资源简介

(共84张PPT)
第一章
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§6　函数y=Asin(ωx+φ)的
性质与图象(二)
1.会用“五点(画图)法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象，确定其解析式.
3.了解y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.
学习目标
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y=Asin(ωx+φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示.
你能根据图象，求出A，ω，φ吗？这节课我们
继续学习函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象.
导 语
一、“五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象
二、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质及应用
课时对点练
三、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
随堂演练
内容索引
一
“五点(画图)法”作函数y=
Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象
在前面我们根据“五点(画图)法”能作出函数y=sin x的图象，我们如何利用“五点(画图)法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象？
问题
提示　整体代换思想，令ωx+φ分别为02π，解出x，从而确定五点的坐标.
用“五点(画图)法”作y=Asin(ωx+φ) 的图象的步骤
第一步：列表：
ωx+φ 0 π 2π
x -
y 0 A 0 -A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象.
　　　用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的简图.
例 1
令X=3x+则x=列表如下：
X 0 π 2π
x -
y 0 2 0 -2 0
描点连线，画图如右.
本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？
因为x∈
列表如下：
描点连线，画图如右.
延伸探究
3x+ π 2π
x 0
y 1 2 0 -2 0 1
(1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx+φ分别为02π，解出x，从而确定这五点.
(2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx+φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象.
反
思
感
悟
二
函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质及应用
函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质
名称 性质
定义域 ___
值域 ________
周期性 T=___
对称中心 (k∈Z)
对称轴 __________________
R
[-A，A]
x=(k∈Z)
名称 性质
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是 函数；当φ=kπ+(k∈Z)时是 函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
奇
偶
在求函数y=Asin(ωx+φ)的基本性质时，应注意将ωx+φ看作一个整体，即整体代换.
注 意 点
<<<
　　　函数f(x)=sin(ωx+φ)
.
(1)求f(x)的解析式；
例 2
由条件
∴=1，
∴+2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ-k∈Z，
∵|φ|<
∴φ=-
∴f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)将y=f(x)的图象先向右平移
上的最大值和最小值.
将y=f(x)的图象先向右平移个单位长度，
得y=sin
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，
得g(x)=sin
故函数g(x)在.
反
思
感
悟
研究函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值与值域、对称性等性质时，把ωx+φ看作一个整体，借助正弦函数y=sin x的性质，可得到函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质，在其中研究该函数的单调性时，要关注ω的符号.
　　　　　设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，函数y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值；
跟踪训练 1
由2x+φ=kπ+k∈Z，
得x=k∈Z，
令k∈Z，
得φ=kπ+k∈Z.∵-π<φ<0，
∴φ=-.
由(1)知，f(x)=sin.
由2kπ-k∈Z，
得kπ+k∈Z，
故函数的单调递增区间是k∈Z，
同理可得函数的单调递减区间是k∈Z.
当2x-k∈Z，即x=kπ+k∈Z时，函数取得最大值1；
当2x-k∈Z，即x=kπ+k∈Z时，函数取得最小值-1.
(2)求函数y=f(x)的单调区间及最值.
三
函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
1.函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
A
　
　
ωx+φ
φ
2.由图象求解析式y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的方法.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定A.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T=确定ω.
(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=；
“第五点”为ωx+φ=2π.
　　　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
例 3
方法一　(逐一定参法)
由图象知振幅A=3，又T==π，
∴ω=可知，
-×2+φ=2kπ，k∈Z，
又|φ|<.
方法二　(图象变换法)
由T=π，点A=3可知，
图象是由y=3sin 2x向左平移
.
反
思
感
悟
方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
方法二：通过若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
已知图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的方法
　　　　　(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ≤π)的图象如图所示，则
φ=　　.
跟踪训练 2
　
由题意得
所以T=.
又由x=时，y=-1，
得-1=sin
又-
所以.
(2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)，ω>0，|φ|<
=　　　.
　-
由题意知(T为f(x)的最小正周期)，
所以T=π=π，即ω=2.
又点在函数f(x)的图象上，
所以2=0，
所以2×+2kπ(k∈Z).
又|φ|<
所以f(x)=2
所以f.
1.知识清单：
(1)“五点(画图)法”.
(2)由图象求三角函数的解析式.
(3)三角函数的性质的综合问题.
2.方法归纳：特殊点法、数形结合法、整体法.
3.常见误区：求φ值时注意递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数y=sin的相位和初相分别是
A.-2x+ B.
