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第一章
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章末复习课
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一、三角函数的化简与求值
二、三角函数的图象与性质
三、数形结合思想在三角函数中的应用
内容索引
三角函数的化简与求值
一
1.三角函数的化简与求值主要用到了任意角三角函数的定义，三角函数的诱导公式的知识，其中熟练掌握诱导公式是关键所在.
2.通过三角函数的化简与求值，提升逻辑推理和数学运算素养.
　　 已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin α的值；
例 1
∵点P在单位圆上，
∴由正弦的定义得sin α=-.
(2)求的值.
原式=
由余弦的定义得cos α=.
解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值.
反
思
感
悟
跟踪训练 1
化简：.
=
=
==1.
二
三角函数的图象与性质
1.三角函数的图象与性质主要是借助于正弦函数的图象与性质，利用整体思想研究y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和三角函数的图象变换，这是三角函数中的核心内容.
2.通过研究三角函数的图象与性质，促进直观想象和数学运算素养的提升.
例 2
　　 将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标伸长到原来的sin x的图象.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
函数y=
-1的图象，
∴函数y=f(x)的最小正周期为T==6.
由2kπ-k∈Z，
得6k-k∈Z，
∴函数y=f(x)的单调递增区间是k∈Z.
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g(x)的最小值和最大值.
∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y=f(x)的最值.
∵当x∈[3，4]时
∴sin .
∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最小值是-1，最大值为.
反
思
感
悟
研究y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值问题，把ωx+φ看作一个整体来解决.
已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且在上单调递减，求ω的取值范围.
跟踪训练 2
因为函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，
所以φ==-sin ωx，
要使得f(x)在上单调递增，
因为x∈>0，
结合正弦函数图象可知-
解得ω≤综上，ω∈.
数形结合思想在三角函数中的应用
三
1.在三角函数学习和解题过程中，善于运用数形结合的方法寻找解题的突破口，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图促解题，用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果.
2.通过数形结合的方法，促进直观想象和核心素养的提升.
　 如果关于x的方程sin 2x-(2+a)sin x+2a=0在x∈上有两个实数根，求实数a的取值范围.
例 3
sin 2x-(2+a)sin x+2a=0，
即(sin x-2)(sin x-a)=0.
∵sin x-2≠0，∴sin x=a，
因此此题转化为求在x∈上，
sin x=a有两个实数根时a的取值范围.
由y=sin x，x∈≤a<1.
故实数a的取值范围是.
反
思
感
悟
数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.
方程lg|x|=sin 的实数根的个数为
A.4 B.5
C.6 D.7
跟踪训练 3
√
由≤1得-1≤lg|x|≤1，
即
图象公共点的个数，当x>0时，
两函数图象如图所示，
两图象有3个公共点，同理，当x<0时，两图象也有3个公共点，
故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根，故选C.　　　　　　　　　　　　　　　　
一、三角函数的化简与求值
1.三角函数的化简与求值主要用到了任意角三角函数的定义，三角函数的诱导公式的知识，其中熟练掌握诱导公式是关键所在.
2.通过三角函数的化简与求值，提升逻辑推理和数学运算素养.
例1　已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin α的值；
(2)求的值.
反思感悟　解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值.
跟踪训练1　化简：.
二、三角函数的图象与性质
1.三角函数的图象与性质主要是借助于正弦函数的图象与性质，利用整体思想研究y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和三角函数的图象变换，这是三角函数中的核心内容.
2.通过研究三角函数的图象与性质，促进直观想象和数学运算素养的提升.
例2　将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y=sin x的图象.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，求当x∈［0，1］时，函数y=g(x)的最小值和最大值.
反思感悟　研究y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值问题，把ωx+φ看作一个整体来解决.
跟踪训练2　已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且在上单调递减，求ω的取值范围.
三、数形结合思想在三角函数中的应用
1.在三角函数学习和解题过程中，善于运用数形结合的方法寻找解题的突破口，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图促解题，用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果.
2.通过数形结合的方法，促进直观想象和核心素养的提升.
例3　如果关于x的方程sin2x-(2+a)sin x+2a=0在x∈上有两个实数根，求实数a的取值范围.
反思感悟　数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.
跟踪训练3　方程lg|x|=sin的实数根的个数为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案精析
例1　解　(1)∵点P在单位圆上，
∴由正弦的定义得sin α=-.
(2)原式=·==，
由余弦的定义得cos α=，故原式=.
跟踪训练1　解　··
=··
=··=··
=··=1.
例2　解　(1)函数y=sin x的图象向下平移1个单位长度得y=sin x-1，再将得到的图象上的点的横坐标缩短为原来的，得到y=sinx-1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y=sin-1的图象，
∴函数y=f(x)的最小正周期为
T==6.
由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈Z，
得6k-≤x≤6k+，k∈Z，
∴函数y=f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴当x∈［0，1］时，y=g(x)的最值即为x∈［3，4］时，y=f(x)的最值.
∵当x∈［3，4］时，
x-∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈.
∴当x∈［0，1］时，y=g(x)的最小值是-1，最大值为.
跟踪训练2　解　因为函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，
所以φ=，故f(x)=cos
=-sin ωx，
要使得f(x)在上单调递减，只需y=sin ωx在上单调递增，
因为x∈，所以ωx∈，其中-<0，>0，
结合正弦函数图象可知-≥-，≤，解得ω≤，
综上，ω∈.
例3　解　sin2x-(2+a)sin x+2a=0，
即(sin x-2)(sin x-a)=0.
∵sin x-2≠0，∴sin x=a，
因此此题转化为求在x∈上，
sin x=a有两个实数根时a的取值范围.
由y=sin x，x∈与y=a的图象(图略)知，≤a<1.
故实数a的取值范围是.
跟踪训练3　C　［由≤1得-1≤lg|x|≤1，
即≤|x|≤10，
方程lg|x|=sin实根的个数就是函数y=lg|x|与y=sin图象公共点的个数，当x>0时，两函数图象如图所示，
两图象有3个公共点，同理，当x<0时，两图象也有3个公共点，
故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根，故选C.］

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