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中线相关的辅助线
典例精析
【典型题1】★★如图,CB 是△AEC 的中线,CD是△ABC的中线,且AB=AC.
求证:①CE=2CD;②CB平分∠DCE.
【思路分析】从结论分析①，显然没有直接关系证明CE=2CD，必须进行“等量转化”可构造出一条明显等于2CD 的线段，因此需要做辅助线来实现.我们可通过添加辅助线，构造全等三角形来实现“等量转化”.
【答案解析】证明：如图，延长CD 到 F，使DF=CD,连接BF可得CF=2CD.
∵CD 是△ABC的中线∴BD=AD
在△BDF 和△ADC中,
∴△BDF≌△ADC(SAS)∴BF=AC,∠1 =∠F,
∵CB 是△AEC的中线,∴BE=AB,
∵AC=AB,∴BE=BF,∵∠1=∠F,
∴BF∥AC,∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB,∴∠1+∠2=∠5,
又∵ ∠4 +∠5 =180°,∴ ∠4 = ∠5 +∠6即∠CBE=∠CBF,
在△CBE 和△CBF中,
∴△CBE≌△CBF(SAS),
∴CE=CF,∠2=∠3,
∴CE=2CD,CB平分∠DCE.
【规律总结】辅助线作法：倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.
如图①,AD 是△ABC 的中线,延长AD 至点 E 使 DE = AD,易 证:△ADC ≌ △EDB(SAS).
如图②,D 是BC 中点,延长 FD 至点 E 使DE=FD,易证:△FDB≌△EDC(SAS).
当遇见中线或者中点时，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移.
【典型题2】★★★如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC 于点 F.求证:∠AEF=∠EAF.
【思路分析】从题目条件分析，D是BC的中点，可考虑延长中线构造全等三角形来推出结论.
【答案解析】证明：如图，延长AD到M，使DM=AD,连接BM.
∵D是BC边的中点,∴BD=CD
在△ADC 和△MDB中
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴∠1=∠M,AC=MB,
∵BE=AC,∴BE=MB,
∴∠M=∠3,∴∠1=∠3,
∵∠3=∠2,
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∴ ∠1 =∠2,即∠AEF =∠EAF.
【规律总结】辅助线作法：倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.
【典型题3】★★★如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点 E 在 BC 上,点 F 是 CD 的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE =5,求CE 的长.
【思路分析】从已知条件入手分析.注意到F为中点，因此延长AF构造全等三角形.
【答案解析】解:如图,延长 AF 交 BC 的延长线于点 G.
∵AD∥BC,∴∠3=∠G,
∵点F是CD的中点,∴DF=CF,
在△ADF 和△GCF中.
∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,
∵AD= 2.7 ,∴CG=2.7,
∵AE=BE,∴∠1 =∠B,∵AB⊥AF,
∴∠1+∠2=90°,∠B+∠G=90°,
∴∠2=∠G,∴EG=AE=5,
∴CE=EG-CG=5-2.7=2.3.
【规律总结】辅助线是延长中点所在的线段，构造全等三角形，也可理解为倍长中线法的变形.
【典型题4】★★★如图,在正方形ABCD中,CD =BC,点 E 在 CB 的延长线上,过点 E作EF⊥BE,且 EF =BE.连接 BF、FD,取 FD的中点G,连接EG、CG.
求证:EG=CG且EG⊥CG.
【思路分析】从已知条件入手分析.注意到 G为中点，因此延长EG构造全等三角形.
【答案解析】证明：如图，延长 EG 交 CD的延长线于点 M.
由题意得∠FEB=90°,∠DCB=90°,
∴∠DCB+∠FEB=180°,∴EF∥CD,
∴∠FEG=∠DMG,
∵点G为FD的中点,∴FG=DG,
在△FGE 和△DGM中
∴△FGE≌△DGM(AAS),
∴EF=MD,EG=MG,
∵ EF =BE,∴BE =MD,在正方形 ABCD中,BC = CD,∴ BE + BC = MD + CD,即 EC=MC,
∴ECM 是等腰直角三角形，
∵EG=MG,∴EG⊥CG,∠3 =∠4 =45°,∴∠2=∠3=45°∴EG=CG.
