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专题15　电磁感应中的动量问题
一、动量定理在电磁感应中的应用
在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。
求解的物理量 应用示例
电荷量或速度 －BLΔt＝mv2－mv1，q＝Δt，即－BqL＝mv2－mv1
位移 ＝0－mv0，即－＝0－mv0
时间 －BLΔt＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q、F其他(F其他为恒力)
－＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知位移x、F其他(F其他为恒力)
二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
双杆模型
物理 模型 “一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡
两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减；系统动量是否守恒
分析 方法 力学 观点 通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动
能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和
动量观点 对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属杆所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
题型1　动量定理在电磁感应中的应用
（2024 岳麓区校级模拟）定义“另类加速度”，A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变，则称物体做另类匀变速运动。如图所示，光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域（磁场宽度大于线框边长）。导线框电阻不可忽略，但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1，穿出磁场后速度为v2。下列说法中正确的是（　　）
A．线框在进入磁场的过程中，速度随时间均匀增加
B．线框在进入磁场的过程中，其另类加速度A是变化的
C．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为
D．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为
【解答】解：A、线框在进入磁场的过程中，受到向左的安培力而做减速运动，线框受到的安培力大小为，可知，随着速度减小，线框受到的安培力减小，加速度减小，因此线框在进入磁场的过程中，做加速度逐渐减小的变减速直线运动，速度随时间非均匀减小，故A错误；
B、线框在进入磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得
其中
解得：，可知另类加速度A不变，故B错误；
CD、线框在进入磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得
线框穿出磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得
联立解得：，故C正确，D错误。
故选：C。
（多选）（2024 全国二模）如图所示，倾角为30°、间距为L、足够长的光滑平行金属导轨的底端接阻值为R的电阻；质量为m的金属棒通过跨过轻质定滑轮的细线与质量为4m的重物相连，滑轮左侧细线与导轨平行；金属棒的电阻为R、长度为L，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现将重物由静止释放，其下落高度h时达到最大速度v，重力加速度为g，空气阻力及导轨电阻不计，此过程中（　　）
A．细线的拉力一直减小
B．金属棒所受安培力的冲量大小为
C．金属棒克服安培力做功为
D．该过程所经历的时间为
【解答】解：A．根据题意，对重物和金属棒组成的系统受力分析可得
4mg﹣mgsin30°﹣F安＝5ma
联立可得4mg﹣mgsin30°5ma
随着系统开始运动，加速度沿金属导轨向上，速度逐渐增大，安培力逐渐增大，则系统做加速度逐渐减小的加速运动，直至加速度为0时系统以速度v做匀速直线运动。
对重物受力分析可得
T＝4ma
可得
根据上述分析可知细线的拉力一直增大，速度最大后拉力大小保持不变。故A错误；
B．根据I＝Ft可得，金属棒所受安培力的冲量为
故B正确；
C．整个电路是纯电阻电路，克服安培力做的功全部转化为焦耳热，由能量守恒定律得
解得
根据功能关系可知金属棒克服安培力做的功为