C.2x+ D.
√
y=sin
故相位和初相分别为2x+.
2.如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为　　　 　.
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y=
1
2
3
4
由图象，可得A=
∴ω=2.
∵函数图象过点=0，
∴+φ=kπ，k∈Z，∴φ=kπ-k∈Z，
又∵-π<φ<0，∴φ=-
故函数的解析式为y=.
3.函数y=-2sin+1的最大值为　 ，取得最大值时x的取值集合为
　　　 　.
1
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4
ymax=-2×(-1)+1=3，
令2x-+2kπ，k∈Z，
解得x=-+kπ，k∈Z.
3
　
4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x=则φ的值为　　　.
1
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3
4
由题意知2×+kπ，k∈Z，
所以φ=+kπ，k∈Z，
又-π<φ<0，
所以φ=-π.
-π
课时对点练
五
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A AD C A ABC D 2　 　
题号 11 12 13 14　 　15
答案 B B BC (1，+∞) 　
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9.
(1)函数f(x)的振幅为，
最小正周期T==π，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)，
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
答案
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9.
(2)令2x+=kπ+(k∈Z)，
则x=+(k∈Z)，
所以对称轴方程为x=+(k∈Z)；
令2x+=kπ(k∈Z)，则x=-(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z).
答案
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9.
(3)当sin=-1，
即2x+=-+2kπ(k∈Z)，
即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，
此时x的取值集合是.
答案
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10.
(1)列表如右：
描点连线，图象如图所示.
答案
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2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 -2 0
10.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.
答案
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10.
(3)先将y=sin x的图象向右平移
倍(或先将y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
个单位长度)，最后将所得函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y=f(x)的图象.
答案
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16.
(1)由题图，知A=2，
由函数图象过点(0，1)，得f(0)=1，
即sin φ=，又|φ|<，所以φ=.
易知点是五点作图法中的第五点，
所以ω+=2π，所以ω=2.
因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.
答案
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(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.
因为f(x)的最大值为2，
令lg x=2，得x=100，
令+kπ<100(k∈Z)，
得k≤30(k∈Z).
而+31π>100，
且+30π+<100，
答案
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16.
所以在区间(0，100］内有31个形如
(k∈Z，0≤k≤30)的区间.
在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，
故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点.
另外，两函数的图象在上还有一个交点，
所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.
答案
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1.函数y=sin上的简图是
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基础巩固
答案
√
当x=0时，y=sin
=sin 0=0，排除C.
2.(多选)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x有f等于
A.-3 B.-1
C.0 D.3
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√
由于函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f
=-3或3.
答案
√
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图，则其解析式为
A.f(x)=2sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
√
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答案
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由图象知，A=2，T==π，
所以ω=2，又函数图象过点
所以2sin =0，
所以-+φ=kπ，k∈Z，
所以φ=+kπ，k∈Z，φ可取
所以f(x)=2sin .
答案
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4.已知函数f(x)=要得到y=f(x)的图象，只需把y=cos ωx的图象
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
√
答案
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由已知得故ω=2.
y=cos 2x的图象向右平移个单位长度可得
y=cos 2的图象.
答案
5.(多选)函数f(x)=cos(2x+φ)个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是
A.关于点对称
B.关于直线x=-对称
C.关于点对称
D.关于直线x=对称
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√
√
答案
√
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将函数f(x)=cos(2x+φ)
k∈Z，又|φ|<
.
令x=-故A不正确；
令x=-=0，故B不正确；
令x=求得f(x)=cos 0=1，为函数的最大值，故C不正确，D正确.
答案
6.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，
则f(1)的值为
A.- B. C. D.
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√
答案
由函数f(x)是奇函数，且0<φ<π，可得φ=
所以f(1)=.
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7.已知函数y=2sin(ωx+φ)
时有最小值-2，则ω=　　，φ=　　.
由题意知，T=2×=π，
所以ω=时有最大值2，
所以2sin =2，
所以+2kπ，k∈Z，又|φ|≤
所以φ=.
答案
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8.已知函数f(x)=-2上单调，则f(π)=　　.
答案
　
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函数f(x)=-2
=0，
即k∈Z，
得到ω=k∈Z，
因为f(x)在区间上单调，
所以
答案
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所以
而ω>0，所以k=0，ω=.
则f(π)=.
