若集合A＝[－1，2)，B＝Z，则A∩B＝(　　)
A．{－2，－1，0，1}　　　　 B．{－1，0，1}
C．{－1，0} D．{－1}
2．设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　)
A．{2} B．{1，2}
C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}
3．已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝(　　)
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2C．{x|x≥－2} D．{x|x<1}
4．设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
5．(多选)已知集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，3}．若A∪B＝{1，2，3，4}，则a的取值可以是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．(多选)若集合M＝{x|－3A．M∩N B． RM
C． R(M∩N) D． R(M∪N)
7．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，则满足A?C B的集合C的个数为________．
8．已知U＝{x|－3≤x＜3}，A＝{x|－2≤x＜3}，则图中阴影表示的集合是________．
9．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}．若 SA＝{2，3}，则m＝________．
【B级　能力提升】
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，则集合A∩B的真子集的个数为(　　)
A．3　　　　　　　 B．4
C．7 D．8
2．已知集合A＝{x|1m}．若A∩( RB)＝ ，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
3．已知集合A＝{x|1A．－≤m<　　　 B．m≥0
C．m≥ D．0≤m<
4．(多选)已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
5．设集合A＝{a，a2，0}，B＝{2，4}．若A∩B＝{2}，则实数a的值为(　　)
A．2 B．±2
C． D．±
6．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集．若 x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．
参考答案
【A级　基础巩固】
1．解析：∵A＝[－1，2)，B＝Z，∴A∩B＝{－1，0，1}．答案：B
2．解析：由题意得A∪B＝{1，2，4，6}．答案：D
3．解析：由题意，M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，根据交集的运算可知，M∩N＝{x|－2≤x<1}．答案：A
4．解析：因为B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以 U(A∪B)＝{－2，0}．答案：D
5．解析：因为A∪B＝{1，2，3，4}，所以{1，4，a}?{1，2，3，4}，所以a＝2或3.
答案：AB
6．解析：由题意得M∩N＝{x|－33}．
答案：BC
7．解析：∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A?C B，∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
答案：7
8．解析：由题图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的集合是 UA＝{x|－3≤x＜－2}．
答案：[－3，－2)
9．解析：由题意得A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
答案：4
【B级　能力提升】
1．解析：结合图象可知，集合A∩B有3个元素，所以集合A∩B的真子集的个数为23－1＝7.
答案：C
2．解析：由题知A∩( RB)＝ ，得A B，则m≤1.
答案：A
3．解析：由A∩B＝ ，得若2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；若2m<1－m，即m<时，因为A∩B＝ ，则或解得0≤m<.综上所述，实数m的取值范围为m≥0.
答案：B
4．解析：因为A∪B＝A，所以B A.
因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意．
综上，m＝0或3.
答案：AD
5．解析：因为A∩B＝{2}，所以a＝2或a2＝2.当a＝2时，A＝{2，4，0}，A∩B＝{2，4}，不合题意，舍去；当a＝时，A＝{，2，0}，A∩B＝{2}，满足题意；当a＝－时，A＝{－，2，0}，A∩B＝{2}，满足题意．
答案：D
6．解析：由集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若 x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”有：当A＝{1}时，B＝{2}或{3}或{4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}；
当A＝{2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}，
当A＝{3}时，B＝{4}，
当A＝{1，2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}，
当A＝{1，3}时，B＝{4}，
当A＝{2，3}时，B＝{4}，
当A＝{1，2，3}时，B＝{4}．
答案：172025高考数学一轮复习-第3讲-等式性质与不等式性质-专项训练
【A级　基础巩固】
1．下列是“a＞b”的充分不必要条件的是(　　)
A.a＞b＋1　　　　　 B．＞1
C.a2＞b2 D．a3＞b3
2．已知m＜n，则下列结论正确的是(　　)
A.m2＜n2 B．＜
C.2m＜2n D．lg m＜lg n
3．设0＜α＜，0≤β≤，则2α－的取值范围是(　　)
A. B．
C.(0，π) D．
4．把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是(　　)
A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d
B.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd
C.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝
D.如果a＝b，那么a3＝b3
5．(多选)设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是(　　)
A.> B．acC.a(b－c)>b(a－c) D．>
6．(多选)a，b∈R，则下列命题中，正确的有(　　)
A.若a＞b，则＞
B.若ab＝4，则a2＋b2≥8
C.若a＞b，则ab＜a2
D.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
7．(多选)(2024·河北衡水模拟)已知＜＜0，则下列不等式一定成立的有(　　)
A.＞1 B．＜0
C.＜ D．bc＜ba
8．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
9．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
10．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．
11．对于实数a，b，c，有下列命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若ab＞c，则a＞；
③若a＞b＞0，且n为正数，则an＞bn.