【典型题5】★如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=10,求 DM的长度.
【思路分析】我们综合分析，先从题目结论入手，需要将 DM 放到三角形中求值，因此需要作辅助线，再从已知条件入手分析，注意到 Rt△ADB,M为中点,因此可以考虑取AB 的中点N，分别连接DN和MN，就有了直角三角形的斜边中线和中位线定理可以应用.详见本题的规律总结.
【答案解析】解:取AB 中点 N,连接DN,MN.在 Rt△ADB中,N是斜边AB上的中点.
在△ABC中,M,N分别是BC,AB的中点,∴MN∥AC∴∠NMB=∠C,
又∵∠NDB 是△NDM 的外角,
∴∠NDB =∠NMD +∠DNM.
即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM.又∵∠B=2∠C,∴∠DNM=∠C=∠NMD.∴DM=DN.∴DM=5.
【规律总结】辅助线作法：
(1)已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即 来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
(2)已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理.
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：
DE∥BC,.且 来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.
(3)另外关于中线的辅助线还有：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.我们到等腰三角形专题再进行分析.
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”.
【总结升华】到此同学们应该再次总结：我们前面分析过的辅助线作法(垂直平分线、角平分线、截长补短等)，最终都是在构造全等三角形或者特殊三角形，我们可称为：具备全等(或特殊)条件，构造全等(或特殊)三角形的辅助线作法.
利用三角形全等或“构造三角形全等”实现“等量代换”，实现等量代换的方法是多方面的，而利用三角形全等或构造全等三角形来实现等量代化是其中基本的也是非常重要的方法.而构造全等三角形是靠“具有部分全等条件”为基础再添加辅助线来完成的.那么有哪些是属于“具有部分全等条件”可引辅助线构造全等三角形的呢
(1)有角平分线(或作角平分线)时，利用角平分线作公共边，在角的两边上截取对应相等线段，构造全等三角形；
(2)有以线段中点为端点的线段时，常倍长该线段并借助对顶角构造全等三角形(其中分“倍长中线法”与“倍长中点法”).
巩固练习
【巩固练习1】★
已知△ABC中,AB=AC,CE 是AB 边上的中线,延长 AB 到 D,使 BD = AB,求证:CD=2CE.
【巩固练习2】
如图，在 中,AD 交BC 于点 D,点 E是BC 的中点,EF∥AD 交 CA 的延长线于点F,交 EF 于点 G,若 BG = CF,求证:AD 为△ABC 的角平分线.
【巩固练习3】
如图,AD 为 △ABC 的中线,∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交 AB、AC 于点 E、F,求证:BE+CF>EF.
【巩固练习4】
在 Rt△ABC 中,∠A =90°,点 D 为 BC 的中点,点 E,F 分别为AB,AC 上的点,且ED⊥FD,以线段 BE,EF,FC 为边能否构成一个三角形 若能，请判断三角形的形状
【巩固练习5】
如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,BC=6,点 P 是平面内一个动点,且AP=3,Q 为 BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m，则m的取值范围是 .
【巩固练习6】
如图①,在△ABC 中,点D,E,F 分别在边AB,BC,AC 上, BE =CE,点 G 在线段 CD 上,CG=CA,GF=DE,∠AFG=∠CDE.
(1)填空:与∠CAG 相等的角是 .
(2)用等式表示线段AD 与 BD 的数量关系，并证明；
(3)如图②,若∠BAC = 90°,∠ABC =2∠ACD,求 的值.
【巩固练习7】
在等腰△ABC中,AC=BC,△ADE 是直角三角形， 连接BD,BE,点 F 是BD的中点,连接CF.
(1)当∠CAB=45°时.
①如图①，当顶点 D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是 ;线段 BE 与线段 CF 的数量关系是 ；
②如图②,当顶点 D 在边AB上时,(1)中线段 BE 与线段 CF 的数量关系是否仍然成立 若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高 CM，并取 BE 的中点 N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二:取 DE的中点 G,连接AG,CG,并把△CAG 绕点 C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题.
(2)当∠CAB =30°时,如图③,当顶点 D在边AC上时，写出线段BE 与线段 CF 的数量关系，并说明理由.
1.证明:(1)延长 CE 到F,使. ,连接 BF.