故C正确；
D．对整体，根据动量定理可知
（4mg﹣mgsin30°） Δt﹣I安＝5mv
方程联立可得
故D正确。
故选：BCD。
（多选）（2024 青羊区校级模拟）如图所示，水平粗糙地面上有两磁场区域，左右两磁场区域内的匀强磁场宽度均为L，磁感应强度大小分别为B和2B，左磁场区磁场方向竖直向下，右磁场区磁场方向竖直向上，两磁场间距为2L。一个质量为m、匝数为n、电阻为R、边长为L的正方形金属线框以速度v0水平向右进入左磁场区域，当金属线框刚离开右磁场区域时速度为v1，金属线框离开右磁场区运动一段距离后停下。金属线框与水平面间的动摩擦因数为μ。关于金属线框的运动下列判断正确的是（　　）
A．金属线框从刚进入左磁场区域到最终停止的过程中一直做匀减速直线运动
B．金属线框通过两个磁场区域过程中产生的焦耳热为5μmgL
C．金属线框进入左侧磁场区域过程中，通过金属线框的电荷量为
D．若金属线框进入左磁场区域过程所用时间为t，则金属线框刚好完全进入左侧磁场区域时的速度为v0﹣2μgt
【解答】解：A、金属线框穿过左侧磁场区域的过程中会产生感应电动势，线框中会有感应电流，使线框受到与运动方向相反的安培力，根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律，安培力计算公式，可得线框受到的安培力大小为：F安＝nBLI＝nBL
根据牛顿第二定律可得线框的加速度大小为：，金属线框穿过左侧磁场区域的过程中做减速运动，所受安培力减小，则加速度减小，故金属线框做加速度减小的减速运动。同理，金属线框穿过右侧磁场区域的过程也做加速度减小的减速运动，故A错误；
B、设金属线框通过两个磁场区域全过程中产生的焦耳热为Q，金属线框从开始运动到离开右磁场区域过程，由能量守恒定律得：
解得：，故B正确；
C、由法拉第电磁感应定律可得平均感应电动势为：
由闭合电路的欧姆定律可得平均感应电流为：
通过金属线框的电荷量为：q＝IΔt
解得：
金属线框进入左侧磁场区域的过程中磁通量的增加量为：ΔΦ＝BL2，则此过程通过金属线框的电荷量为：，故C正确；
D、设金属线框刚好完全进入左侧磁场区域时的速度大小为v，以向右为正方向，该过程对金属线框由动量定理得：
其中：
解得：，故D错误。
故选：BC。
（2024 辽宁一模）如图甲所示，间距为L的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨的左端连接一阻值为R的定值电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m、长度为L、电阻为r的导体棒cd放在导轨上。导体棒运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻可忽略不计。
（1）若对导体棒cd施加一水平向右的恒力，使其以速度v向右做匀速直线运动，求此力的大小F1。
（2）若对导体棒cd施加一水平向右的拉力F2，使其沿导轨做初速为零的匀加速直线运动。F2的大小随时间t变化的图像为一条斜率为k（k＞0）的直线。求导体棒cd加速度的大小a。
（3）若对导体棒cd施加一水平向右的瞬时冲量，使其以速度v0开始运动，并最终停在导轨上，在图乙中定性画出导体棒cd两端的电势差Ucd随位移x变化的图像（要求写出推导过程）。
【解答】解：（1）导体棒cd产生的感应电动势为
E1＝BLv
根据闭合电路欧姆定律有
I1
导体棒cd受到的安培力大小为
F安1＝BI1L
联立可得F安1
根据共点力平衡条件有
F1＝F安1
（2）导体棒沿导轨做初速为零的匀加速直线运动，则t时刻速度为
v＝at
根据牛顿第二定律可得
F2﹣F安2＝ma
又F安2
联立可得：F2t+ma
可知F2﹣t图像的斜率为
k
解得：a
（3）由电路规律可知
Ucd
其中E＝BLv
设向右为正方向，由动量定理得
﹣BLΔt＝mv﹣mv0
又Δt
联立可得Ucdx
导体棒cd两端的电势差Ucd随位移x变化的图像如下图所示。
。
题型2　动量守恒定律在电磁感应中的应用
（2024 泉州模拟）如图，在水平面上有两条光滑平行导电导轨，匀强磁场垂直于导轨所在的平面，磁感应强度的大小为B，两根材质相同、长度相等的金属杆P、Q间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，杆P质量是杆Q的两倍，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计。杆P以初速度v0滑向杆Q，为使两杆不相碰，则杆Q固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【解答】解：已知两金属杆材质相同、长度相等，杆P质量是杆Q的两倍，可得杆P的横截面积是杆Q的两倍，根据电阻定律，可知杆P的电阻是杆Q的，设杆P的质量为2m，电阻为R，则杆Q的质量为m，电阻为2R。
杆Q固定时，设最初摆放两杆时的最少距离为x1，这也是杆P速度减到零的距离，以向右为正方向，对杆P，根据动量定理得：