其中，真命题的序号为________．(写出所有满足要求的命题序号)
【B级　能力提升】
1．若实数a，b满足a2＞b2＞0，则下列不等式中成立的是(　　)
A.a＞b B．2a＞2b
C.a＞|b| D．log2a2＞log2b2
2．手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1)内．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　)
A.“屏占比”不变
B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大
D.变化不确定
3．已知非零实数m，n满足em＞en，则下列关系式一定成立的是(　　)
A.＜
B.ln (m2＋1)＞ln (n2＋1)
C.m＋＞n＋
D.m|m|＞n|n|
4．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连．现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司(沿公路走)的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在(　　)
A.路口C B．路口D
C.路口E D．路口F
5．(多选)已知实数x，y满足＜，则下列关系式中不恒成立的是(　　)
A.tan x>tan y
B.ln (x2＋2)>ln (y2＋2)
C.>
D.x3>y3
6．(多选)已知a＞b＞0，则下列结论正确的是(　　)
A.＞
B.a－＞b－
C.a3－b3＞2(a2b－ab2)
D.－＞－
7．已知四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<的是________．(填序号)
8．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是________．
9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b的两个零点一个大于2，一个小于2，且0≤b－2a≤2，则3b－8a的取值范围是________．
10．若a>b>0，c|c|，则满足条件<所求式<的一个代数式为________(只要写出一个即可).
参考答案
【A级　基础巩固】
1．解析：A中，当a＝2，b＝1时，a＞b但a＝b＋1，必要性不成立，因为a＞b＋1，所以a＞b，故充分性成立；
B中，当a＝－2，b＝－1时，满足＞1，但a＜b，故充分性不成立；
C中，当a＝－2，b＝－1时，满足a2＞b2，但a＜b，故充分性不成立；
D中，当a＞b时，由不等式的基本性质得a3＞b3，故必要性成立，反之也成立．
答案：A
2．解析：根据题意可知，不妨取m＝－1，n＝1，
则m2＝1，n2＝1，此时不满足m2＜n2，即A错误；
易得＝1，＝－1，此时＞，所以B错误；
对于D，lg m无意义，所以D错误，
由指数函数的单调性可得，当m＜n时，2m＜2n，即C正确．
答案：C
3．解析：由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
答案：D
4．解析：A不一定正确，如5＜6，4＜9，但5－4＞6－9；
B不一定正确，如－2＜－1，1＜4，此时ac＞bd；
C不一定正确，如1＜2，1＜8，此时＞；
易知D正确．
答案：D
5．解析：对于A，因为a>b>1，c<0，所以－＝>0，所以>，故A正确；对于B，因为－c>0，所以a·(－c)>b·(－c)，所以－ac>－bc，所以acb>1，所以a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，所以a(b－c)>b(a－c)，故C正确；对于D，因为<0，a>b>1，所以<，故D错误．
答案：ABC
6．解析：对于A：若c＝0，则，无意义，故A错误；
对于B：若ab＝4，则a2＋b2≥2ab＝8，当且仅当a＝b＝±2时，等号成立，故B正确；
对于C：由于不确定a的符号，故无法判断，
例如a＝0，b＝－1，则ab＝a2＝0，故C错误；
对于D：若a＞b，c＞d，则－d＞－c，
所以a－d＞b－c，故D正确．
答案：BD
7．解析：由＜＜0，得c≠0，当c＞0时，得0＞＞，即a＜b＜0；
当c＜0时，得0＜＜，即a＞b＞0，综上a＜b＜0＜c或a＞b＞0＞c，上述两种情况均可得0＜＜1，故A选项错误；
当a＜b＜0＜c时，得＜0，当a＞b＞0＞c时，得＜0，故B选项正确；
令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝2，＝0，从而得＞，故C选项错误；
由上述论证可知bc＜0＜ba恒成立，故D正确．
答案：BD
8．解析：M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，
故M>N.
