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浙江省嘉兴市2023-2024学年七年级上学期数学期末试卷
一、选择题（本题有 10 小题, 每小题有 4 个选项, 其中有且只有一个正确, 请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格, 每小题 3 分, 共 30 分
1．（2024七上·嘉兴期末）-2024 的绝对值是（ ）
A．2024 B．-2024 C． D．
2．（2024七上·嘉兴期末）根据国家文旅部统计， 2024 年元旦国内旅游出游达到 1.35 亿人次， 实现国内旅游收入 797.3 亿元。"797.3 亿" 用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·嘉兴期末）在实数 中， 属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．1.010010001
4．（2024七上·嘉兴期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七上·嘉兴期末）如图， 已知点 是线段 上一点， 点 是 的中点， 点 是 的中点. 若 ，则 的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．（2024七上·嘉兴期末） 已知 ， 且 ， 则 一定满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·嘉兴期末） 已知 ， 则代数式 的值为（ ）
A．21 B．15 C．3 D．-3
8．（2024七上·嘉兴期末）如图， 射线 在 的内部. 若 ， ， 则 为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七上·嘉兴期末）中国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？若设木头长为 x尺，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七上·嘉兴期末）小霞同学定义了两种新运算： ( 为实数)， 例如： . 若 为实数， 则下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（2024七上·嘉兴期末）4的平方根为　 　．
12．（2024七上·嘉兴期末） 如图， 直线 与 相交于点 . 若 ，则 的度数为　 　.
13．（2024七上·嘉兴期末） 用代数式表示 " 的 2 倍与 3 的差" 为　 　。
14．（2024七上·嘉兴期末） 若整数 满足 ， 则 的值为　 　。
15．（2024七上·嘉兴期末） 已知 为实数，关于 的方程 的解为 ，则关于 的方程 的解为 　 　.
16．（2024七上·嘉兴期末）将①和②两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中. 图（1）中阴影部分的周长和为 ， 图（2）中阴影部分的周长和为 ， 且 . 若 ， ， 则正方形（1）的边长为　 　.
三、解答题 (本题有 8 小题, 第17-22题每题 6 分, 第23、24题每题 8 分, 共 52 分
17．（2024七上·嘉兴期末）计算：
（1） .
（2） .
18．（2024七上·嘉兴期末）解方程：
（1） .
（2） .
19．（2024七上·嘉兴期末）如图， 已知点 在直线 外，按下列要求作图 (保留作图痕迹)：
（1） 作直线 ， 射线 .
（2） 在直线 上确定一点 ， 使得 最小.
20．（2024七上·嘉兴期末）先化简， 再求值： ， 其中 .
21．（2024七上·嘉兴期末）如图， 射线 在 的内部， 平分 .
（1） 当 时， 求 的度数.
（2） 若 ， 求 的度数.
22．（2024七上·嘉兴期末）观察下面的等式： ，根据其中的规律，解决下列问题：
（1）【尝试】写出关于 的等式。
（2）【归纳】写出关于 的等式。
（3）【运用】计算 的值.
23．（2024七上·嘉兴期末）根据表中的素材， 完成下面的任务：
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材 1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支 10 元，笔记本每本 5 元.
素材 2 学校用 1100 元购买这种钢笔和笔记本， 其数量之比为 .
素材 3 文具店开展 "满送" 优惠活动，每满 130 元送1 张兑换券， 满 260 元送 2 张兑换券， 以此类推. 学校花费 1100 元后， 将兑换券全部用于商品兑换最终， 笔记本与钢笔数量相同.
（1）【任务一：探究购买方案】分别求出换前购买钢笔和笔记本的数量.
（2）【任务二：确定兑换方式】求出用于兑换钢笔的兑换券的张数.
24．（2024七上·嘉兴期末）已知点 在数轴上， (点 在点 的左侧)， (点 在点 的左侧). 点 分别是线段 上的动点， 记 两点之间的最小距离为 ， 最大距离为 。
（1）如图， 若点 表示的数为 -2 ， 点 表示的数为 1 ， 求 的值.
