第四章 §2 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(课件+学案+练习,共3份)

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第四章 §2 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(课件+学案+练习,共3份)

资源简介

(共92张PPT)
第四章
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2.2 两角和与差的正弦、
正切公式及其应用
1.了解两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的推导过程.
2.掌握两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切及其变形公式,并能灵活运用公式进行简单的恒等变换.
学习目标
上节课我们学习了两角和与差的余弦公式,那么两角和与差的正弦公式、正切公式是怎样的呢?
导 语
一、两角和与差的正弦公式
二、两角和与差的正切公式
随堂演练
三、两角和与差的正切公式的变形
四、两角和与差的正弦、正切公式的综合应用
内容索引
课时对点练

两角和与差的正弦公式
你能用类比的方法,借助诱导公式,推导出两角和与差的正弦公式吗?
问题1
提示 sin(α+β)=cos
=cos
=cossin β
=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin[α+(-β)]
=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)
=sin αcos β-cos αsin β.
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 Sα+β sin(α+β)=___________________ α,β∈R
两角差的正弦公式 Sα-β sin(α-β)=___________________ α,β∈R
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
注 意 点
<<<
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正,符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同,即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
注 意 点
<<<
   (1)已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为
A. B. C. D.
例 1

因为角α的终边经过点(-3,4),
则sin α=
所以sin
=.
(2)已知α∈则
α的值为  .
因为β∈
所以sin β=.
因为α∈
所以α+β∈
又sin(α+β)=
所以cos(α+β)=-
所以sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
=
由于α∈.
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.




解决给角求值问题的策略
     (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于
A.- B. C. D.
跟踪训练 1

原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°
=sin 30°=.
(2)已知sin α=且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
因为α为第一象限角,β为第二象限角,
sin α=
所以cos α=
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=.

两角和与差的正切公式
提示 tan(α+β)=
=.
用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).
你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗?
问题2
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切公式 tan(α+β)=___________ Tα+β α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)
两角差的正切公式 tan(α-β)=___________ Tα-β α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)
(1)只有当α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)时,上述公式才能成立.
(2)公式的符号变化简记为:“分子同,分母反”.
注 意 点
<<<
   (1)已知tan则tan α=  .
例 2
tan.
方法一 .
方法二 tan α=tan
=.
(2)已知tan α,tan β是方程x2+3则α+β=  .
∵tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个不同的根,
∴tan α+tan β=-3tan αtan β=4,
∴tan(α+β)==.
∵tan α+tan β<0,tan αtan β>0,
∴tan α<0,tan β<0,
∵α,β∈
∴α,β∈
则α+β∈(π,2π),∴α+β=.




(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
     如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A两点.
(1)求sin(α+β)和tan(α-β);
跟踪训练 2
由A
得sin α=
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=
=-.
而tan α=2,tan β=-
∴tan(α-β)==3.
(2)若α∈求2α-β的值.
由α∈
∴-π<α-β<0,
又∵tan(α-β)=3,∴α-β∈
∴2α-β∈(-π,0).
∵tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
==-1,
∴2α-β=-.

两角和与差的正切公式的变形
1.Tα+β的变形:
tan α+tan β= .
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= .
tan αtan β= .
2.Tα-β的变形:
tan α-tan β= .
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)= .
tan αtan β= .
tan(α+β)(1-tan αtan β)
tan(α+β)
1-
tan(α-β)(1+tan αtan β)
tan(α-β)
-1
   化简求值:
(1);
例 3
原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2);
原式=
=tan 60°=1.
(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
∵tan 60°=
∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+.




(1)分析式子结构,正确选用公式形式:
Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
利用公式Tα±β化简求值的两点说明




(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1= ”“”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简求值.
     化简求值:
(1);
跟踪训练 3
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
(2)tan 10°·tan 20°+(tan 10°+tan 20°).
∵tan(10°+20°)=
∴tan 10°+tan 20°=(1-tan 10°·tan 20°).
∴原式=tan 10°·tan 20°+(1-tan 10°·tan 20°)
=tan 10°·tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.