答案：>
9．解析：若a＜b，当c＞0时，ac＜bc；
当c＝0时，ac＝bc；
当c＜0时，ac＞bc；
“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为－2，－1，0.
答案：－2，－1，0(答案不唯一)
10．解析：结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，
且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，∴(3α－β)∈(－π，2π).
答案：(－π，2π)
11．解析：对于①，由ac2＞bc2，则c2＞0，根据不等式的性质，可得a＞b，故①正确；对于②，由ab＞c，当b＝0时，不等式a＞无意义，当b＜0时，可得a＜，故②错误；对于③，由a＞b＞0，且n为正数，根据不等式的性质，可得③正确．
答案：①③
【B级　能力提升】
1．解析：由题意，a2＞b2＞0，所以log2a2＞log2b2，故D正确；当a＝－2，b＝－1时，a2＞b2＞0，但a＜b，2a＜2b，a＜|b|，故A，B，C错误．
答案：D
2．解析：根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，b>a，则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中m(m>0)为升级后增加的面积，由分数性质知>，所以升级后“屏占比”变大．
答案：C
3．解析：因为em＞en，所以m＞n.
取m＝1，n＝－2，得＞，故A不正确；
取m＝1，n＝－2，得m2＋1＜n2＋1，
所以ln (m2＋1)＜ln (n2＋1)，故B不正确；
取m＝，n＝，得m＋＜n＋，故C不正确；
当m＞n＞0时，m2＞n2，
所以m|m|－n|n|＝m2－n2＞0；
当n＜m＜0时，m2＜n2，m|m|－n|n|
＝－m2－(－n2)＝n2－m2＞0；
当m＞0＞n时，m|m|＞0＞n|n|，
所以m|m|＞n|n|，D正确．
答案：D
4．解析：观察图形知，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7七个公司要到中转站，都先必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，
令A1到B、A2到C、A3到D、A4到D、A5到E、A6到E、A7到F的小公路距离总和为d，
BC＝d1，CD＝d2，DE＝d3，EF＝d4，
路口C为中转站时，距离总和SC＝d＋d1＋d2＋d2＋(d3＋d2)＋(d3＋d2)＋(d4＋d3＋d2)＝d＋d1＋5d2＋3d3＋d4，
路口D为中转站时，距离总和SD＝d＋(d1＋d2)＋d2＋d3＋d3＋(d4＋d3)＝d＋d1＋2d2＋3d3＋d4，
路口E为中转站时，距离总和SE＝d＋(d1＋d2＋d3)＋(d2＋d3)＋d3＋d3＋d4＝d＋d1＋2d2＋4d3＋d4，
路口F为中转站时，距离总和SF＝d＋(d1＋d2＋d3＋d4)＋(d2＋d3＋d4)＋2(d3＋d4)＋2d4＝d＋d1＋2d2＋4d3＋6d4，
显然SC>SD，SF＞SE＞SD，所以这个中转站最好设在路口D.
答案：B
5．解析：因为＜，所以x>y，由于y1＝tan x在R上不是单调函数，所以选项A不正确；又x2－y2＝(x－y)(x＋y)的正负不确定，所以x2和y2的关系不确定，所以选项B不正确；又－＝的正负不确定，所以和的关系不确定，所以选项C不正确；由于f(x)＝x3是R上的单调递增函数，所以x3>y3，所以选项D正确．
答案：ABC
6．解析：对于A，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，a＞b＞0，所以＞，故A正确．
对于B，当a＝，b＝时，a－＝－，b－＝－，则a－＜b－，故B不正确．
对于C，由a3－b3＞2(a2b－ab2)，得(a－b)(a2－ab＋b2)＞0.因为a－b＞0，所以a2＋b2－ab＞0，即(a－b)2＋ab＞0，该不等式恒成立，故C正确．
对于D，由－＞－，得－＞－，即＞，所以＋＞＋，该不等式不成立，故D不正确．
答案：AC
7．解析：由倒数性质知a>b，ab>0 <，a<0答案：①②④
8．解析：由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得ad⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.