答案
9.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间；
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函数f(x)的振幅为
最小正周期T==π，
由2kπ-(k∈Z)，
得kπ-(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
答案
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
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令2x+(k∈Z)，
则x=(k∈Z)，
所以对称轴方程为x=(k∈Z)；
令2x+=kπ(k∈Z)，则x=(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z).
答案
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
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当sin =-1，
即2x++2kπ(k∈Z)，
即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为
此时x的取值集合是.
答案
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10.已知函数f(x)=2sin .
(1)请用“五点(画图)法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
答案
列表如右：
描点连线，图象如图所示.
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 -2 0
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(2)求函数f(x)的单调递增区间；
答案
令-+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是
k∈Z.
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(3)试问y=f(x)的图象是由y=sin x的图象经过怎样变换得到？
答案
先将y=sin x的图象向右平移
个单位长度)，最后将所得函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y=f(x)的图象.
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，
|φ|<则
A.b=4 B.φ=
C.ω=1 D.A=4
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综合运用
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由函数图象可知f(x)min=0，f(x)max=4.
所以A==2.
由周期T=知ω=2.
由f+2=4，
sin.
答案
12.把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为
A.1 B.2
C. D.
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答案
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依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2
则函数g(x)=2.
因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2，
则g(x)=2.
又因为函数g(x)为奇函数，0<φ<π，
所以φ+(k∈Z)，则φ=.
答案
13.(多选)关于函数f(x)=4sin(x∈R)，下列命题中正确的是
A.由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍
B.y=f(x)的表达式可改写成y=4
C.y=f(x)的图象关于点对称
D.y=f(x)的图象关于直线x=-对称
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√
答案
√
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16
对于A，由f(x)=0，可得2x+=kπ(k∈Z)，∴x=(k∈Z)，∴x1-x2是的整数倍，∴A错；
对于B，f(x)=4sin 利用公式，得
f(x)=4
∴B对；
答案
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16
对于C，f(x)=4sin=kπ，k∈Z，∴x=k∈Z.
∴是函数y=f(x)的一个对称中心，
∴C对；
对于D，函数y=f(x)的对称轴满足2x++kπ，k∈Z，∴x=k∈Z，∴D错.
答案
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14.已知函数f(x)=1+2sin
上恒成立，则实数m的取值范围为　　　　.
答案
(1，+∞)
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∵x∈
∴sin
∴f(x)∈[2，3].
∵不等式f(x)-m<2在x∈上恒成立，
即不等式f(x)∴f(x)max1.
答案
15.已知函数f(x)=sin 上有最小值，无最大值，则ω=　.
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拓广探究
答案
　
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依题意知f(x)=sin
上有最小值，无最大值，
∴f(x)的图象关于直线x=对称，
即关于直线x=
∴+2kπ，k∈Z，且0<ω<12，
∴ω=.
答案
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16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；
答案
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答案
由题图，知A=2，
由函数图象过点(0，1)，得f(0)=1，
即sin φ=.
易知点是五点作图法中的第五点，
所以=2π，所以ω=2.
因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.
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(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.
答案
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在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.
因为f(x)的最大值为2，
令lg x=2，得x=100，
令+kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z).
而<100，
所以在区间(0，100]内有31个形如
(k∈Z，0≤k≤30)的区间.
答案
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在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的
图象在上有2×31=62(个)交点.
另外，两函数的图象在上还有一个交点，
所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.
答案［学习目标］　1.会用“五点(画图)法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.
一、“五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象
问题　在前面我们根据“五点(画图)法”能作出函数y=sin x的图象，我们如何利用“五点(画图)法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象？
知识梳理
用“五点(画图)法”作y=Asin(ωx+φ) 的图象的步骤
第一步：列表：
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
y 0 A 0 -A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象.
例1　用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的简图.
延伸探究　本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？
反思感悟　(1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx+φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点.
(2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时，若x∈［m，n］，则应先求出ωx+φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象.
二、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质及应用
知识梳理
函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质
名称 性质
定义域
值域
周期性 T=　　　
对称中心 (k∈Z)
对称轴
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是　　　函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是　　　函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
例2　函数f(x)=sin(ωx+φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)，求函数g(x)在上的最大值和最小值.
反思感悟　研究函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值与值域、对称性等性质时，把ωx+φ看作一个整体，借助正弦函数y=sin x的性质，可得到函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质，在其中研究该函数的单调性时，要关注ω的符号.
