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腰三角形的三线合一
典例精析
【典型题1】★★如图,△ABC 的周长为19,点 D,E在边 BC 上,∠ABC 的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB 的平分线垂直于 AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为( )
A.
B.2
C.
D.3
【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“∠ABC 的平分线垂直于AE，∠ACB的平分线垂直于AD”，根据等腰三角形三线合一性质，可得出△BAE 和△CAD 均是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可.
【答案解析】解:∵ BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE,
在△BNA 和△BNE中,
N
∴△BNA≌△BNE,∴BA=BE,
∴△BAE 是等腰三角形,
同理△CAD 是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD 中点(三线合一),∴ MN 是△ADE 的中位线,∵ BE +CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN= DE=
【典型题2】★如图,四边形 ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD 的平分线,且CM⊥AB,M为垂足, 若四边形ABCD的面积为 ,则四边形 AMCD 的面积是 .
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【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“CM 是∠BCD 的平分线，且CM⊥AB”,因此辅助线为延长BA、CD,交点为E，构造等腰三角形.
【答案解析】解：如图所示：延长BA、CD，交点为 N.
∵CM平分∠BCD,CM⊥AB,∴MB=MN.
又∵
∵AD∥BC,∴△NAD∽△NBC.
C
【规律总结】辅助线作法
三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边D上的中线、底边上的高互相重合.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等.等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分关系.在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作底边上的高或中线，这要视具体情况而定.
巩固练习
【巩固练习1】
已知如图,三角形ABC 中,∠A =90。,AB=AC,D 为BC的中点,E,F分别是AB,AC 上的点,且 BE=AF,求证:△DEF 为等腰直角三角形.
【巩固练习2】
如图,△ABC中,AC=2AB,AD 平分∠BAC交BC于D,E是AD 上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.
【巩固练习3】
如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC =90°,BF 平分∠ABC,CD⊥BF交 BF 的延长线于点 D.求证:BF=2CD.
【巩固练习4】
如图,在△ABD 中,BC⊥AD 于点 C,E 为BC上一点,AE =BD,EC =CD,延长AE 交 BD于点 F.求证:AF⊥BD.
【巩固练习5】
如图,在△ABC 中,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,点 M、N 分别是 BC、DE 的中点,连接DE,MN.
(1)猜想 MN 与 DE 的位置关系,并证明;
(2)若∠A=60°,求 的值.
【巩固练习6】
如图①，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E在 BA 的延长线上,AE=AD,EC,BD 相交于点G,与AD 相交于点 F,AF=AB.
(1)若AB=1,求AE 的长;
(2)如图②,连接AG,求证:EG-DG = AG.
1.证明：如图，连接AD，
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴∠B=∠BAD=∠CAD=45°,∠BDA=90°,
∴BD=AD,在△BDE 和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF,∴DE=DF,∠BDE=∠ADF,
∵∠BDE+∠ADE=∠BDA=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°,
∴△DEF 为等腰直角三角形.
2.证明：作 于F,
∵AD平分 交BC于D,
3.证明:如图,延长 BA,CD 交于点 E.
∵BF平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠EBD=∠CBD,∠BDE =∠BDC=90°.
又∵BD=BD,
∴△BDC≌△BDE(ASA).
∴BC=BE.
又∵BD⊥CE,
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠ACE.
又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,
∴△ABF≌△ACE(ASA).
∴BF=CE.
∴BF=2CD.
4.证明: ∵BC⊥AD,
∴∠ACE=∠BCD =90°,
在Rt△ACE和Rt△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(HL),
∴∠CAE=∠CBD,
∵∠CAE+∠AEC=90°, ∠AEC =∠BEF,
∴∠CBD+∠BEF=90°,
∴∠EFB=90°,
∴AF⊥BD.
5.(1) 证明: MN⊥DE, 理由是:
连接EM、DM,
∵BD⊥AC, CE⊥AB, 点M是BC的中点,
∴ME=MD,
又点N是DE的中点，
∴MN⊥DE;
(2)∵MD=ME= BM =CM,
∴∠BME+∠CMD=180°--2∠ABC+180°--2∠ACB=360°--2(∠ABC+∠ACB)
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°--60°=120°,
∴∠BME+∠CMD=360°--2×120°=120°,
∴∠DME =60°,
∴△MED是等边三角形，
6.(1)解:由矩形性质知CD=AB=1,AB∥CD,
所以△AEF∽△DCF,所以 即AE·DF=AF·DC.
设AE=AD=a(a>0),则有a(a-1)=1,
化简得
解得 或 (舍去)，所以AE的长为
(2)证明:如图,在线段EG上取点 P,使得EP=DG.在△AEP与△ADG中,AE=AD,∠AEP=∠ADG,EP=DG,所以△AEP≌△ADG,所以AP=AG,∠EAP=∠DAG,所以∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°，所以△PAG为等腰直角三角形.
于是EG-DG=EG-EP=PG= AG.

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