﹣BL0﹣2mv0
其中：
解得：
杆Q不固定时，设最初摆放两杆时的最少距离为x2，这也是杆P、Q的最大相对位移。杆P、Q相对运动时受到等大反向的安培力作用，两杆组成的系统所受合力为零，此系统动量守恒，最终两杆相对静止，以相同的速度做匀速直线运动，设最终两杆的速度均为v，以向右为正方向，则有：
2mv0＝（2m+m）v，解得：
以向右为正方向，对杆Q，根据动量定理得：
BLmv﹣0
其中：
解得：
可得：x1：x2＝3：1，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（多选）（2024 南宁二模）如图所示，间距L＝1m的粗糙倾斜金属导轨与水平面间的夹角θ＝37°，其顶端与阻值R＝1Ω的定值电阻相连，间距相同的光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，两导轨都足够长且在AA'处平滑连接，AA'至DD'均是光滑绝缘带，保证倾斜导轨与水平导轨间电流不通。倾斜导轨处有方向垂直倾斜导轨所在平面向上、磁感应强度大小B1＝0.2T的匀强磁场，水平导轨处有方向竖直向上、磁感应强度大小B2＝0.5T的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m＝0.2kg，两棒接入电路部分的电阻均为R，初始时刻，导体棒1放置在倾斜导轨上，且距离AA′足够远，导体棒2静置于水平导轨上，已知倾斜导轨与导体棒1间的动摩擦因数μ＝0.5。现将导体棒1由静止释放，运动过程中导体棒1未与导体棒2发生碰撞。取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒1在倾斜导轨上下滑时做匀加速直线运动
B．导体棒1滑至AA'瞬间的速度大小为20m/s
C．稳定时，导体棒2的速度大小为10m/s
D．整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为2C
【解答】解：A.由于导体棒1释放点离AA'足够远，导体棒l滑至AA'时一定达到稳定状态，则导体棒l在倾斜导轨上下滑时先做加速直线运动，后做匀速直线运动，故A错误；
B.由平衡可得即有
B1IL+μmgcos37°＝mgsin37°
根据闭合电路欧姆定律及法拉第电磁感应定律有
I
解得
v＝20m/s
故B正确；
C.规定向右为正方向，导体棒1、2组成的系统由动量守恒可得
mv＝2mv'
则稳定时，导体棒2的速度大小为
v'＝10m/s
故C正确；
D.规定向左为正方向。对导体棒2由动量定理有
B2LΔt＝mv'
即
B2Lq＝mv'
电荷量为
q＝4C
故D错误。
故选：BC。
（2020 上饶三模）如图所示，两根足够长的光滑水平金属导轨固定在同一水平面上，间距为L，导轨左端与开关S、电池（电动势为E，内阻为r）相连，导轨间的矩形窄区abcd（图中的虚线框）的左、右两侧存在磁感应强度大小均为B、方向均竖直向上的匀强磁场（未画出），窄区内无磁场且宽度不计，窄区内的导轨上涂有光滑的绝缘漆。有两根长度均为L、电阻均为r的金属棒AB、CD，CD垂直放在窄区内的导轨上，AB垂直放在窄区左侧的导轨上。闭合开关S，AB由静止开始运动，一段时间后做匀速运动，断开S时AB与CD发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知AB、CD的质量分别为4m、m，两棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求：
（1）碰前瞬间AB的速度大小v0；
（2）开关S由闭合到断开的这段时间内，电源提供的能量W电；
（3）碰后瞬间AB的速度大小v以及从碰后到最终状态过程中AB中产生的焦耳热Q。
【解答】解：（1）碰撞前AB匀速运动，电流为零，所以切割磁感应线产生的感应电动势为E，
根据E＝BLv0可得：
v0；
（2）对AB棒根据动量定理可得：BL Δt＝4mv0﹣0
其中通过AB某横截面的电荷量q Δt
产生的电能为W电＝EIΔt
联立解得：W电；
（3）AB和CD碰撞过程中动量守恒，则有：
4mv0＝4mv+mv1，
根据能量守恒定律可得：44mv2，
联立解得：v，v1；
最后二者都匀速运动，根据动量守恒定律可得4mv0＝5mv共，
解得v共，
根据能量守恒定律可得：Q总45mv共2，
所以AB中产生的焦耳热QQ总。
（2024春 南岸区校级月考）如图所示，光滑的U形导轨处于水平面内，导轨的一端固定一定值电阻R，导轨足够长且不计导轨的电阻。导轨间存在竖直向上的匀强磁场。一根电阻忽略不计的导体棒a以初速度v0进入磁场开始运动，运动过程中导体棒a与导轨始终接触良好。将运动过程中a的位移记为x，时间记为t，速度记为v，动能记为Ek。下列v或Ek随x或t变化趋势正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、设导体棒a的速度为v时受到的安培力大小为F，则F＝BIL＝BL