（2）如图， 若点 表示的数为 ， 求出此时点 所表示的数.
（3）若 ，请直接写出 的值（可用含 的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的性质即可得出答案
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：797.3亿=79730000000= .
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的定义即可得，即将一个数表示成的形式，其中，n为整数）．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 都是有理数，而，是无理数.
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义（无理数是指不能表示为两个整数比（即分数形式）的实数），进行判断即可．
4．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并．本选项不符合题意；
B、5xy-4xy=xy，原式计算错误．本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，原式计算错误．本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
合并同类项时，系数相加，字母与字母的指数不变．
5．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，点E是BC的中点，
∴，.
∴.
故答案为：B.
【分析】由线段的中点可得，，进而根据线段的和得到，即可解答.
6．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵m-n=0，
∴m=n，
∵m-a=n+b，
∴n-a=n+b，
∴a=-b，
∴a+b=0，
故答案为：D.
【分析】先得到m=n，然后代入m-a=n+b得到a=-b，最后得到a+b=0，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴9-2y-4x=9-2(2x+y)=9-2×(-6)=21.
故答案为：A.
【分析】根据9-2y-4x=9-2(2x+y)，将2x+y=-6代入即可求解．
8．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD，
∴α=β+β-∠COD.
∴∠COD=2β-α.
故答案为：D.
【分析】由∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD可得到结论.
9．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得 .
故答案为：C.
【分析】根据用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，可以列出相应的方程，本题得以解决．
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：选项A：，，即，故选项A不符合题意；
选项B：，，即，故选项B不符合题意；
选项C：，，即，故选项C不符合题意；
选项D：，，即，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据新运算分别求出各选项，然后进行判断即可．
11．【答案】2
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：4的平方根为2，
故答案为：2.
【分析】本题考查平方根概念，正确理解概念是解决本题关键.
12．【答案】40°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知，∠COD=∠AOB=40°.
【分析】根据对顶角相等即可求解.
13．【答案】2a-3
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得2a-3．
故答案为：2a-3．
【分析】a的2倍即为2a，再减去3即可．
14．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵7＜9＜15，
∴，即，即a=3.
故答案为：3.
【分析】先找到一个平方数介于7、15之间，然后求算术平方根即可.
15．【答案】7
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
常数项移到右边，有.
等号右边因式分解，得.
设y-2=x，则有，而由条件可知，解x=5.
∴y-2=5，即y=7.
故答案为：7.
【分析】运用整体代入法思想解答即可.
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设AB=x，正方形①边长为a，正方形②边长为b.
∵AD=17，
∴图（1）中阴影部分的周长和为m=2(17-a)+2(17-b)+2(x-a)+2(x-b)=4x+68-4a-4b.
∵AM=ND，
∴图（2）中阴影部分的周长和为。
∵m-n=9，
∴4x+68-4a-4b-(4x-4b-a+51)=9，化简得17-3a=9，即.
∴正方形（1）的边长为.
故答案为：.
【分析】解题的关键是结合图形表示出图①和图②中阴影部分的周长．设AB=x，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决．
17．【答案】（1）解：原式=-1+2=1.
（2）解：原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）按有理数的加减混合运算从左到右计算即可；
（2）先分别计算开立方、括号内减法以及指数，再算乘法，最后算加法.
18．【答案】（1）解：1+2x=7，
移项得：2x=7-1，
合并同类项得：2x=6，
系数化为1得：x=3.
（2）解：去分母，得：3y-6=2（2y+1）.
去括号得：3y-6=4y+2，
移项得：3y-4y=2+6，
合并同类项得：-y=8，
系数化为1得：y=-8.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，把未知数的系数化“1”，从而可得答案；
（2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
19．【答案】（1）解：如下图所示：
（2）解：连接CA，CA与l的交点即为M，此时AM+CM最小.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据直线定义画出直线AB即可；根据题意画射线BC即可；
（2）因为两点之间，线段最短，因此连接AC与直线l交于一点，该点即为点M，此时AM+CM最小.
