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圆中的辅助线
典例精析
【典型题1】★★如图,AB 是⊙O 的直径,弦PQ交AB于M,且PM=MO.
求证：
【思路分析】
思路一：本题从结论入手分析.要证明 即要证明弧对应的圆心角之比是 因此连接 OP、OQ,即要证明∠AOP = 必然有∠BOQ =3∠MOP,又因为∠MPO= ∠MQO,所以必然有 ∠QMO = 2∠MOP，此结论很容易得到，分析完毕.
思路二：从题目条件入手，构造等腰三角形，用三角形外角定理进一步分析得出结论.
【答案解析】证明：如图，连接OP、OQ.
∵PM=OM,∴∠P=∠MOP.
∵OP=OQ,∴∠MPO=∠MQO.
∵∠QMO=2∠MOP,
∴∠BOQ=3∠MOP.
【规律总结】辅助线作法：在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件.我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题.
【典型题2】★★★如图,直径AB=2,AB、CD 交于点 E 且夹角为 45°. 则 = .
【思路分析】本题从结论入手分析.看到线段平方和，往往想到应用勾股定理，因而去构造直角三角形，利用勾股定理列式求解.注意运用设未知数列式的方法在几何求解题目中的应用，往往能够事半功倍.
【答案解析】解:如图,过点 O 作OF⊥CD于点 F,连接OD.
设OF=a,DF=b,则在 Rt△OFD中, 又CF=DF=b.
∵ ∠BED=45°,∴ OF =EF = a.∴ CE +
【规律总结】辅助线作法：在圆中作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.
【典型题3】★★★已知,AB 和CD 是⊙O的两条弦,且AB⊥CD 于点 H,连接BC、AD,作OE⊥AD 于点 E.求证:
【思路分析】本题从结论入手分析.要证明的OE和BC 明显不在一起，因此一定要做辅助线让它们发生关联，因此构造直角三角形，得出线段 再证明DF=BC 即可.
【答案解析】证明：如图，连接AO 并延长交⊙O 于点 F,连接DF、BD.
∵OE⊥AD,∴AE=DE.∵OA=OF,
∴ OE 是△ADF的中位线.
∵AB⊥CD,∴∠ABD+∠CDB =90°.
∵AF 是直径,∴∠ADF=90°.
∴ ∠DAF+∠F=90°.
∵∠ABD =∠F,∴ ∠CDB =∠DAF.
【规律总结】辅助线作法总结
如图①，已知AB是⊙O 的直径，点 C 是圆上一点,连接AC、BC,则∠ACB=90°.
如图②，已知AB是⊙O 的一条弦，过点 O作OE⊥AB,则
(1) 如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造.
(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.
【典型题4】 r如图，直线AC与⊙O相交于B、C 两点,E是BC的中点,D 是⊙O 上一点,若∠EDA=∠AMD.求证:AD 是⊙O 的切线.
【思路分析】本题我们综合分析，从结论看，需连接OD，只需要证明OD⊥AD 即可，即要证明∠ODE +∠ADM =90°.再从题目条件分析，根据“E是BC的中点”，所以连接OE，则OE⊥BC,可得出90°;又“∠EDA =∠AMD”,又易得∠E=∠ODE，再经过等量转化，即可证明结论.
【答案解析】证明：如图，连接 OE 交 BC于点 F,连接OD.
∵ E是是BC的中点,∴OE⊥BC.
∴∠E+∠EMF=90°.
∵ ∠EDA=∠AMD,∠AMD =∠EMF,
∴ ∠ADM+∠E=90°.
∵OE=OD,∴ ∠E=∠ODE.
∴∠ODE+∠ADM=90°,即∠ODA=90°,
∴OD⊥AD.∴AD 是⊙O 的切线.
【规律总结】辅助线作法
(1)已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB 是⊙O 的切线，点C 是切点，连接OC,则OC⊥AB.
(2)证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；
如图，已知过圆上一点 C 的直线AB，连接OC,证明OC⊥AB,则直线AB 是⊙O 的切线.