根据牛顿第二定律得
F＝ma
则得a
随着速度的减小，导体棒a的加速度减小，v﹣t图像斜率的绝对值减小，v﹣t图像应为曲线，故A错误；
B、t时间内，通过导体棒的电荷量为
导体棒a受到的安培力冲量向右，大小为
I＝BL t＝BLq
以导体棒a为研究对象，取向左为正方向，由动量定理得
﹣I＝mv﹣mv0
解得：，则v﹣x图像为向下倾斜的直线，故B正确；
CD、导体棒的动能为，可知Ek﹣x图像是开口向上的二次函数，故CD错误。
故选：B。
（多选）（2023秋 未央区校级期末）如图所示为某精密电子器件防撞装置，电子器件T和滑轨PQNM固定在一起，总质量为m1，滑轨内置匀强磁场的磁感应强度为B。受撞滑块K套在PQ，MN滑轨内，滑块K上嵌有闭合线圈abcd，线圈abcd总电阻为R，匝数为n，bc边长为L，滑块K（含线圈）质量为m2，设T、K一起在光滑水平面上以速度v0向左运动，K与固定在水平面上的障碍物C相撞后速度立即变为零。不计滑块与滑轨间的摩擦作用，ab大于滑轨长度，对于碰撞后到电子器件T停下的过程（线圈bc边与器件T未接触），下列说法正确的是（　　）
A．线圈中感应电流方向为abcda
B．线圈受到的最大安培力为
C．电子器件T做匀减速直线运动
D．通过线圈某一横截面电荷量为
【解答】解：A．根据右手定则可知线圈中感应电流方向为adcba，故A错误；
B．开始运动时速度最大，感应电动势最大，根据法拉第电磁感应定律可得产生的感应电动势为：E＝nBLv0
根据闭合电路欧姆定律：
受到的安培力为：F＝nBIL
联立可得线圈受到的最大安培力为：，故B正确；
C．对T根据牛顿第二定律可得：F＝m1a，即：m1a，可知电子器件T做加速度减小的减速直线运动，故C错误；
D．取向右为正方向，对T根据动量定理：
其中：
联立可得通过线圈某一横截面电荷量为：，故D正确。
故选：BD。
（多选）（2024春 安徽期中）如图所示，在绝缘的光滑水平面上有一垂直水平面向下的匀强磁场分布在宽为s的区域内，磁感应强度为B。有一个边长为d（d＜s）的正方形均匀导线框abce，以初速度2v0垂直磁场边界进入磁场，当导线框的ce边刚进入磁场时线框速度为v0。已知线框的质量为m，下列说法正确的是（　　）
A．ab边刚进入磁场时，c、e间电压为
B．ce边刚进入磁场时，a、b间的电压为
C．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动能的变化量为
D．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动量减少量的大小为mv0
【解答】解：A．ab边刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律有
E＝2Bdv0
设线框的电阻为R，则ce边上的电压为
故A正确；
B．ce边刚进入磁场时，回路中电流为0，a、b间的电压为Bdv0，故B错误；
CD．线框进入磁场时，安培力的冲量为
IBdt
由于进入磁场与离开磁场的过程中，线框磁通量的变化大小相同，所以安培力的冲量大小相等；又根据动量定理有
所以ce边从进入磁场与离开磁场的过程，线框动量大小的减小量为mv0，ce边离开磁场时速度变为零，ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动能的变化量为，故C错误、D正确。
故选：AD。
（多选）（2024春 龙岩期末）我国自主设计建造的航空母舰“福建舰”采用了世界上最先进的电磁弹射技术。图甲为飞机在航空母舰甲板上起飞的电磁弹射装置，其工作原理可简化为如图乙所示，足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的电容器相连，与机身相连的金属牵引杆ab垂直静置在轨道上，开关S掷于1位置后，飞机向右加速到速度为v时与牵引杆ab脱离并起飞。已知两金属轨道电阻不计，间距为L，磁感应强度大小为B，ab杆质量为m0、电阻为R，飞机质量为m，不计飞机与甲板之间的摩擦和空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．飞机起飞过程做匀加速直线运动
B．飞机起飞过程做加速度减小的加速直线运动
C．飞机起飞过程中通过ab杆的电荷量为
D．飞机起飞瞬间，开关S自动掷于2位置，ab杆能再向前运动的最大距离为
【解答】解：AB、飞机起飞过程向右加速，金属杆ab切割磁感线产生反电动势，随着速度的增大，感应电流减小，飞机受到的向左的安培力减小，加速度减小，所以飞机起飞过程做加速度减小的加速直线运动，故A错误，B正确；
C、飞机起飞过程中，对金属杆与飞机，取向右为正方向，由动量定理得
又
联立可得通过ab杆的电荷量为
，故C错误；
D、飞机起飞瞬间，开关S自动掷于2位置，对金属杆，取向右为正方向，由动量定理得
﹣∑BiLt＝0﹣m0v
又
则有
解得ab杆能再向前运动的最大距离为，故D正确。
故选：BD。
