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2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(理)汇编
圆锥曲线方程部分
1．（安徽3）下列曲线中离心率为的是
（A） （B） （C） （D）
答案：B 解析：由得，选B
2．（安徽20）（本小题满分13分）
点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；
（II）证明:构成等比数列.
解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
解：（I）（方法一）由得代入椭圆,
得.
将代入上式,得从而
因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得
即故P与Q重合。
（方法三）在第一象限内，由可得
椭圆在点P处的切线斜率
切线方程为即。
因此，就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。
（II）的斜率为的斜率为
由此得构成等比数列。
3．（福建13)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________
答案：2
解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有
，又。
4．(福建19)（本小题满分13分）
已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a>0）与x轴
的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上
异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
解法一：
(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,
(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SB为直线的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.
由
设点
故,从而.
亦即
由得
由,可得即
经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SO为直径的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为
由
设点,则有
故
由所直线SM的方程为
O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.
故存在,使得O,M,S三点共线.
5．（广东19）．（本小题满分１４分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．
（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；
（２）若曲线与点有公共点，试求的最小值．
解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.
（2）曲线，
即圆：，其圆心坐标为，半径
由图可知，当时，曲线与点有公共点；
当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.
6．(江苏18)（本小题满分16分）21世纪教育网
在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P坐标为或。
7．(辽宁卷16)已知F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），
P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。
答案：9 解析：设双曲线的右焦点为E，则，
，当A、P、E共线时，
，的最小值为9。
8．(辽宁 20 ) （本小题满分 12 分）
已知椭圆C经过点A,两个焦点为.
( 1)求椭圆C的方程；
(2 )E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值．并求出这个定值．
（1）解：由题意，可设椭圆方程为，
∵A在椭圆上，∴，解得，（舍去）
∴椭圆C的方程为----------------4分。
（2）设AE的方程为：，代入得：
，
设E，F，∵点A在椭圆上，∴，
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式以代，可得
∴直线EF的斜率，
即直线EF的斜率为定值。-------------------------12分
9．(山东9)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
答案:D.
解析：双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D.
【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
10．（山东22）（本小题满分14分）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”.
当时,.
当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
11． (天津21）（本小题满分14分）
以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。
求椭圆的离心率；
求直线AB的斜率；
设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分
解：由//且，得，从而
整理，得，故离心率
解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为，即.
由已知设，则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得.
依题意，
而 ①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以
③
联立①③解得，
将代入②中，解得.
(III)解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得.
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴
的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.
直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组
， 由解得故
当时，同理可得.
解法二：由（II）可知
当时，得,由已知得
由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，
且，所以四边形为等腰梯形.
由直线的方程为,知点H的坐标为.
因为，所以，解得m=c（舍），或.
则，所以. 当时同理可得
12．(浙江9)过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
答案：C 解析：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，
则有，
因．
13．(浙江21)（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点在抛物线：上，在点处
的切线与交于点．当线段的中点与的中
点的横坐标相等时，求的最小值．
解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，
（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则，
设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；
因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．
14．（宁夏、海南卷20）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
，
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得
。
整理得，其中。
（i）时。化简得
所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。
（ii）时，方程变形为，其中
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；
15．(北京8)点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，
且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
答案：A
解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
设，
则，
∵，
∴
消去n,整理得关于x的方程 （1）
∵恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.

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