资源简介

(共65张PPT)
第一章
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4.4　诱导公式与旋转
1.掌握的正弦、余弦诱导公式的推导过程.
2.对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
学习目标
风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式
风车，后来又发明了水平轴风车.如图所示
的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶
之间的角度为直角，若将风车扇叶的最外
侧看作一个质点，那么四个质点之间存在
什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？
导 语
一、正弦函数、余弦函数诱导公式
二、利用诱导公式求值
随堂演练
三、利用诱导公式化简
四、诱导公式的综合应用
内容索引
课时对点练
一
正弦函数、余弦函数诱导公式
设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转的终边与单位圆交于点P'，求出点P'的坐标.
问题1
提示　由图可知P'(-v，u).
根据正弦函数、余弦函数的定义，角α+的正弦函数、余弦函数值分别是什么？
问题2
提示　sin=-v.
角α与角α+的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？
问题3
提示　sin=-sin α.
角α与角α-的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？
问题4
提示　sin=sin α.
1.正弦函数、余弦函数诱导公式
角 正弦 余弦
α+2kπ(k∈Z) _____ _____
-α ______ _____
α+π ______ ______
α-π ______ ______
π-α _____ ______
sin α
cos α
-sin α
cos α
-sin α
-cos α
-sin α
-cos α
sin α
-cos α
角 正弦 余弦
α+ _____ ______
-α _____ _____
cos α
-sin α
cos α
sin α
2.正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法
(1)α+2kπ(k∈Z)，-α，π-α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上把α看作锐角时原函数值的符号，简记为“函数名不变，符号看象限”.
(2)±α的函数值的符号.简记为“函数名改变，符号看象限”.
诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α看作锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
二
利用诱导公式求值
　　　已知求的值.
例 1
方法一　因为
所以sin
=
所以sin
=sin.
因为=π，
所以
=-
所以.
方法二　设
所以
=cos(π-β)sin=-cos2β
=-.
反
思
感
悟
对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系，如
-θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
　　　　　(1)已知cos(π+α)=-=　　.
跟踪训练 1
∵cos(π+α)=-cos α=-
∴cos α=
则sin.
　
(2)已知=　　.
sin
=.
　
三
利用诱导公式化简
　　　化简：其中k∈Z.
例 2
当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则
原式=
==1.
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z).
仿上化简得原式=1.
故原式=1.
反
思
感
悟
用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
　　　　　化简：.
跟踪训练 2
原式=
=
=
==1.
四
诱导公式的综合应用
　　　已知f(x)=.
(1)化简f(x)；
例 3
f(x)=
=
=.
(2)求f.
f
=.
反
思
感
悟
解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
　　　　　已知f(α)=.
(1)化简f(α)；
跟踪训练 3
f(α)==-cos α.
(2)若cos(α-π)=求f(α)的值.
因为cos(α-π)=
所以cos α=-
所以f(α)=-cos α=.
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的诱导公式.
(2)利用诱导公式进行化简、求值与证明.
2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归.
3.常见误区：函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.已知sin 25.3°=a，则cos 64.7°等于
A.a B.-a
C.a2 D.
√
cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.
2.若cos(2π-α)=等于
A.- B.
C. D.
1
2
3
4
√
∵cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=
∴sin.
3.若+sin(φ-π)的值为
A.- B.
C. D.
1
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4
√
.
4.已知sin=　　.
1
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4
=sin.
　
课时对点练
六
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C BD B A A - -
题号 11 12 13 14　 　15
答案 D AC B C -
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9.
当n为偶数时，记n=2k，k∈Z.
原式=sincos
=sincos
=cos=sincos
=sincos=×=.
当n为奇数时，记n=2k+1，k∈Z.
答案
1
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9.
原式=sin
cos
=sincos
=sincos=sincos=×=.
综上，sincos=，n∈Z.
答案
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10.
因为左边=
=
=-cos α=右边，
所以等式成立.
答案
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16.
f(α)===.
(1)∵cos=，
∴cos=，
∴cos=，∴sin α=-，
∴f(α)==-5.
答案
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16.
(2)当α=-1 860°时，f(α)=
==
==
=-.
答案
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1.已知sin那么cos α等于
A.- B.
C. D.
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基础巩固
√
答案
sin=cos α，
故cos α=.
2.若sin>0，则θ为
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
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√
∵sin=cos θ<0，
=-sin θ>0，
∴sin θ<0，∴θ为第三象限角.
答案
3.(多选)下列与的值一定相等的是
A.sin(π-θ) B.sin(π+θ)
C. D.
√
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答案
√
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因为=-sin θ，
sin(π-θ)=sin θ，
sin(π+θ)=-sin θ，
=sin θ，
=-sin θ，
所以B，D项与的值相等.