（2024春 福州期末）如图所示，固定的光滑斜面倾角为30°，斜面上宽度为2L的矩形区域内存在垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一边长为L、电阻为R、质量为m的单匝正方形线框efgh从距离磁场上边缘为d处由静止开始沿斜面下滑。已知线框进、出磁场均做变速运动且gh边进、出磁场时速度相等，d＞L，重力加速度为g。求：
（1）gh边刚进入磁场时受到的安培力大小FA；
（2）线框穿越磁场全过程产生的焦耳热Q；
（3）线框进入磁场所经历的时间t。
【解答】解：（1）设线框gh边刚进入磁场时的速度为v1。对gh边进入磁场前线框的运动过程，由机械能守恒定律有
gh边刚进入磁场时回路中的感应电流为
gh边此时受到的安培力大小
FA＝BIL
解得：FA
（2）设线框全部进入磁场时速度为v，从线框全部进入磁场到gh边刚出磁场的过程，由机械能守恒定律有
线框穿越磁场的全过程，由能量守恒定律有
解得：Q＝2mgL
（3）对于线框进入磁场的过程，取沿斜面向下为正方向，根据动量定理有
线框进入磁场过程中产生的电动势为
线框中的电流为
解得：
（2024秋 天心区校级月考）如图所示，间距L＝1m的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹角θ＝37°，在其顶端与阻值为2R的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长且在AA'处平滑连接，AA'至DD'间是绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为B1＝0.5T的匀强磁场，水平轨道处有竖直向上、磁感应强度大小为B2＝1T的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m＝0.1kg，两棒接入电路部分的电阻均为R。初始时刻，导体棒1放置在倾斜轨道上，且距离AA'足够远，导体棒2静置于水平轨道上。已知倾斜轨道与导体棒1间的动摩擦因数μ＝0.5，R＝1Ω。现将导体棒1由静止释放，运动过程中未与导体棒2发生碰撞。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，不计金属棒1经过AA'时的机械能损失。求：
（1）导体棒1滑至DD'瞬间，导体棒2的加速度大小；
（2）整个运动过程中通过导体棒2的电荷量。
【解答】解：（1）设导体棒1在倾斜轨道上做匀速运动时的速度为v1，由平衡条件可得：mgsinθ﹣μmgcosθ﹣B1I1L＝0
由法拉第电磁感应定律可得：E1＝B1Lv1
由欧姆定律可得：
联立解得：v1＝2.4m/s
导体棒1滑到DD′的瞬间，设导体棒中的电流为I2，则有：
由牛顿第二定律可得：B2LI2＝ma
联立代入数据解得：a＝12m/s2；
（2）导体棒1、2最终以相同的速度一起做匀速直线运动，对1、2组成的系统，以v1方向为正方向，由动量守恒定律可得：mv1＝2mv2
对导体棒2，由动量定理可得：
又，，联立解得：q＝0.12C。
答：（1）导体棒1滑至DD'瞬间，导体棒2的加速度大小为12m/s2；
（2）整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为0.12C。
（2024春 重庆期末）如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L；导轨上P、Q两点连线与导轨垂直，PQ左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0水平向右运动。M、N质量均为m、在导轨间的电阻均为R，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好。感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。
（1）求初始时刻杆N受到的安培力大小；
（2）若M、N在PQ左侧未相撞，N到达边界PQ时速度大小为，求此时M的速度大小；
（3）在（2）的条件下，若M到达边界PQ时速度大小为，求M、N最终速度大小。
【解答】解：（1）初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0水平向右运动，则M产生的感应电动势
E＝BLv0
闭合回路中的电流为
则初始时刻杆N受到的安培力大小
（2）若M、N在PQ左侧未相撞，在这个过程中M、N所受安培力大小相等、方向相反，M、N组成的系统所受合外力为零，故M、N组成的系统动量守恒，N到达边界PQ时速度大小为，取向右为正方向，根据动量守恒定律，可得
解得
（3）设M进入PQ右侧时，N的速度为vN，从N进入PQ右侧到M进入PQ右侧的过程中，对M分析，取向右为正方向，由动量定理有
对N分析，取向右为正方向，由动量定理有
M、N所受安培力均水平向左，且大小相等，则