两角和与差的正弦、正切公式的综合应用
   已知tan α=-α,β∈(0,π).求:(1)tan(α+β)的值;
(2)函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.
例 4
∵cos β=β∈(0,π),
∴sin β=
∴tan β==2.
又tan α=-
∴tan(α+β)==1.
(2)函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.
∵tan α=-α∈(0,π),
∴sin α=.
又由(1)知,sin β=
∴f(x)=(sin xcos α-cos xsin α)+cos xcos β-sin xsin β
=-sin x
=-sin x,
∴函数f(x)的最大值为.




(1)看角:注意已知角和所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧;
(2)看名:恰当地利用同角的三角函数关系式进行转换,尽量减少函数的名称;
(3)看式子的结构和特征:恰当地找到有相同结构和特征的公式进行变换.
利用三角函数公式解题时的三看
      已知tan(α+β)=2tan α.求证:3sin β
=sin(2α+β).
跟踪训练 4
由已知得
∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.
∵sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]
=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α
=3cos(α+β)sin α,
3sin β=3sin[(α+β)-α]
=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α
=3cos(α+β)sin α,
∴3sin β=sin(2α+β).
1.知识清单:
(1)两角和与差的正弦、正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
(3)两角和与差的正弦、正切公式的综合应用.
2.方法归纳:构造法、转化法.
3.常见误区:求值或求角时忽视角的范围、公式中加减符号易记错.
随堂演练

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1.sin 105°的值为
A. B. C. D.

sin 105°=sin(45°+60°)
=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°
=.
2.若cos α=-等于
A.- B. C.- D.
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∵cos α=-且α是第三象限的角,
∴sin α=-
∴sin
=-.
3.已知A,B都是锐角,且tan A=则A+B=  .
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∵B为锐角,sin B=
∴cos B=
∴tan(A+B)==1.
又∵04.计算:tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°=   .
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原式=tan(72°-42°)(1+tan 72°tan 42°)-tan 72°tan 42°
=tan 30°(1+tan 72°tan 42°)-tan 30°tan 72°tan 42°
=tan 30°=.
课时对点练

答案
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B A ACD - -
题号 11 12 13 14   15
答案 C C -  A
9.
(1)∵tan=2,
∴=2,
即=2,解得tan α=.
(2)∵tan α=,tan β=,
答案
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∴原式=
==
=tan(β-α)=
==.
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(1)若选①,tan(π+α)=tan α==3,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
解得sin α=,cos α=,
所以sin=sin αcos -cos αsin
=×-×=.
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若选②,因为sin(π-α)-2sin=cos(-α),
化简得sin α=3cos α,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
解得sin α=,cos α=,
所以sin
答案
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=sin αcos -cos αsin
=×-×=.
若选③,因为3sin
=cos,
化简得3cos α=sin α,
答案
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又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
解得sin α=,cos α=,
所以sin
=sin αcos -cos αsin
=×-×=.
答案
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(2)因为0<β<α<,且cos(α+β)=-,所以<α+β<π,
sin(α+β)==,
所以sin β=sin
=×-×=,
又因为0<β<,所以β=.
答案
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(1)由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,
∴4cos αsin β+4sin αcos β-2(4cos αcos β-4sin αsin β)=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,
∴tan(α+β)=2.
(2)由tan αtan β=16,
得sin αsin β=16cos αcos β,
则4cos α·4cos β-sin αsin β=0,
∴a∥b.
答案
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1.sin 61°cos 31°-sin 29°sin 31°等于
A.- B. C. D.
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基础巩固
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sin 61°cos 31°-sin 29°sin 31°
=sin 61°cos 31°-cos 61°sin 31°
=sin(61°-31°)=sin 30°=.
2.若锐角α,β满足cos α=则sin β的值是
A. B. C. D.
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∵cos α=
∴0<α+β<.
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=.
答案
3.在△ABC中,A=则sin C等于
A. B.
C. D.