答案：b>d>c>a
9．解析：由f(x)的两个零点一个大于2，一个小于2，可知f(2)＝4－4a＋b＜0，即b－4a＜－4.
又0≤b－2a≤2，
设3b－8a＝m(b－4a)＋n(b－2a)，
则解得
即3b－8a＝(b－4a)＋2(b－2a)，且0≤2(b－2a)≤4，
故3b－8a的取值范围为(－∞，0).
答案：(－∞，0)
10．解析：因为a＋d>b＋c>0，0<<，
所以<<或<<.
所以，均为所求代数式．(只要写出一个即可)
答案：或2025高考数学一轮复习-第5讲-二次函数与一元二次方程、不等式-专项训练
【A级　基础巩固】
1.不等式(x－1)2＜x＋5的解集为(　　)
A．{x|1＜x＜4}　　　 B．{x|－1＜x＜4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
2.如图所示，数轴上表示的区间与下列不等式的解集相同的是(　　)
A．x2－x－6≤0 B．x2－x－6≥0
C．≥0 D．≥0
3.已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A． B．
C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2，或x＞1}
4.若00的解集为(　　)
A． B．
C． D．
5.（多选）与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
6.（多选）已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　)
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)
C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．
7.（多选）若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　)
A．a＜0
B．b＜0且c＞0
C．a＋b＋c＞0
D．不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R
8.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝　　　　．
9.一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　　　．
10.若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为　　　　．
11.若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，则k的取值范围为　　　　．
【B级　能力提升】
1.全集U＝R，能表示集合A＝{－2，－1，0}和B＝{x|x2－x－2≤0}关系的Venn图是(　　)
2.已知p： x∈{x|－1＜x＜3}，x2－a－2≤0.若p为假命题，则a的取值范围为(　　)
A．{a|a＜－2} B．{a|a＜－1}
C．{a|a＜7} D．{a|a＜0}
3.已知函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0.若关于x的不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x|m＜x＜m＋4}，则实数c的值为(　　)
A．9 B．8
C．6 D．4
4.下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20.”的一种解法：
因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－10的解集为{x|－1参考上述解法，解答问题：
若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2A．∪
B．(－1，1)∪(1，3)
C．(－3，－1)∪(1，2)
D．∪
5.（多选）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
6.（多选）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是(　　)
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m＜1，或m＞9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m＜0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0＜m≤1}
D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m＞1}
7.已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围为　　　　．
8.设α：≤0，β：x2－(m＋1)x＋m≤0.若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　．
9.设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于任意m∈[1，3]，f(x)＜－m＋4恒成立，则实数x的取值范围为　　　　．
10.已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞），f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是　　　　．
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析：原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}．
答案：B
2.解析：由题图可得数轴上表示的区间为(－∞，－2)∪[3，＋∞），由x2－x－6≤0，解得－2≤x≤3，由x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，由≥0，解得x<－2或x≥3，由≥0，解得x≤－2或x>3，所以数轴上表示的区间与不等式≥0的解集相同．
答案：C
3.解析：因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2，且a<0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1，则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－1答案：A
4.解析：设f(x)＝(t－x)，则其图象开口向下，令f(x)＝0，得x＝t或x＝.因为0t，所以不等式(t－x)>0的解集为.
答案：D
5.解析：对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.
对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；
对于B项，不等式－x2＋x－2>0，即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为 ；
对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；
对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.
答案：CD
6.解析：当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，
解得a当a＝0时，不等式的解集是 ；
当00，
解得x>1或x当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；
当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，
解得x>a或x<1.
答案：BCD
7.解析：由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则a＜0，A正确；
因为－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0，
所以
则b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，B正确；
当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确；
把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此不等式的解集为{x|x≠－1}，D不正确．
答案：AB
8.解析：依题意知
解得故a＋b＝－14.
答案：－14
9.解析：依题意知即
解得－4＜a＜0.