20．【答案】解：
.
代入a=-2，则原式=5×（-2）2=20.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先，需要对给定的代数式进行化简. 这涉及到去括号和合并同类项的步骤. 接着，将给定的a值代入化简后的式子中，以求得最终的数值结果.
21．【答案】（1）解：∵∠AOB=130°，且OD平分∠AOB，
∴2∠BOD=∠AOB，即∠BOD=65°.
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°.
∴∠COD=∠COB-∠BOD=90°-65°=25°.
（2）解：∵∠BOD=2∠AOC，
∴90°-∠COD=2(∠BOD-∠COD).
∴∠BOD=2∠COD.
∴∠COD=90°÷3=30°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据条件“ 与“OD平分∠AOB”求出∠BOD的度数，然后根据∠COD=∠COB-∠BOD，即可得出答案；
（2）根据∠BOC=90°以及∠BOD与∠AOC的倍数关系，可得出∠COD是直角∠BOC的三分之一，用90°除以3即可得出答案.
22．【答案】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：
.
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）（2）由题目所给的等式可知，等于两数之和，第1个数固定不变，为1，而第二个数是分数，其中分子固定为2，分母则为n，因此可归纳出，而代入n=6即可算出a6；
（3）根据（2）的规律发现，，第1项的分子与第3项的分母相消，第2项的分子与第4项的分母相消……，到最后剩下，计算即可.
23．【答案】（1）解：设兑换前购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为.
根据题意，得，解得x=80.
故.
即购买钢笔80支，购买笔记本60本.
（2）解：1100÷130=8……60，可知学校花费1100元后，能兑换8张兑换券.
由（1）可知，使用兑换券前购买了钢笔80支，笔记本60本.
则设用了a张兑换券用于兑换钢笔，则8-a张兑换券用于兑换笔记本，根据题意，有
80+2a=60+4（8-a），解得a=2.
即用于兑换钢笔的兑换券的张数为2.
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设兑换前购买钢笔的数量为x，则根据钢笔与笔记本的数量之比得出笔记本的数量为表示为，然后根据“钢笔花费+笔记本花费=1100元”列出方程，求解即可；
（2）先求出花费1100元能有多少张兑换券，然后设用了a张兑换券用于兑换钢笔，同时表示出用于兑换笔记本的兑换券的张数，再根据“80+钢笔兑换数=60+笔记本兑换数”列出方程，求解即可.
24．【答案】（1）解：根据数轴，点A表示的数为-2，点B表示的数为-1，点C表示的数为1，点D表示的数为3.
因此，d1=1-（-1）=2，d2=3-（-2）=5.
（2）解：分情况讨论：
①如图1所示，AB在CD的左侧。设B表示的数为x，则A表示的数为x-1
由题意得：3-（x-1）=2（1-x），解得x=-2，此时B表示的数为-2；
②如图2所示，当线段AB与线段CD有重合部分时，d1=0，这不符合题意；
③如图3所示，AB在CD的右侧. 设B表示的数为x，则A表示的数为x-1.
由题意得：x-1=2(x-1-3)，解得x=7，此时B表示的数为7.
综上所述，B表示的数为-2或7.
（3）解：，d1=m-3或0.
【知识点】一元一次方程的其他应用；数学思想；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（3）分情况讨论：
当线段AB与线段CD无重合部分时，d1=m-3(m＞3).
当线段AB与线段CD有重合部分时，d1=0.
综上所述，d1=m-3或0.
【分析】（1）直接根据数轴上的点的坐标计算两点之间的距离；
（2）需要分情况讨论线段AB与CD的位置关系，并建立方程求解；
（3）同样需要分情况讨论线段AB与CD是否有重合部分，并求出最小距离的表达式.