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因为cos B=且0所以sin B=
所以sin C=sin(A+B)
=sinsin B
=.
答案
4.若α+β=则(1-tan α)(1-tan β)等于
A. B.2 C. D.5

∵α+β=
∴tan(α+β)==-1,
∴tan α+tan β=tan αtan β-1,
∴(1-tan α)(1-tan β)
=1-(tan α+tan β)+tan αtan β
=1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.
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5.若α是锐角,且满足sin则sin α的值为
A. B.
C. D.
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答案
因为α是锐角,且sin>0,
所以α-也为锐角,
所以cos=
sin α=sin
=sin
=.
6.(多选)下列式子结果为的是
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
B.tan 50°-tan 20°-tan 50°tan 20°
C.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)
D.
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对于A,B,利用正切的变形公式可得A项结果为项结果
对于C,原式可化为
.
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7.=   .
==tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-.
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-
8.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=   .
∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,
∴sin(α+β)=-.
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9.已知tan.
(1)求tan α的值;
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∵tan=2,
∴=2,
即.
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(2)求的值.
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∵tan α=
∴原式=
=
=tan(β-α)=
=.
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10.在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问题.
已知0<β<α<.
(1)求sin;
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
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若选①,tan(π+α)=tan α==3,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<
解得sin α=
所以sin
=.
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若选②,因为sin(π-α)-2sin=cos(-α),化简得sin α=3cos α,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<
解得sin α=
所以sin
=.
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若选③,因为3sin
化简得3cos α=sin α,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<
解得sin α=
所以sin
=.
答案
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(2)求β.
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因为0<β<α<
所以<α+β<π,
sin(α+β)=
所以sin β=sin
=
又因为0<β<.
11.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
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综合运用
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∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C),
由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B
sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B
sin Bcos C-cos Bsin C=0 sin(B-C)=0.
∵0∴-π∴B=C.
答案
12.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为
A.16 B.8 C.4 D.2
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答案
由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,
(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.
13.若sin
则角α+β的值为   .
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答案
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∴-.
∴cos
cos
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∴sin(α+β)=sin
=sin
=
又.
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14.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+
tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=   .
答案
-
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方法一 由题意得tan(α+β)=
因为α∈β∈k,m∈Z,
则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
又因为tan(α+β)=-2<0,
则α+β∈((2m+2k)π+(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
则sin(α+β)<0,
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联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,
解得sin(α+β)=-.
方法二 因为α为第一象限角,β为第三象限角,
则cos α>0,cos β<0,
cos α=
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cos β=
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
=
=.
答案
15.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为
A. B.π
C. D.π
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拓广探究