答案
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4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为
A.- B.
C. D.
√
答案
由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-
得sin α=
则cos(270°-α)+2sin(360°-α)
=-sin α-2sin α=-3sin α=-.
5.化简：等于
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
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√
答案
原式===-sin θ.
6.如果角α的终边过点P则cos α等于
A.- B.
C. D.
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答案
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=-
sin
=sin
∴P
则点P在单位圆上，
∴cos α=-.
答案
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7.已知sin=　　.
=sin.
答案
　-
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8.已知sin α=·sin(α-π)·cos(2π-α)的值为　　.
原式=·(-sin α)·cos(-α)
=·(-sin α)·cos α
=·(-sin α)·cos α
=-sin 2α=-.
答案
　-
9.化简：sin n∈Z.
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当n为偶数时，记n=2k，k∈Z.
原式=sin
=sin=
=sin .
当n为奇数时，记n=2k+1，k∈Z.
答案
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原式=sin
=sin
=sin
=sin .
综上，sinn∈Z.
答案
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10.证明：=-cos α.
答案
因为左边===-cos α=右边，
所以等式成立.
11.已知cos(75°+α)=则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是
A. B.
C. D.
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综合运用
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sin(α-15°)+cos(105°-α)
=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)]
=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)
=-2cos(75°+α)=-.
答案
12.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是
A.sin(A+B)=sin C
B.cos(A+B)=cos C
C.sin
D.
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答案
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由题意知，在△ABC中，A+B+C=π，对于选项A，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，故选项A正确；
对于选项B，cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，故选项B错误；
对于选项C，sin
故选项D错误.
答案
13.若sin<0，且角α的终边经过点(3a-9，a+2)，则实数a的取值范围是
A.a<3 B.a<-2
C.-2-2
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√
答案
sin=sin α<0，∴α是第三象限角，
则解得a<-2.
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14.在平面直角坐标系中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线y=x对称，若cos α=则sin β等于
A.- B. C. D.
因为角α和角β的终边关于直线y=x对称，所以α+β=2
k∈Z.
故sin β=sin .
答案
√
15.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π)，则=　　.
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拓广探究
答案
　-
∵sin(α-3π)=2cos(α-4π)，
∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α)，
∴-sin(π-α)=2cos(-α)，
∴sin α=-2cos α且cos α≠0，
∴原式==.
16.已知f(α)= .
(1)若求f(α)的值；
f(α)==.
∵
∴
∴
∴f(α)==-5.
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答案
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(2)若α=-1 860°，求f(α)的值.
当α=-1 860°时，f(α)=
=
=.
答案4.4　诱导公式与旋转
［学习目标］　1.掌握±α与α-的正弦、余弦诱导公式的推导过程.2.对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
一、正弦函数、余弦函数诱导公式
问题1　设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P'，即α+的终边与单位圆交于点P'，求出点P'的坐标.
问题2　根据正弦函数、余弦函数的定义，角α+的正弦函数、余弦函数值分别是什么？
问题3　角α与角α+的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？
问题4　角α与角α-的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？
知识梳理
1.正弦函数、余弦函数诱导公式
角 正弦 余弦
α+2kπ(k∈Z)
-α
α+π
α-π
π-α
α+
-α
2.正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法
(1)α+2kπ(k∈Z)，-α，π-α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上把α看作锐角时原函数值的符号，简记为“函数名不变，符号看象限”.
(2)±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值的符号.简记为“函数名改变，符号看象限”.
诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α看作锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
二、利用诱导公式求值
例1　已知cos=，
求cossin的值.
反思感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系，如-α与+α，+α与-α，-α与+α等互余，+θ与-θ，+θ与-θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
跟踪训练1　(1)已知cos(π+α)=-，则sin=　　　　　　　　　.
(2)已知cos=，则sin=　　　　　　　　　　.
三、利用诱导公式化简
例2　化简：，其中k∈Z.
反思感悟　用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
跟踪训练2　化简：.
四、诱导公式的综合应用
例3　已知f(x)=.
(1)化简f(x)；
(2)求f.
反思感悟　解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
跟踪训练3　已知f(α)=.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α-π)=，求f(α)的值.
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的诱导公式.
(2)利用诱导公式进行化简、求值与证明.
2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归.
3.常见误区：函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造.
1.已知sin 25.3°=a，则cos 64.7°等于(　　)
A.a B.-a
C.a2 D.
2.若cos(2π-α)=，则sin等于(　　)
A.- B.-
C. D.±
3.若cos=，则cos+sin(φ-π)的值为(　　)
A.- B.