1 / 1浙江省嘉兴市2023-2024学年七年级上学期数学期末试卷
一、选择题（本题有 10 小题, 每小题有 4 个选项, 其中有且只有一个正确, 请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格, 每小题 3 分, 共 30 分
1．（2024七上·嘉兴期末）-2024 的绝对值是（ ）
A．2024 B．-2024 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的性质即可得出答案
2．（2024七上·嘉兴期末）根据国家文旅部统计， 2024 年元旦国内旅游出游达到 1.35 亿人次， 实现国内旅游收入 797.3 亿元。"797.3 亿" 用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：797.3亿=79730000000= .
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的定义即可得，即将一个数表示成的形式，其中，n为整数）．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2024七上·嘉兴期末）在实数 中， 属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．1.010010001
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 都是有理数，而，是无理数.
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义（无理数是指不能表示为两个整数比（即分数形式）的实数），进行判断即可．
4．（2024七上·嘉兴期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并．本选项不符合题意；
B、5xy-4xy=xy，原式计算错误．本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，原式计算错误．本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
合并同类项时，系数相加，字母与字母的指数不变．
5．（2024七上·嘉兴期末）如图， 已知点 是线段 上一点， 点 是 的中点， 点 是 的中点. 若 ，则 的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，点E是BC的中点，
∴，.
∴.
故答案为：B.
【分析】由线段的中点可得，，进而根据线段的和得到，即可解答.
6．（2024七上·嘉兴期末） 已知 ， 且 ， 则 一定满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵m-n=0，
∴m=n，
∵m-a=n+b，
∴n-a=n+b，
∴a=-b，
∴a+b=0，
故答案为：D.
【分析】先得到m=n，然后代入m-a=n+b得到a=-b，最后得到a+b=0，即可得到答案.
7．（2024七上·嘉兴期末） 已知 ， 则代数式 的值为（ ）
A．21 B．15 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴9-2y-4x=9-2(2x+y)=9-2×(-6)=21.
故答案为：A.
【分析】根据9-2y-4x=9-2(2x+y)，将2x+y=-6代入即可求解．
8．（2024七上·嘉兴期末）如图， 射线 在 的内部. 若 ， ， 则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD，
∴α=β+β-∠COD.
∴∠COD=2β-α.
故答案为：D.
【分析】由∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD可得到结论.
9．（2024七上·嘉兴期末）中国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？若设木头长为 x尺，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得 .
故答案为：C.
【分析】根据用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，可以列出相应的方程，本题得以解决．
10．（2024七上·嘉兴期末）小霞同学定义了两种新运算： ( 为实数)， 例如： . 若 为实数， 则下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：选项A：，，即，故选项A不符合题意；
选项B：，，即，故选项B不符合题意；
选项C：，，即，故选项C不符合题意；
选项D：，，即，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
根据新运算分别求出各选项，然后进行判断即可．
二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（2024七上·嘉兴期末）4的平方根为　 　．
【答案】2
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：4的平方根为2，
故答案为：2.
【分析】本题考查平方根概念，正确理解概念是解决本题关键.
12．（2024七上·嘉兴期末） 如图， 直线 与 相交于点 . 若 ，则 的度数为　 　.
【答案】40°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知，∠COD=∠AOB=40°.
【分析】根据对顶角相等即可求解.
13．（2024七上·嘉兴期末） 用代数式表示 " 的 2 倍与 3 的差" 为　 　。
【答案】2a-3
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得2a-3．
故答案为：2a-3．
【分析】a的2倍即为2a，再减去3即可．
14．（2024七上·嘉兴期末） 若整数 满足 ， 则 的值为　 　。
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵7＜9＜15，
∴，即，即a=3.
故答案为：3.
【分析】先找到一个平方数介于7、15之间，然后求算术平方根即可.
15．（2024七上·嘉兴期末） 已知 为实数，关于 的方程 的解为 ，则关于 的方程 的解为 　 　.