答案：(－4，0)
10.解析：∵当x∈[1，3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
∴a≥－恒成立．
又当x∈[1，3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．
∴－≤－4，
∴a≥－4，故a的最小值为－4.
答案：－4
11.解析：首先k≠0，
设方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根为x1，x2，则x1＜0，x2＜0
所以又k≠0，解得k≤－.
答案：
【B级　能力提升】
1.解析：由已知，可得B＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B＝{－1，0}，根据选项的Venn图可知选项D符合．
答案：D
2.解析：因为p为假命题，所以 p： x∈{x|－1＜x＜3}，x2－a－2＞0为真命题，
故当－1＜x＜3时，a＜x2－2恒成立．
因为当－1＜x＜3时，y＝x2－2的最小值为－2，
所以a＜－2，即a的取值范围为{a|a＜－2}．
答案：A
3.解析：∵函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，
∴＝0，∴b＝，
∴函数y＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝，其图象的对称轴为x＝－.
∵不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x|m＜x＜m＋4}，
∴方程x2＋ax＋－c＝0的根为m，m＋4，
∴m＋m＋4＝－a，解得m＝，∴m＋＝－2.
又∵m2＋am＋－c＝0，∴c＝m2＋am＋＝＝4.
答案：D
4.解析：因为x＝0不是不等式＋<0的解，
所以不等式＋<0等价于＋<0，
所以－2<－<－1或1<－<3，解得－1答案：A
5.解析：由f(x)＝x2－6x＋a开口向上且对称轴为x＝3，
∴要使题设不等式的解集中有且仅有3个整数，则解得5＜a≤8，∴a的可能值可能为6，7，8.
答案：ABC
6.解析：方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是Δ＝(m－3)2－4m≥0，解得m∈(－∞，1]∪[9，＋∞)，A错误；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是解得m∈(－∞，0)，B正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是解得m∈（0，1]，C正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是Δ＝(m－3)2－4m＜0，解得m∈(1，9)，(1，9) (1，＋∞)，故必要条件是m∈{m|m＞1}，故D正确．
答案：BCD
7.解析：由解得x∈(2，3).
因为(2，3)是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，
故f(x)＝x2－3x＋a要满足解得a≤0.
答案：（－∞，0]
8.解析：∵α：≤0，∴α：－2＜x≤1.
∵β：x2－(m＋1)x＋m≤0，∴(x－1)(x－m)≤0.
若α是β的充分条件，则α β，
当m≥1时，β：1≤x≤m，此时不满足α β，故舍去；
当m＜1时，β：m≤x≤1，若满足α β，则m≤－2.
综上，m≤－2.
答案：（－∞，－2]
9.解析：不等式f(x)＜－m＋4，即mx2－mx＋m－5＜0.
记p(m)＝mx2－mx＋m－5＝(x2－x＋1)m－5.
显然，函数y＝p(m)(m∈[1，3])的图象是一条线段，
由不等式恒成立可得
即也就是
故不等式组等价于x2－x－＜0，
解得＜x＜.
所以实数x的取值范围为.
答案：
10.解析：分类讨论：①当x＞0时，f(x)≤|x|，即－x2＋2x－2a≤x，
整理可得a≥－x2＋x，
由恒成立的条件可知a≥(x＞0).
结合二次函数的性质可知：
当x＝时，＝－＋＝，则a≥；
②当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|，即x2＋2x＋a－2≤－x，整理可得：a≤－x2－3x＋2，
由恒成立的条件可知：a≤(－x2＋3x＋2)min(－3≤x≤0).
结合二次函数的性质可知：
当x＝－3或x＝0时，(－x2－3x＋2)min＝2，则a≤2.