∵CE是AB 边上的中线,
2.【证明】如图，延长 FE，截取 EG,连接 CH.
∵E是BC 的中点,
在 和 中，
∴∠CAD=∠BAD.∴AD平分
即 AD 为 的角平分线.
3.证明：
延长ED到H, 使DE=DH, 连接CH, FH,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC,
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线,
= 90°
∵∠1=∠2,
∴∠3+∠2=90°,
即∠EDF =∠FDH,
在△EFD和△HFD中,
∴△EFD≌△HFD(SAS),
∴EF=FH,
在 和 中，
在 中，由三角形三边关系定理得：(
以线段BE，EF，FC为边能构成三角形，该三角形是直角三角形.
4.延长FD到点G, 使DG = FD, 连接EG, BG.
∵D是BC的中点
∴BD =CD
在△BDG和△CDF中
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG =FC, ∠DBG =∠DCF,
∴BG//AC
∴∠EBG+∠BAC=180°,
∵∠BAC = 90°
∴∠EBG=90°,
∵ED⊥FD, DG=DF,
∴DE垂直平分FG
∴EF =EG
∴以线段BE，EF，FC为边能构成三角形，且该三角形是直角三角形.
5.如图, 取AB的中点M, 连接QM, CM,
在 中，
∵点M是AB的中点，
∵点Q是PB的中点，点M是AB的中点，
∴QM是 的中位线，
在 中，
∵点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值
当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值
综上，m的取值范围为：
故答案为：
6. 解: (1) ∵CG=CA, ∴∠CAG=∠CGA. 故答案为∠CGA;
证明: 在CG上取一点M, 使GM=AF, 连接AM, EM, 如图1.
∵∠CAG=∠CGA, 且AG=AG, ∴△FAG≌△MGA.
∴∠AFG=∠GMA, GF=AM. 又∵GF=DE, ∴AM=DE.
∵∠AFG=∠CDE, ∴∠GMA=∠CDE. ∴DE∥AM.
∴四边形DEMA是平行四边形. ∴EM∥AD, EM=AD.
∵BE=CE, ∴EM为△BDC的中位线.
(3) 在CG上取一点M, 使GM=AF, 连接AM, EM, 如图2.由 (2) 可得四边形DEMA是平行四边形，(
∴∠BDE=∠DAM, DE=AM.
∴∠AMD=2∠ACD.
∴∠AMD=∠ABC.
由 (2) 可知
设AD=1, 则
7.(1)①如图1, 连接BE, 设DE交AB于T,
∵CA=CB, ∠CAB=45°,
∴∠CAB=∠ABC =45°,
∴∠ACB=90°,
∴∠ADE = 45°,
∵∠DAE = 90°,
∴∠ADE =∠AED =45°,
∴AD=AE,
∵∠DAT =∠EAT = 45°,
∴AT⊥DE, DT = ET,
∴AB垂直平分DE,
∴BD=BE,
∵∠BCD =90°, F是BD的中点,
∵∠CBA=45°, ∠EAB =45°,
∴∠EAB=∠ABC;
故答案为：
②成立，理由如下：
如图2, 取AB的中点M, BE的中点N, 连接CM,MN,
∵∠ACB=90°, CA=CB, AM=BM,
∴CM⊥AB, CM =BM = AM,设AD=AE=y, FM =x, DM =a, 则DF=FB=α+x,
∵AM =BM,
∴y+a=a+2x,
∴y=2x, 即AD=2FM,
∵AM= BM, EN = BN,
∴AE=2MN, MN//AE,
∴MN=FM, ∠BMN=∠EAB=90°,
∴∠CMF =∠BMN =90°,在△CMF和△BMN中,
∴△CMF≌△BMN(SAS),
∴CF=BN,
∵BE=2BN,
(2)结论: 理由如下：如图3, 取AB的中点T, 连接CT, FT,
∵CA=CB,∠CBA=30°
∴∠CAB=∠CBA=30°, ∠ACB=120°,
∵T为AB的中点, CA=CB,
∴AT=TB, CT⊥AB,
∵DF=FB, AT=TB,
∴TF//AD, AD=2FT,
∴∠FTB=∠CAB=30°,
又·

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