【答案】7
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
常数项移到右边，有.
等号右边因式分解，得.
设y-2=x，则有，而由条件可知，解x=5.
∴y-2=5，即y=7.
故答案为：7.
【分析】运用整体代入法思想解答即可.
16．（2024七上·嘉兴期末）将①和②两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中. 图（1）中阴影部分的周长和为 ， 图（2）中阴影部分的周长和为 ， 且 . 若 ， ， 则正方形（1）的边长为　 　.
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设AB=x，正方形①边长为a，正方形②边长为b.
∵AD=17，
∴图（1）中阴影部分的周长和为m=2(17-a)+2(17-b)+2(x-a)+2(x-b)=4x+68-4a-4b.
∵AM=ND，
∴图（2）中阴影部分的周长和为。
∵m-n=9，
∴4x+68-4a-4b-(4x-4b-a+51)=9，化简得17-3a=9，即.
∴正方形（1）的边长为.
故答案为：.
【分析】解题的关键是结合图形表示出图①和图②中阴影部分的周长．设AB=x，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决．
三、解答题 (本题有 8 小题, 第17-22题每题 6 分, 第23、24题每题 8 分, 共 52 分
17．（2024七上·嘉兴期末）计算：
（1） .
（2） .
【答案】（1）解：原式=-1+2=1.
（2）解：原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）按有理数的加减混合运算从左到右计算即可；
（2）先分别计算开立方、括号内减法以及指数，再算乘法，最后算加法.
18．（2024七上·嘉兴期末）解方程：
（1） .
（2） .
【答案】（1）解：1+2x=7，
移项得：2x=7-1，
合并同类项得：2x=6，
系数化为1得：x=3.
（2）解：去分母，得：3y-6=2（2y+1）.
去括号得：3y-6=4y+2，
移项得：3y-4y=2+6，
合并同类项得：-y=8，
系数化为1得：y=-8.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，把未知数的系数化“1”，从而可得答案；
（2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
19．（2024七上·嘉兴期末）如图， 已知点 在直线 外，按下列要求作图 (保留作图痕迹)：
（1） 作直线 ， 射线 .
（2） 在直线 上确定一点 ， 使得 最小.
【答案】（1）解：如下图所示：
（2）解：连接CA，CA与l的交点即为M，此时AM+CM最小.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据直线定义画出直线AB即可；根据题意画射线BC即可；
（2）因为两点之间，线段最短，因此连接AC与直线l交于一点，该点即为点M，此时AM+CM最小.
20．（2024七上·嘉兴期末）先化简， 再求值： ， 其中 .
【答案】解：
.
代入a=-2，则原式=5×（-2）2=20.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先，需要对给定的代数式进行化简. 这涉及到去括号和合并同类项的步骤. 接着，将给定的a值代入化简后的式子中，以求得最终的数值结果.
21．（2024七上·嘉兴期末）如图， 射线 在 的内部， 平分 .
（1） 当 时， 求 的度数.
（2） 若 ， 求 的度数.
【答案】（1）解：∵∠AOB=130°，且OD平分∠AOB，
∴2∠BOD=∠AOB，即∠BOD=65°.
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°.
∴∠COD=∠COB-∠BOD=90°-65°=25°.
（2）解：∵∠BOD=2∠AOC，
∴90°-∠COD=2(∠BOD-∠COD).
∴∠BOD=2∠COD.
∴∠COD=90°÷3=30°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据条件“ 与“OD平分∠AOB”求出∠BOD的度数，然后根据∠COD=∠COB-∠BOD，即可得出答案；
（2）根据∠BOC=90°以及∠BOD与∠AOC的倍数关系，可得出∠COD是直角∠BOC的三分之一，用90°除以3即可得出答案.
22．（2024七上·嘉兴期末）观察下面的等式： ，根据其中的规律，解决下列问题：
（1）【尝试】写出关于 的等式。
（2）【归纳】写出关于 的等式。
（3）【运用】计算 的值.