②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；
如图,过点 O 作 OC⊥AB,证明 OC 等于⊙O 的半径,则直线AB 是⊙O 的切线.
【典型题5】★★★如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线 交于A、B 两点，P是以点 C(2，2)为圆心，半径为1 的圆上的一动点，连接AP，Q为 AP 的中点.若线段OQ 长度的最大值为2，则k的值为( )
C. - 2
【思路分析】设点——根据距离公式列方程求解.(第三部分会重点讲解该思路方法)
确定 OQ 是△ABP 的中位线,OQ 的最大值为2,故BP 的最大值为4,则 BC=BP-PC=4-1=3，则根据距离公式列出BC 长度的表达式即可求解.
【答案解析】解:点 O 是 AB 的中点,则 OQ是△ABP 的中位线,当B、C、P 三点共线时,PB 最大，则 最大，而OQ 的最大值为2，故BP 的最大值为4,则BC=BP-PC=4-1=3,设点B(m,-m),则 3 ,解得: 选A.
巩固练习
【巩固练习1】
如图,OA、OB 是⊙O 的半径,点 C 在⊙O上, ∠AOB = 30°, ∠OBC = 40°, 则 ∠OAC = °.
【巩固练习2】
如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC =90°,∠A =32°,点B、C 在⊙O 上,边 AB、AC 分别交⊙O于D、E 两点, 点B 是CD的中点,则∠ABE =
【巩固练习3】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= 与⊙O 相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB 的长为 .
【巩固练习4】
如图,在△ABC中,AB=6,以点A为圆心,3 为半径的圆与边 BC 相切于点 D,与AC,AB分别相交于点 E 和点 G，点F 是优弧(GE上一点,∠CDE=18°,则∠GFE 的度数为( )
A.50°
B.48°
C.45°
D.36°
【巩固练习5】
如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.设该圆面积为S ,△ABC 面积为S ,则S 的值为( )
A.5π2
B.3π
C.5π
【巩固练习6】
如图,⊙O 的直径AB=8,AM,BN 是它的两条切线,DE与⊙O 相切于点 E,并与AM,BN分别相交于D,C两点,BD,OC 相交于点 F,若CD=10,则BF的长为( )
1.【答案】25
【分析】
连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 求出 ，根据等腰三角形的性质计算.
【解析】
解: 连接OC,
故答案为: 25.
2.如图, 连接DC,
∴DC是⊙O的直径,
∵点B是 的中点，
。 在. 中，
,
故答案为：
3.过O作 于C, 如图,
∵AB为弦,
∵直线 与⊙O相交于A, B两点,
∴当 时，
解得：
∴当 时，
在. 中，由勾股定理
,
即
故答案为：
4.连接AD, ∵BC与⊙A相切于点D,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵AB=6, AG=AD=3,
∴∠B=30°,
∴∠GAD=60°,
∵∠CDE=18°,
∴∠ADE=90°﹣18°=72°,
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE=72°,
∴∠DAE=180°--∠ADE﹣∠AED=180°﹣72°﹣72°=36°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°,
故选: B.
5.如图, 取AB的中点为O, AC的中点为D, 连接OE, OG,OD, OC,
设
则 ①
取AB的中点为O，
是直角三角形，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
由勾股定理得：
②
由①②得(
故选: C.
6.A
【解析】
如图，根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H.
∵AB是直径, AB=8,
∴OA=OB=4,
∵AD, BC, CD是⊙O的切线,
∴∠DAB=∠ABH=∠DHB=90°, DA=DE,CE=CB,
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD =BH, AB=DH =8,
设AD=DE=BH =x, 则EC=CB=x+6,
∴x+x+6=10,
∴x=2,
∴D(2,4), C(8,-4), B(0,-4),
设直线BD的解析式为y= kx+b(k≠0),
把D(2,4)、B(0,-4)代入得
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解得
∴直线BD的解析式为 设直线OC的解析式为 把 代入得 解得
∴直线OC的解析式为
解方程组
故选: A.

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