C.- D.
4.已知sin=，则cos=　　　　.
答案精析
问题1　由图可知P'(-v，u).
问题2　sin=u，cos
=-v.
问题3　sin=cos α，
cos=-sin α.
问题4　sin=-cos α，
cos=sin α.
知识梳理
1.sin α　cos α　-sin α　cos α　-sin α
-cos α　-sin α　-cos α　sin α　-cos α　cos α　-sin α　cos α　sin α
例1　解　方法一　因为+=，
所以sin=sin
=cos=，
所以sin=sin
=sin=.
因为+=π，
所以cos=cos
=-cos=-，
所以cossin
=×=-.
方法二　设-α=β，则α=-β，cos β=，
所以cossin
=cos(π-β)sin=-cos2β
=-=-.
跟踪训练1　(1)
解析　∵cos(π+α)=-cos α=-，
∴cos α=，
则sin=cos α=.
(2)
解析　sin=sin
=cos=.
例2　解　当k为偶数时，
设k=2m(m∈Z)，则
原式=
=
==1.
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z).
仿上化简得原式=1.
故原式=1.
跟踪训练2　解　原式=
=
=
==1.
例3　解　(1)f(x)=
=
=.
(2)f====-.
跟踪训练3　解　(1)f(α)
==-cos α.
(2)因为cos(α-π)=，
所以cos α=-，
所以f(α)=-cos α=.
随堂演练
1.A　2.A　3.D　4.作业6　诱导公式与旋转
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.已知sin那么cos α等于(　　)
A.- B.
C. D.
2.若sin>0，则θ为(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.(多选)下列与的值一定相等的是(　　)
A.sin(π-θ) B.sin(π+θ)
C. D.
4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为(　　)
A.- B.
C. D.
5.化简：等于(　　)
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
6.如果角α的终边过点P则cos α等于(　　)
A.- B.
C. D.
7.(5分)已知sin=　　　　.
8.(5分)已知sin α=·sin(α-π)·cos(2π-α)的值为　　　　.
9.(10分)化简：sin n∈Z.
10.(11分)证明：=-cos α.
11.已知cos(75°+α)=则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是(　　)
A. B.
C. D.
12.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A.sin(A+B)=sin C
B.cos(A+B)=cos C
C.sin
D.
13.若sin<0，且角α的终边经过点(3a-9，a+2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.a<3 B.a<-2
C.-2-2
14.在平面直角坐标系中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线y=x对称，若cos α=则sin β等于(　　)
A.- B.
C. D.
15.(5分)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π)，则=　　　　.
16.(12分)已知f(α)= .
(1)若求f(α)的值；(6分)
(2)若α=-1 860°，求f(α)的值.(6分)
答案精析
1.C　2.C　3.BD　4.B　5.A
6.A　［cos =cos=cos
=-cos =-，
sin =sin=sin =sin=sin=，
∴P，
则点P在单位圆上，∴cos α=-.］
7.-
8.-
解析　原式=·(-sin α)·cos(-α)
=·(-sin α)·cos α
=·(-sin α)·cos α
=-sin2α=-.
9.解　当n为偶数时，记n=2k，k∈Z.
原式=sincos
=sincos
=cos=sincos
=sincos=×=.
当n为奇数时，记n=2k+1，k∈Z.
原式=sin
cos
=sincos
=sincos
=sincos=×=.
综上，sincos=，n∈Z.
10.证明　因为左边=
=
=-cos α=右边，
所以等式成立.
11.D　［sin(α-15°)+cos(105°-α)
=sin［(75°+α)-90°］+cos［180°-(75°+α)］
=-sin［90°-(75°+α)］-cos(75°+α)
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)
=-2cos(75°+α)=-.］
12.AC　［由题意知，在△ABC中，A+B+C=π，对于选项A，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，故选项A正确；对于选项B，cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，故选项B错误；对于选项C，sin=sin=cos，故选项C正确；对于选项D，cos=cos=sin，故选项D错误.］
13.B　［sin=cos α<0，
cos=sin α<0，∴α是第三象限角，
则解得a<-2.］
14.C　［因为角α和角β的终边关于直线y=x对称，所以α+β=
2=2kπ+，k∈Z.
故sin β=sin=cos α
=.］
15.-
解析　∵sin(α-3π)=2cos(α-4π)，
∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α)，
∴-sin(π-α)=2cos(-α)，
∴sin α=-2cos α且cos α≠0，
∴原式=
=
==-.
16.解　f(α)=
==.
(1)∵cos=，
∴cos=，
∴cos=，∴sin α=-，
∴f(α)==-5.
(2)当α=-1 860°时，f(α)=
==
==
=-.

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