跟踪训练1　设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，函数y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值；
(2)求函数y=f(x)的单调区间及最值.
三、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
知识梳理
1.函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
2.由图象求解析式y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的方法.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定A.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T=确定ω.
(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=；
“第五点”为ωx+φ=2π.
例3　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
反思感悟　已知图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的方法
方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
方法二：通过若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
跟踪训练2　(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ≤π)的图象如图所示，则φ=　　　　.
(2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f=　　　　.
1.知识清单：
(1)“五点(画图)法”.
(2)由图象求三角函数的解析式.
(3)三角函数的性质的综合问题.
2.方法归纳：特殊点法、数形结合法、整体法.
3.常见误区：求φ值时注意递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别.
1.函数y=sin的相位和初相分别是(　　)
A.-2x+ B.2x-，-
C.2x+ D.2x+
2.如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为　　　　.
3.函数y=-2sin+1的最大值为　　　　，取得最大值时x的取值集合为　　　　　　　　　　.
4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x=，则φ的值为　　　　　　　　　　.
答案精析
问题　整体代换思想，令ωx+φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定五点的坐标.
例1　解　令X=3x+，
则x=，列表如下：
X 0 π 2π
x -
y 0 2 0 -2 0
描点连线，画图如下.
延伸探究　解　因为x∈，
所以3x+∈，
列表如下：
3x+ π 2π
x 0
y 1 2 0 -2 0 1
描点连线，画图如下.
知识梳理
R　［-A，A］　　x=+(k∈Z)　奇　偶
例2　解　(1)由条件，=-=，
∴=π，∴ω=2，
又sin=1，
∴+φ=+2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ-，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ=-，
∴f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)将y=f(x)的图象先向右平移个单位长度，
得y=sin=sin，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，
得g(x)=sin，
而x∈，
故-≤4x-≤，
故函数g(x)在上的最大值为1，最小值为-.
跟踪训练1　解　(1)由2x+φ=kπ+，k∈Z，
得x=+-，k∈Z，
令+-=，k∈Z，
得φ=kπ+，k∈Z.∵-π<φ<0，
∴φ=-.
(2)由(1)知，f(x)=sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
故函数的单调递增区间是
，k∈Z，
同理可得函数的单调递减区间是
，k∈Z.
当2x-=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z时，函数取得最大值1；
当2x-=2kπ-，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z时，函数取得最小值-1.
知识梳理
1.A　　　ωx+φ　φ
例3　解　方法一　(逐一定参法)
由图象知振幅A=3，
又T=-=π，
∴ω==2.由图象过点可知，
-×2+φ=2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ=，
∴y=3sin.
方法二　(图象变换法)
由T=π，点，A=3可知，
图象是由y=3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，
∴y=3sin 2，
即y=3sin.
跟踪训练2　(1)
解析　由题意得=2π-，
所以T=，ω=.
又由x=时，y=-1，
得-1=sin，又-<+φ≤，所以+φ=，所以φ=.
(2)-
解析　由题意知，T=-=(T为f(x)的最小正周期)，
所以T=π，=π，即ω=2.
又点在函数f(x)的图象上，
所以2cos=0，
所以2×+φ=+2kπ(k∈Z).
又|φ|<，所以令k=0，得φ=-，
所以f(x)=2cos，
所以f=2cos=-2cos =-.
随堂演练
1.C　2.y=sin
3.3　
4.-π作业11　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象(二)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.函数y=sin上的简图是(　　)
2.(多选)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x有f等于(　　)
A.-3 B.-1
C.0 D.3
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图，则其解析式为(　　)
A.f(x)=2sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
4.已知函数f(x)=要得到y=f(x)的图象，只需把y=cos ωx的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
5.(多选)函数f(x)=cos(2x+φ)个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是(　　)
A.关于点对称
B.关于直线x=-对称
C.关于点对称
D.关于直线x=对称
6.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为(　　)
A.- B.
C. D.
7.(5分)已知函数y=2sin(ωx+φ)时有最小值-2，则ω=　　　　，φ=　　　　.
8.(5分)已知函数f(x)=-2上单调，则f(π)=　　　　　.
9.(10分)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间；(4分)
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3分)
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.(3分)
10.(10分)已知函数f(x)=2sin .
