资源简介

(共23张PPT)
选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数的在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系． 1.数学运算素养.
2.能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间． 2.数学运算素养和逻辑思维素养.
3.能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围． 3.数学运算素养和逻辑思维素养.
温故知新
1.基本初等函数的导数公式
①若f (x)＝c（c为常数）,
则f '(x)＝0；
②若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
则f '(x)＝；
③若f (x)＝,
则f '(x)＝；
④若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑤若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑥若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝.
温故知新
2.导数的四则运算法则：
导数的运算法则1
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
导数的运算法则2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
导数的运算法则3
[cf(x)]′=cf′(x) .
.
温故知新
4.函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
3.复合函数的导数法则
一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y′x＝y′u·u′x.
写成：
形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数
的单调性？
形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.
知新探究
【例1】求函数f(x)=的单调区间.
解：
令f ′(x)=0，解得
函数f(x)=的定义域为R.
对f (x)求导，得f ′(x)＝x2-x-2,
x1=-1,或x2=2．
x=-1和x=2把函数定义域划分为三个区间，在f ′(x)各个区间上的正负，以及f (x)的单调性如下表所示．
∴函数f (x)在区间(－∞，-1)和(2，＋∞)上单调递增，在(-1,2)上单调递减.如图所示．
x (-∞,-1) -1 (-1,2) 2 (2,+∞)
f ′(x) + 0 - 0 +
f (x) 单调递增 f(-1)= 单调递减 f(2)=- 单调递减
x
y
O



知新探究
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
一般情况下，可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你由如何求解本题 运算过程麻烦吗？你有什么体会？
初试身手
函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－.
1.求函数f (x)＝x2－ln x的单调区间.
解：
令f ′(x)=0，解得(不合题意舍去),
把函数定义域划分为两个区间，在f ′(x)各个区间上的正负，以及f (x)的单调性如下表所示．
∴函数f (x)在区间(，＋∞)上单调递增，在(0,)上单调递减.
x (0,) . (,＋∞)
f ′(x) - 0 +
f(x) 单调递减 1 单调递增
知新探究
当x越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图）.
对数函数的导数(x∈(0,＋∞)),所以在区间(0,＋∞)上单调递增.
研究对数函数与幂函数y=x3在区间(0，＋∞)上增长快慢的情况.
x
y
O
y = ln x
知新探究
当x越来越大时，y′=3x2越来越大，所以函数y=x3递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图）.
幂函数y=x3的导数y′=3x2>0(x∈(0,＋∞)),所以y=x3在区间(0,＋∞)上单调递增.
研究对数函数与幂函数y=x3在区间(0，＋∞)上增长快慢的情况.
y = x3
x
y
O
一般地，设函数y=f(x) ，在区间(a, b)上：
如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，
函数的图象就比较“陡峭”；
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，
函数的图象就比较“平缓”.
知新探究
【例2】设x>0,f(x)=,g(x)=,两个函数的图象如图所示.判断f(x)，g(x)的图象与C1,C2之间的对应关系.
解：
∵x>0,f(x)=,g(x)=，
∴f ′(x)=,
当x = 1时，f ′(x)=g′(x)=1；
当0f ′(x)>1;
x
y
O
C2
C1
1
当x >1时，0∴f(x)，g(x)在(0,+∞)上都是增函数.在区间(0,1)内，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”；在区间(1,+∞)内，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”.
∴f(x)，g(x)的图象依次是图中的C2,C1.
初试身手
当x＜－2时，f ′(x)＜0，则f (x)单调递减；
2.已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有
可能是图中的(　　)
解：
当－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f (x)单调递增；
当x>0时，f ′(x)<0，则f (x)单调递减.
则符合上述条件的只有选项A．故选A.
A　　　　 B　　　　 C　　　　 D
知新探究
【例3】设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性.
解：
由题意可知g′(x)＝(x>0)，
∵a＜0,g′(x)＝(x>0),
⑴当a<0 时，,
∴g′(x)＝等价于，
解得,
∴g(x)在(0,)和(,+∞)上单调递增；
同理g(x)在()上单调递减.
知新探究
【例3】设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性.
解：
∴g(x)在(0,)和（，+∞)上单调递增，
解得,
⑵当a=-2时，g′(x)＝,
∴g′(x)＝等价于，
⑶当-2∴g(x)在(0,+∞)上单调递增；
同理g(x)在()上单调递减.
知新探究
利用导数探究含参数函数f(x)的单调性的一般步骤
⑴确定函数f(x)的定义域；
⑵求导数f′(x)；
⑶分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
⑷在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间.
初试身手
⑴当a=0时，f ′(x)=，
3.设f(x)＝(a≥0)，试讨论函数f(x)的单调性.
解：
当x>1时，f ′(x)＞0，则f (x)在(1,+∞)上单调递增；当0⑵当a>0时，f ′(x),
∵
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)=.
∴当x>1时，f ′(x)＞0，则f (x)在(1,+∞)上单调递增；当0综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
知新探究
【例4】已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围.
解：
由已知得f′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)内恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∴只需a≤0.
又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
∵3x2≥0，
∴f(x)＝x3－1在R上是增函数.
∴实数a的取值范围为(－∞，0].
初试身手
∵f (x)在区间[,4]上单调递增，
4.若函数f (x)在区间[,4]上单调递增，求实数c的取值范围.
解：
∴对任意x∈[,4]恒成立，
即对任意x∈[,4]恒成立,
∵x∈[,4],
∴，当且仅当x=1时等号成立，
f ′(x)=.
∴c≤4,即实数c的取值范围为(-∞,4].
课堂小结
1.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤：
2.函数增减的快慢与导数的关系
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
一般地，设函数y=f(x) ，在区间(a, b)上：
如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”；
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
作业布置
作业： P89 练习 第2,3题
P97 习题5.3 第2题
补充：
1.求函数f (x)＝＋a ln x(a∈R)的单调递减区间．
2.若函数f (x)＝x2－16ln2x在区间[]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
3.已知函数f (x)＝x3＋x2－6x＋1在区间(－1，1)上单调递减，则m的取值范围为________．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin

展开更多......

收起↑