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人教版七年级下册
第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、定理
学习目标
1.理解定义、命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.
2.会判断真、假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
新课导入
小故事：歌德让路》
歌德的话蕴含了什么数学道理？
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知识点1 定义和命题
（1）规定了原点、正方向和长度单位的直线叫作数轴；
（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
请同学们读出下列语句：
定义：对数学对象进行清晰、明确的描述.
一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并做出准确的判断.
数轴
直线
规定了原点、正方向和单位长度
方程的解
未知数的值
使方程左、右两边的值相等
命题：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句.
（1）等式两边加同一个数，结果仍然相等；
（2）对顶角相等；
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（4）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
观察下列可以判断正确与否的陈述语句：
易错提醒
1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
如：相等的角是对顶角.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
下列语句，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等；
（2）画一个角等于已知角；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）温柔的李明明；
（6）玫瑰花是动物；
（7）若a2＝4，求a的值；
（8）若a2＝b2，则a＝b.
练一练
命题是陈述句，疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题.
虽然错误，但也作出了判断
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
（4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
都是“如果……那么……”的形式.
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
题设
结论
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
命题的组成：
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式.
例如：
对顶角相等
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.
练一练
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等.
如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等
如果两个角是内错角，那么这两个角相等
命题1 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
命题2 如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
知识点2 真命题和假命题
观察下列命题，它们都是正确的吗？
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题.
假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题.
练一练
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题.
（1）猪有四只脚；
（2）内错角相等；
（3）画一条直线；
（4）四边形是正方形；
（5）同位角相等，两直线平行；
（6）同角的补角相等；
（7）同垂直于一直线的两直线平行；
（8）x＞2.
真命题
假命题
真命题
真命题
真命题
假命题
判断真假命题的一般步骤：
①判断是否为命题.
②判断该命题是否正确，若正确，则为真命题；若错误，则为假命题.
命题
定义
结构
分类
题设
结论
真命题
假命题
判断一件事情的语句
已知事项
由已知事项推出的事项
形式
如果……那么……
归纳
知识点3 定理与证明
有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
学过的定理：
（1）补角的性质：同角或等角的补角相等.
（2）对顶角的性质：对顶角相等.
（3）平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行.
……
你还能想出学过的定理吗？
定理的概念：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
证明的概念：
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：直线a⊥b，b∥c ．
求证：a⊥c．
a
b
c
1
2
题设
结论
例 如图，已知直线a⊥b，b∥c ，求证a⊥c．
a
b
c
1
2
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1=90 （垂直的定义）.
∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=90 （等式的基本事实）.
∴ a⊥c（垂直的定义）.
①分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；
②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
证明的一般步骤：
思考：如何判定一个命题是假命题？
例如，要判定命题 “相等的角是对顶角” 是错误的， 可以举出如下反例：
举反例
在图中，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2， 但它们不是对顶角．
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
1
2
A
O
C
B
随堂练习
【选自教材P23、24“练习”】
1.举出一些学过的定义的例子.
2.举出一些学过的真命题的例子.
3.指出下列命题的题设和结论：
（1）若a=b，则5a=5b；
（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；
（4）两直线平行，同位角相等.
题设
题设
题设
题设
结论
结论
结论
结论
4.在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，∠A +∠B=180°，求证∠C +∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC（_________________________），
∴∠C+∠D=180°（_________________________）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
5.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.
解：不正确.
如图，∠1和∠2是同位角， 但它们不相等．
课堂小结
命题
定义
结构
分类
题设
结论
真命题
假命题
判断一件事情的语句
已知事项
由已知事项推出的事项
形式
如果……那么……
定理
举反例
证明
布置作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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