【答案】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：
.
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）（2）由题目所给的等式可知，等于两数之和，第1个数固定不变，为1，而第二个数是分数，其中分子固定为2，分母则为n，因此可归纳出，而代入n=6即可算出a6；
（3）根据（2）的规律发现，，第1项的分子与第3项的分母相消，第2项的分子与第4项的分母相消……，到最后剩下，计算即可.
23．（2024七上·嘉兴期末）根据表中的素材， 完成下面的任务：
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材 1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支 10 元，笔记本每本 5 元.
素材 2 学校用 1100 元购买这种钢笔和笔记本， 其数量之比为 .
素材 3 文具店开展 "满送" 优惠活动，每满 130 元送1 张兑换券， 满 260 元送 2 张兑换券， 以此类推. 学校花费 1100 元后， 将兑换券全部用于商品兑换最终， 笔记本与钢笔数量相同.
（1）【任务一：探究购买方案】分别求出换前购买钢笔和笔记本的数量.
（2）【任务二：确定兑换方式】求出用于兑换钢笔的兑换券的张数.
【答案】（1）解：设兑换前购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为.
根据题意，得，解得x=80.
故.
即购买钢笔80支，购买笔记本60本.
（2）解：1100÷130=8……60，可知学校花费1100元后，能兑换8张兑换券.
由（1）可知，使用兑换券前购买了钢笔80支，笔记本60本.
则设用了a张兑换券用于兑换钢笔，则8-a张兑换券用于兑换笔记本，根据题意，有
80+2a=60+4（8-a），解得a=2.
即用于兑换钢笔的兑换券的张数为2.
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设兑换前购买钢笔的数量为x，则根据钢笔与笔记本的数量之比得出笔记本的数量为表示为，然后根据“钢笔花费+笔记本花费=1100元”列出方程，求解即可；
（2）先求出花费1100元能有多少张兑换券，然后设用了a张兑换券用于兑换钢笔，同时表示出用于兑换笔记本的兑换券的张数，再根据“80+钢笔兑换数=60+笔记本兑换数”列出方程，求解即可.
24．（2024七上·嘉兴期末）已知点 在数轴上， (点 在点 的左侧)， (点 在点 的左侧). 点 分别是线段 上的动点， 记 两点之间的最小距离为 ， 最大距离为 。
（1）如图， 若点 表示的数为 -2 ， 点 表示的数为 1 ， 求 的值.
（2）如图， 若点 表示的数为 ， 求出此时点 所表示的数.
（3）若 ，请直接写出 的值（可用含 的代数式表示）.
【答案】（1）解：根据数轴，点A表示的数为-2，点B表示的数为-1，点C表示的数为1，点D表示的数为3.
因此，d1=1-（-1）=2，d2=3-（-2）=5.
（2）解：分情况讨论：
①如图1所示，AB在CD的左侧。设B表示的数为x，则A表示的数为x-1
由题意得：3-（x-1）=2（1-x），解得x=-2，此时B表示的数为-2；
②如图2所示，当线段AB与线段CD有重合部分时，d1=0，这不符合题意；
③如图3所示，AB在CD的右侧. 设B表示的数为x，则A表示的数为x-1.
由题意得：x-1=2(x-1-3)，解得x=7，此时B表示的数为7.
综上所述，B表示的数为-2或7.
（3）解：，d1=m-3或0.
【知识点】一元一次方程的其他应用；数学思想；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（3）分情况讨论：
当线段AB与线段CD无重合部分时，d1=m-3(m＞3).
当线段AB与线段CD有重合部分时，d1=0.
综上所述，d1=m-3或0.
【分析】（1）直接根据数轴上的点的坐标计算两点之间的距离；
（2）需要分情况讨论线段AB与CD的位置关系，并建立方程求解；
（3）同样需要分情况讨论线段AB与CD是否有重合部分，并求出最小距离的表达式.
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