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由题意知
①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,
则sin(A+B)=
∴在△ABC中,sin C=.
若C=
又1-3cos A=4sin B>0,
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∴cos A<不符合题意.
∴C=.
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16.设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
答案
由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,
∴4cos αsin β+4sin αcos β-2(4cos αcos β-4sin αsin β)=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,
∴tan(α+β)=2.
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(2)若tan αtan β=16,求证:a∥b.
答案
由tan αtan β=16,
得sin αsin β=16cos αcos β,
则4cos α·4cos β-sin αsin β=0,
∴a∥b.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
[学习目标] 1.了解两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的推导过程.2.掌握两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切及其变形公式,并能灵活运用公式进行简单的恒等变换.
一、两角和与差的正弦公式
问题1 你能用类比的方法,借助诱导公式,推导出两角和与差的正弦公式吗?
知识梳理
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 Sα+β sin(α+β)=_____________ α,β∈R
两角差的正弦公式 Sα-β sin(α-β)= _____________ α,β∈R
例1 (1)已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为(  )
A. B.
C. D.
(2)已知α∈则α的值为    .
反思感悟 解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.
跟踪训练1 (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(  )
A.- B.
C. D.
(2)已知sin α=且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
二、两角和与差的正切公式
问题2 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗?
知识梳理
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切公式 tan(α+β)=_________ Tα+β α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)
两角差的正切公式 tan(α-β)=_________ Tα-β α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)
例2 (1)已知tan则tan α=  .
(2)已知tan α,tan β是方程x2+3则α+β=    .
反思感悟 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
跟踪训练2 如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A两点.
(1)求sin(α+β)和tan(α-β);
(2)若α∈求2α-β的值.
三、两角和与差的正切公式的变形
知识梳理
1.Tα+β的变形:
tan α+tan β=_______________.
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= _______________.
tan αtan β=_______________.
2.Tα-β的变形:
tan α-tan β=_______________.
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=_______________.
tan αtan β=_______________.
例3 化简求值:
(1);
(2);
(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
反思感悟 利用公式Tα±β化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:
Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简求值.
跟踪训练3 化简求值:
(1);
(2)tan 10°·tan 20°+(tan 10°+tan 20°).
四、两角和与差的正弦、正切公式的综合应用
例4 已知tan α=-α,β∈(0,π).求:(1)tan(α+β)的值;
(2)函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.
反思感悟 利用三角函数公式解题时的三看
(1)看角:注意已知角和所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧;
(2)看名:恰当地利用同角的三角函数关系式进行转换,尽量减少函数的名称;
(3)看式子的结构和特征:恰当地找到有相同结构和特征的公式进行变换.
跟踪训练4 已知tan(α+β)=2tan α.求证:3sin β=sin(2α+β).
1.知识清单:
(1)两角和与差的正弦、正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
(3)两角和与差的正弦、正切公式的综合应用.
2.方法归纳:构造法、转化法.
3.常见误区:求值或求角时忽视角的范围、公式中加减符号易记错.
1.sin 105°的值为(  )
A. B.
C. D.
2.若cos α=-等于(  )
A.- B.
C.- D.
3.已知A,B都是锐角,且tan A=则A+B=    .
4.计算:tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°=   .
答案精析
问题1 sin(α+β)=cos
=cos
=coscos β+sinsin β
=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin[α+(-β)]
=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)
=sin αcos β-cos αsin β.
知识梳理
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
例1 (1)C [因为角α的终边经过点(-3,4),
则sin α=,cos α=-,
所以sin
=sin αcos +cos αsin
=×-×=.]
(2)
解析 因为β∈,cos β=-,
所以sin β==.
因为α∈,β∈,
所以α+β∈,
又sin(α+β)=,
所以cos(α+β)=-=-,
所以sin α=sin(α+β-β)
=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
=×-×=,
由于α∈,所以α=.
跟踪训练1 (1)D [原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°
=sin 30°=.]
(2)解 因为α为第一象限角,
β为第二象限角,
sin α=,cos β=-,
所以cos α=,sin β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
问题2 tan(α+β)=
=
.
用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).
知识梳理
 