(1)请用“五点(画图)法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(3分)
(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3分)
(3)试问y=f(x)的图象是由y=sin x的图象经过怎样变换得到？(4分)
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<则(　　)
A.b=4 B.φ=
C.ω=1 D.A=4
12.把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)
A.1 B.2
C. D.
13.(多选)关于函数f(x)=4sin(x∈R)，下列命题中正确的是(　　)
A.由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍
B.y=f(x)的表达式可改写成y=4
C.y=f(x)的图象关于点对称
D.y=f(x)的图象关于直线x=-对称
14.(5分)已知函数f(x)=1+2sin上恒成立，则实数m的取值范围为　　　　　　.
15.(5分)已知函数f(x)=sin 上有最小值，无最大值，则ω=　　　　.
16.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；(4分)
(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.(8分)
答案精析
1.A　2.AD　3.C　4.A
5.ABC　［将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y=cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得-+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|<，所以φ=-，
所以f(x)=cos.
令x=-，求得f(x)=cos
=-，故A不正确；
令x=-，求得f(x)=cos
=0，故B不正确；
令x=，求得f(x)=cos 0=1，为函数的最大值，故C不正确，D正确.］
6.D　［由函数f(x)是奇函数，且0<φ<π，可得φ=.由图象及已知可得函数的最小正周期为4，得ω=.由△EFG的边FG上的高为，可得A=，
所以f(x)=cos，
所以f(1)=cos π=-.］
7.2　
8.
解析　函数f(x)=-2cos ωx的图象关于点对称，
所以-2cos=0，
即ω=kπ+，k∈Z，
得到ω=k+，k∈Z，
因为f(x)在区间上单调，
所以≥，即T≥，
所以≥，所以ω≤，
而ω>0，所以k=0，ω=.
则f(π)=.
9.解　(1)函数f(x)的振幅为，
最小正周期T==π，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)，
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x+=kπ+(k∈Z)，
则x=+(k∈Z)，
所以对称轴方程为x=+(k∈Z)；
令2x+=kπ(k∈Z)，则x=-(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z).
(3)当sin=-1，
即2x+=-+2kπ(k∈Z)，
即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，
此时x的取值集合是.
10.解　(1)列表如下：
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 -2 0
描点连线，图象如图所示.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.
(3)先将y=sin x的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍(或先将y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，然后将所得函数图象向右平移个单位长度)，最后将所得函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y=f(x)的图象.
11.B　［由函数图象可知f(x)min=0，
f(x)max=4.
所以A==2，b==2.
由周期T==4知ω=2.
由f=4得2sin+2=4，
sin=1，又|φ|<，
故φ=.］
12.B　［依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为
m(x)=2cos，
则函数g(x)=2cos.
因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2，
则g(x)=2cos.
又因为函数g(x)为奇函数，0<φ<π，
所以φ+=kπ+(k∈Z)，
则φ=.］
13.BC　［对于A，由f(x)=0，可得2x+=kπ(k∈Z)，∴x=-(k∈Z)，∴x1-x2是的整数倍，∴A错；
对于B，f(x)=4sin利用公式，得f(x)=4cos
=4cos，
∴B对；
对于C，f(x)=4sin的对称中心满足2x+=kπ，k∈Z，
∴x=-，k∈Z.
∴是函数y=f(x)的一个对称中心，
∴C对；
对于D，函数y=f(x)的对称轴满足2x+=+kπ，k∈Z，
∴x=+，k∈Z，∴D错.］
14.(1，+∞)
解析　∵x∈，
2x-∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈［2，3］.
∵不等式f(x)-m<2在
x∈上恒成立，
即不等式f(x)x∈上恒成立，
∴f(x)max∴m>1.
15.
解析　依题意知f(x)=sin
(ω>0)，f=f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，
∴f(x)的图象关于直线x=对称，
即关于直线x=对称，
且-∴·ω+=+2kπ，k∈Z，
且0<ω<12，∴ω=.
16.解　(1)由题图，知A=2，
由函数图象过点(0，1)，得f(0)=1，
即sin φ=，又|φ|<，所以φ=.
易知点是五点作图法中的第五点，
所以ω+=2π，所以ω=2.
因此所求函数的解析式为
f(x)=2sin.
(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.
因为f(x)的最大值为2，
令lg x=2，得x=100，
令+kπ<100(k∈Z)，
得k≤30(k∈Z).
而+31π>100，
且+30π+<100，
所以在区间(0，100］内有31个形如
(k∈Z，0≤k≤30)的区间.
在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点.
另外，两函数的图象在上还有一个交点，
所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.

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