ΔIM＝ΔIN
解得
M到达边界PQ右侧后，M、N所受安培力大小相等、方向相反，M、N组成的系统所受合外力为零，故M、N组成的系统动量守恒，若两金属杆不发生碰撞，最终两金属杆会达到共同的速度，共同向右运动；若在运动过程中两金属杆发生碰撞，系统动量同样守恒，由于两金属杆质量相等，碰撞后运动方向不会发生改变，最终两金属杆会达到共同的速度，共同向右运动，取向右为正方向，则可列动量守恒
解得
即M、N最终速度大小为。
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专题15　电磁感应中的动量问题
一、动量定理在电磁感应中的应用
在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。
求解的物理量 应用示例
电荷量或速度 －BLΔt＝mv2－mv1，q＝Δt，即－BqL＝mv2－mv1
位移 ＝0－mv0，即－＝0－mv0
时间 －BLΔt＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q、F其他(F其他为恒力)
－＋F其他Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知位移x、F其他(F其他为恒力)
二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
双杆模型
物理 模型 “一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡
两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减；系统动量是否守恒
分析 方法 力学 观点 通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动
能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和
动量观点 对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属杆所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
题型1　动量定理在电磁感应中的应用
（2024 岳麓区校级模拟）定义“另类加速度”，A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变，则称物体做另类匀变速运动。如图所示，光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域（磁场宽度大于线框边长）。导线框电阻不可忽略，但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1，穿出磁场后速度为v2。下列说法中正确的是（　　）
A．线框在进入磁场的过程中，速度随时间均匀增加
B．线框在进入磁场的过程中，其另类加速度A是变化的
C．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为
D．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为
（多选）（2024 全国二模）如图所示，倾角为30°、间距为L、足够长的光滑平行金属导轨的底端接阻值为R的电阻；质量为m的金属棒通过跨过轻质定滑轮的细线与质量为4m的重物相连，滑轮左侧细线与导轨平行；金属棒的电阻为R、长度为L，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现将重物由静止释放，其下落高度h时达到最大速度v，重力加速度为g，空气阻力及导轨电阻不计，此过程中（　　）
A．细线的拉力一直减小
B．金属棒所受安培力的冲量大小为
C．金属棒克服安培力做功为
D．该过程所经历的时间为
（多选）（2024 青羊区校级模拟）如图所示，水平粗糙地面上有两磁场区域，左右两磁场区域内的匀强磁场宽度均为L，磁感应强度大小分别为B和2B，左磁场区磁场方向竖直向下，右磁场区磁场方向竖直向上，两磁场间距为2L。一个质量为m、匝数为n、电阻为R、边长为L的正方形金属线框以速度v0水平向右进入左磁场区域，当金属线框刚离开右磁场区域时速度为v1，金属线框离开右磁场区运动一段距离后停下。金属线框与水平面间的动摩擦因数为μ。关于金属线框的运动下列判断正确的是（　　）
A．金属线框从刚进入左磁场区域到最终停止的过程中一直做匀减速直线运动
B．金属线框通过两个磁场区域过程中产生的焦耳热为5μmgL
C．金属线框进入左侧磁场区域过程中，通过金属线框的电荷量为
D．若金属线框进入左磁场区域过程所用时间为t，则金属线框刚好完全进入左侧磁场区域时的速度为v0﹣2μgt