例2 (1)
解析 tan=tan=.
方法一 =,解得tan α=.
方法二 tan α=tan
===.
(2)
解析 ∵tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个不同的根,
∴tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,
∴tan(α+β)=
==.
∵tan α+tan β<0,tan αtan β>0,
∴tan α<0,tan β<0,
∵α,β∈,
∴α,β∈,
则α+β∈(π,2π),∴α+β=.
跟踪训练2 解 (1)由A,B,
得sin α=,cos α=,sin β=,cos β=-,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×
=-+
=-.
而tan α=2,tan β=-,
∴tan(α-β)===3.
(2)由α∈,β∈,
∴-π<α-β<0,
又∵tan(α-β)=3,
∴α-β∈,
∴2α-β∈(-π,0).
∵tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
===-1,
∴2α-β=-.
知识梳理
1.tan(α+β)(1-tan αtan β)
tan(α+β) 1-
2.tan(α-β)(1+tan αtan β)
tan(α-β) -1
例3 解 (1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)原式=
=tan(45°+15°)=tan 60°=1.
(3)∵tan 60°==,
∴tan 23°+tan 37°
=-tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
跟踪训练3 解 (1)=
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
(2)∵tan(10°+20°)
==,
∴tan 10°+tan 20°
=(1-tan 10°·tan 20°).
∴原式=tan 10°·tan 20°+×(1-tan 10°·tan 20°)
=tan 10°·tan 20°+1-tan 10°tan 20°
=1.
例4 解 (1)∵cos β=,β∈(0,π),
∴sin β=,
∴tan β==2.
又tan α=-,
∴tan(α+β)===1.
(2)∵tan α=-,α∈(0,π),
∴sin α=,cos α=-.
又由(1)知,sin β=,cos β=,
∴f(x)=(sin xcos α-cos xsin α)+cos xcos β-sin xsin β
=-sin x-cos x+cos x-sin x
=-sin x,
∴函数f(x)的最大值为.
跟踪训练4 证明 由已知得=,
∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.
∵sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]
=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α
=3cos(α+β)sin α,
3sin β=3sin[(α+β)-α]
=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α
=3cos(α+β)sin α,
∴3sin β=sin(2α+β).
随堂演练
1.C 2.A 3. 4.作业33 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
(分值:100分)
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.sin 61°cos 31°-sin 29°sin 31°等于(  )
A.- B.
C. D.
2.若锐角α,β满足cos α=则sin β的值是(  )
A. B.
C. D.
3.在△ABC中,A=则sin C等于(  )
A. B.
C. D.
4.若α+β=则(1-tan α)(1-tan β)等于(  )
A. B.2
C. D.5
5.若α是锐角,且满足sin则sin α的值为(  )
A. B.
C. D.
6.(多选)下列式子结果为的是(  )
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
B.tan 50°-tan 20°-tan 50°tan 20°
C.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)
D.
7.=    .
8.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=   .
9.(10分)已知tan.
(1)求tan α的值;(4分)
(2)求的值.(6分)
10.(12分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问题.
已知0<β<α<.
(1)求sin;(6分)
(2)求β.(6分)
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
11.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是(  )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
12.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为(  )
A.16 B.8
C.4 D.2
13.若sin则角α+β的值为    .
14.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=    .
15.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为(  )
A. B.π
C. D.π
16.(12分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(6分)
(2)若tan αtan β=16,求证:a∥b.(6分)
答案精析
1.D 2.C 3.A 4.B
5.A [因为α是锐角,
且sin=>0,
所以α-也为锐角,
所以cos=
==,
sin α=sin
=sincos+
cossin
=×+×=.]
6.ACD [对于A,B,利用正切的变形公式可得A项结果为,B项结果为;对于C,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=;对于D,原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.]
7.-
8.-
解析 ∵sin α+cos β=1,
cos α+sin β=0,
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,
∴sin(α+β)=-.
9.解 (1)∵tan=2,
∴=2,
即=2,解得tan α=.
(2)∵tan α=,tan β=,
∴原式=
==
=tan(β-α)=
==.
10.解 (1)若选①,tan(π+α)=tan α==3,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
解得sin α=,cos α=,
所以sin=sin αcos -cos αsin
=×-×=.
若选②,因为sin(π-α)-2sin=cos(-α),
化简得sin α=3cos α,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
解得sin α=,cos α=,
所以sin
=sin αcos -cos αsin
=×-×=.
若选③,因为3sin
=cos,
化简得3cos α=sin α,
又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,
解得sin α=,cos α=,
所以sin
=sin αcos -cos αsin
=×-×=.
(2)因为0<β<α<,且cos(α+β)=-,
所以<α+β<π,
sin(α+β)==,
所以sin β=sin
=×-×=,
又因为0<β<,所以β=.
11.C [∵A+B+C=π,
∴A=π-(B+C),
由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B
sin Bcos C+cos Bsin C
=2sin Ccos B
sin Bcos C-cos Bsin C=0
sin(B-C)=0.
∵0∴-π∴B=C.]
12.C [由于21°+24°=45°,
23°+22°=45°,
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,
(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.]
13.
解析 ∵<α<,<β<,
∴-<-α<0,<+β<.
∴cos==,
cos=-=-,
∴sin(α+β)
=sin
=sincos-cossin
=×-×=,
又<α+β<π,∴α+β=.
14.-
解析 方法一 由题意得tan(α+β)
===-2,
因为α∈,
β∈,k,m∈Z,
则α+β∈((2m+2k)π+π,
(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
又因为tan(α+β)=-2<0,
则α+β∈((2m+2k)π+,
(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
则sin(α+β)<0,
则=-2,
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,
解得sin(α+β)=-.
方法二  因为α为第一象限角,β为第三象限角,
则cos α>0,cos β<0,
cos α==,
cos β==,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
=
==-.
15.A [由题意知
①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,
则sin(A+B)=,∴在△ABC中,sin C=,∴C=或C=.
若C=,则A+B=,
又1-3cos A=4sin B>0,
∴cos A<,又<,∴A>,不符合题意.∴C=.]
16.(1)解 由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,
∴4cos αsin β+4sin αcos β-2(4cos αcos β-4sin αsin β)=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,
∴tan(α+β)=2.
(2)证明 由tan αtan β=16,
得sin αsin β=16cos αcos β,
则4cos α·4cos β-sin αsin β=0,
∴a∥b.

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