综合①②可得，a的取值范围是.2025高考数学一轮复习-第2讲-常用逻辑用语-专项训练
【A级　基础巩固】
1．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A. x R，x2≠x
B. x∈R，x2＝x
C. x R，x2≠x
D. x∈R，x2＝x
2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4．(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈R，2x-1＞0
B. x∈N*，(x－1)2＞0
C. x∈R，lg x＜1
D. x∈R，tan x＝2
5．(多选)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　)
A.l α，l⊥β
B.l⊥α，m⊥β，l⊥m
C.α⊥γ，β∥γ
D.l α，m β，l⊥m
6．命题“ x∈(1，＋∞)，x＞0”的否定为________．
7．若“ x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
8．设命题p： x∈，x＋＞a.若 p是假命题，则实数a的取值范围是________．
【B级　能力提升】
1．下列命题是真命题的是(　　)
A.“a>1，b>1”是“ab>1”的必要条件
B. x∈R，ex>0
C. x∈R，3x>x3
D.a＋b＝0的充要条件是＝－1
2．(多选)设m，n是空间中两条不同直线，α，β是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是(　　)
A.当α⊥β时，“m∥α”是“m∥β”的充要条件
B.当α∥β时，“n⊥α”是“n⊥β”的充要条件
C.当m α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
D.当m α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
3．已知关于x的不等式(x－a)(x－2)>0成立的一个充分不必要条件是－14．“ x∈R，ax2－ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
5．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]，有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．
6．能说明“若f(x)≤f(2)对任意的x∈[0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上单调递增”为假命题的一个函数是________．
参考答案
【A级　基础巩固】
1．解析：全称量词命题“ x∈M，p(x)”的否定为存在量词命题“ x∈M， p(x)”．
答案：D
2．解析：因为|x－2|<1等价于10等价于x<－2或x>1，且(1，3)是(－∞，－2)∪(1，＋∞)的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
答案：A
3．解析：由cos 2α＝0，得cos2α－sin2α＝0，即cosα＝sin α或cos α＝－sin α.故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．
答案：A
4．解析：当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B错误；易知A，C，D正确．
答案：ACD
5．解析：由面面垂直的判定可知A，B，C符合题意；对于D，l α，m β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合题意．
答案：ABC
6．解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，原命题的否定为 x∈(1，＋∞)，x≤0.
答案： x∈(1，＋∞)，x≤0
7．解析：由题意知m≥(tan x)max.∵x∈，∴tan x∈[0，1]，∴m≥1.故m的最小值为1.
答案：1
8．解析：因为 p是假命题，
所以p是真命题．
因为x∈，
所以y＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
所以a＜2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2).
答案：(－∞，2)
【B级　能力提升】
1．解析：对于A，当a＝2，b＝1时，满足ab>1，但不满足a>1，b>1，故“a>1，b>1”不是“ab>1”的必要条件，故A为假命题；对于B，根据指数函数的性质可得，对于 x∈R，ex>0，故B为真命题；对于C，当x＝3时，3x＝x3，故C为假命题；对于D，当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故D为假命题．
答案：B
2．解析：对于A，当α⊥β时，若m∥α，则m∥β或m β或m，β相交，若m∥β，则m∥α或m α或m，α相交，故“m∥α”不是“m∥β”的充分条件，也不是必要条件，故A错误；
对于B，根据面面平行的性质得B正确；
对于C，当m α时，若m⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β，
若α⊥β，则m∥β或m β或m，β相交，故C正确；
对于D，当m α时，若n∥α，则m，n平行或异面，
若m∥n，则n∥α或n α，
所以“n∥α”不是“m∥n”的充分条件也不是必要条件，故D错误．
答案：AD
3．解析：设A＝{x|(x－a)(x－2)>0}，B＝(－1，1)，由题意得B?A.
当a>2时，A＝(－∞，2)∪(a，＋∞)，满足题意；
当a＝2时，A＝(－∞，2)∪(2，＋∞)，满足题意；
当a<2时，A＝(－∞，a)∪(2，＋∞)，则1≤a<2.
综上可得a≥1.
答案：[1，＋∞)
4．解析：由题意可知，“ x∈R，ax2－ax＋1<0”的否定是真命题，
即“ x∈R，ax2－ax＋1≥0”是真命题，
当a＝0时，1≥0，不等式显然成立；
当a≠0时，由二次函数的图象及性质可知，解得0综上，实数a的取值范围为[0，4].
答案：[0，4]
5．解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0).
答案：(－∞，0)
6．解析：令f(x)＝(x－1)2，则f(x)≤f(2)对任意的x∈[0，2]都成立，
但f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以函数f(x)在[0，2]上不是增函数．
答案：f(x)＝(x－1)2(答案不唯一)

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