（2024 辽宁一模）如图甲所示，间距为L的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨的左端连接一阻值为R的定值电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m、长度为L、电阻为r的导体棒cd放在导轨上。导体棒运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻可忽略不计。
（1）若对导体棒cd施加一水平向右的恒力，使其以速度v向右做匀速直线运动，求此力的大小F1。
（2）若对导体棒cd施加一水平向右的拉力F2，使其沿导轨做初速为零的匀加速直线运动。F2的大小随时间t变化的图像为一条斜率为k（k＞0）的直线。求导体棒cd加速度的大小a。
（3）若对导体棒cd施加一水平向右的瞬时冲量，使其以速度v0开始运动，并最终停在导轨上，在图乙中定性画出导体棒cd两端的电势差Ucd随位移x变化的图像（要求写出推导过程）。
题型2　动量守恒定律在电磁感应中的应用
（2024 泉州模拟）如图，在水平面上有两条光滑平行导电导轨，匀强磁场垂直于导轨所在的平面，磁感应强度的大小为B，两根材质相同、长度相等的金属杆P、Q间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，杆P质量是杆Q的两倍，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计。杆P以初速度v0滑向杆Q，为使两杆不相碰，则杆Q固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
（多选）（2024 南宁二模）如图所示，间距L＝1m的粗糙倾斜金属导轨与水平面间的夹角θ＝37°，其顶端与阻值R＝1Ω的定值电阻相连，间距相同的光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，两导轨都足够长且在AA'处平滑连接，AA'至DD'均是光滑绝缘带，保证倾斜导轨与水平导轨间电流不通。倾斜导轨处有方向垂直倾斜导轨所在平面向上、磁感应强度大小B1＝0.2T的匀强磁场，水平导轨处有方向竖直向上、磁感应强度大小B2＝0.5T的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m＝0.2kg，两棒接入电路部分的电阻均为R，初始时刻，导体棒1放置在倾斜导轨上，且距离AA′足够远，导体棒2静置于水平导轨上，已知倾斜导轨与导体棒1间的动摩擦因数μ＝0.5。现将导体棒1由静止释放，运动过程中导体棒1未与导体棒2发生碰撞。取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒1在倾斜导轨上下滑时做匀加速直线运动
B．导体棒1滑至AA'瞬间的速度大小为20m/s
C．稳定时，导体棒2的速度大小为10m/s
D．整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为2C
（2020 上饶三模）如图所示，两根足够长的光滑水平金属导轨固定在同一水平面上，间距为L，导轨左端与开关S、电池（电动势为E，内阻为r）相连，导轨间的矩形窄区abcd（图中的虚线框）的左、右两侧存在磁感应强度大小均为B、方向均竖直向上的匀强磁场（未画出），窄区内无磁场且宽度不计，窄区内的导轨上涂有光滑的绝缘漆。有两根长度均为L、电阻均为r的金属棒AB、CD，CD垂直放在窄区内的导轨上，AB垂直放在窄区左侧的导轨上。闭合开关S，AB由静止开始运动，一段时间后做匀速运动，断开S时AB与CD发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知AB、CD的质量分别为4m、m，两棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求：
（1）碰前瞬间AB的速度大小v0；
（2）开关S由闭合到断开的这段时间内，电源提供的能量W电；
（3）碰后瞬间AB的速度大小v以及从碰后到最终状态过程中AB中产生的焦耳热Q。
（2024春 南岸区校级月考）如图所示，光滑的U形导轨处于水平面内，导轨的一端固定一定值电阻R，导轨足够长且不计导轨的电阻。导轨间存在竖直向上的匀强磁场。一根电阻忽略不计的导体棒a以初速度v0进入磁场开始运动，运动过程中导体棒a与导轨始终接触良好。将运动过程中a的位移记为x，时间记为t，速度记为v，动能记为Ek。下列v或Ek随x或t变化趋势正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）（2023秋 未央区校级期末）如图所示为某精密电子器件防撞装置，电子器件T和滑轨PQNM固定在一起，总质量为m1，滑轨内置匀强磁场的磁感应强度为B。受撞滑块K套在PQ，MN滑轨内，滑块K上嵌有闭合线圈abcd，线圈abcd总电阻为R，匝数为n，bc边长为L，滑块K（含线圈）质量为m2，设T、K一起在光滑水平面上以速度v0向左运动，K与固定在水平面上的障碍物C相撞后速度立即变为零。不计滑块与滑轨间的摩擦作用，ab大于滑轨长度，对于碰撞后到电子器件T停下的过程（线圈bc边与器件T未接触），下列说法正确的是（　　）
