资源简介

(共15张PPT)
第八章 实数
数学活动
阅读与思考
古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比表示。后来毕达哥拉斯学派发现，边长为1的正方形的对角线的长不能表示为整数或整数之比(即 不是有理数)，对此它们感到惶恐不安。由此，引发了第一次数学危机。
毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580~约前500)
事实上，“ 不是有理数”是可以证明的，下面给出一种证明方法。
假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q使得
于是
两边平方得
由2q2是偶数，得p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2r(r是正整数)代入上式，得4r2=2q2，即
即 q2 = 2r2
所以q也是偶数，这样，p，q都是偶数，与假设p，q互质矛盾。
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数。
历史上，人们对无理数的认识经历了曲折、漫长的过程，直到19世纪下半叶，才终于给出了无理数的严格定义。这时，实数的理论体系才建立起来，持续两千多年的第一次数学危机终于结束了。
数学活动
活动1 估算A0纸的长与宽
按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1m2。将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将 A2纸沿长边对折、裁开，便成 A3纸；将 A3纸沿长边对折、裁开，便成 A4 纸······
将 A4 纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现，你能据此估算A0 纸的长与宽分别是多少毫米吗(结果取整数)
A4 纸的长：宽=
a
a
设A4纸的宽为a。
根据折叠后的边长的关系可得
答：A0 纸的长是1189毫米，宽是841毫米。
按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1m2。将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将 A2纸沿长边对折、裁开，便成 A3纸；将 A3纸沿长边对折、裁开，便成 A4 纸…
解：根据题干可知
A4纸与A0纸的关系 如图
A0
A1
A2
A3
A4
由图可知A0纸的长：宽=
设A0纸宽为xm，长为 m。
所以
解得
活动2 口算求立方根
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题:一个数是59 319，求它的立方根，华罗庚脱口而出:39。
华罗庚（1910—1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
按照下面的方法试一试：
确定结果的位数．
确定各个数位上的数字．
找到两个整数，使无理数介于它们之间，估计出这个无理数的大小.
想
13 = 1
103 = 1 000
1003 = 1 000 000
59 319
确定结果是几位数．
1
因为 103 < 59 319 < 1003
所以 10 < < 100
所以 是个两位数
2
确定各个数位上的数字．
59 319
9
自然数 立方数 最后一位数字
0 0 0
1 1 1
2 8 8
3 27 7
4 64 4
5 125 5
6 216 6
7 343 3
8 512 2
9 729 9
个位数是9
59 319
因为 33 < 59 < 43 所以 的十位上的数是 3．
因为103=1000，所以应该划去后三位数字319，只考虑59的立方根的大小。
十位数是3
这个数字是39
33=27，43=64，由此你能确定 的十位上的数是几吗？
已知19 683，110 592都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗
= ______
= ______
27
48
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

展开更多......

收起↑