A．线圈中感应电流方向为abcda
B．线圈受到的最大安培力为
C．电子器件T做匀减速直线运动
D．通过线圈某一横截面电荷量为
（多选）（2024春 安徽期中）如图所示，在绝缘的光滑水平面上有一垂直水平面向下的匀强磁场分布在宽为s的区域内，磁感应强度为B。有一个边长为d（d＜s）的正方形均匀导线框abce，以初速度2v0垂直磁场边界进入磁场，当导线框的ce边刚进入磁场时线框速度为v0。已知线框的质量为m，下列说法正确的是（　　）
A．ab边刚进入磁场时，c、e间电压为
B．ce边刚进入磁场时，a、b间的电压为
C．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动能的变化量为
D．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动量减少量的大小为mv0
（多选）（2024春 龙岩期末）我国自主设计建造的航空母舰“福建舰”采用了世界上最先进的电磁弹射技术。图甲为飞机在航空母舰甲板上起飞的电磁弹射装置，其工作原理可简化为如图乙所示，足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的电容器相连，与机身相连的金属牵引杆ab垂直静置在轨道上，开关S掷于1位置后，飞机向右加速到速度为v时与牵引杆ab脱离并起飞。已知两金属轨道电阻不计，间距为L，磁感应强度大小为B，ab杆质量为m0、电阻为R，飞机质量为m，不计飞机与甲板之间的摩擦和空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．飞机起飞过程做匀加速直线运动
B．飞机起飞过程做加速度减小的加速直线运动
C．飞机起飞过程中通过ab杆的电荷量为
D．飞机起飞瞬间，开关S自动掷于2位置，ab杆能再向前运动的最大距离为
（2024春 福州期末）如图所示，固定的光滑斜面倾角为30°，斜面上宽度为2L的矩形区域内存在垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一边长为L、电阻为R、质量为m的单匝正方形线框efgh从距离磁场上边缘为d处由静止开始沿斜面下滑。已知线框进、出磁场均做变速运动且gh边进、出磁场时速度相等，d＞L，重力加速度为g。求：
（1）gh边刚进入磁场时受到的安培力大小FA；
（2）线框穿越磁场全过程产生的焦耳热Q；
（3）线框进入磁场所经历的时间t。
（2024秋 天心区校级月考）如图所示，间距L＝1m的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹角θ＝37°，在其顶端与阻值为2R的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长且在AA'处平滑连接，AA'至DD'间是绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为B1＝0.5T的匀强磁场，水平轨道处有竖直向上、磁感应强度大小为B2＝1T的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m＝0.1kg，两棒接入电路部分的电阻均为R。初始时刻，导体棒1放置在倾斜轨道上，且距离AA'足够远，导体棒2静置于水平轨道上。已知倾斜轨道与导体棒1间的动摩擦因数μ＝0.5，R＝1Ω。现将导体棒1由静止释放，运动过程中未与导体棒2发生碰撞。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，不计金属棒1经过AA'时的机械能损失。求：
（1）导体棒1滑至DD'瞬间，导体棒2的加速度大小；
（2）整个运动过程中通过导体棒2的电荷量。
（2024春 重庆期末）如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L；导轨上P、Q两点连线与导轨垂直，PQ左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0水平向右运动。M、N质量均为m、在导轨间的电阻均为R，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好。感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。
（1）求初始时刻杆N受到的安培力大小；
（2）若M、N在PQ左侧未相撞，N到达边界PQ时速度大小为，求此时M的速度大小；
（3）在（2）的条件下，若M到达边界PQ时速度大小为，求M、N最终速度大小。
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