资源简介 (共92张PPT)第四章<<<2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用1.了解两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的推导过程.2.掌握两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切及其变形公式,并能灵活运用公式进行简单的恒等变换.学习目标上节课我们学习了两角和与差的余弦公式,那么两角和与差的正弦公式、正切公式是怎样的呢?导 语一、两角和与差的正弦公式二、两角和与差的正切公式随堂演练三、两角和与差的正切公式的变形四、两角和与差的正弦、正切公式的综合应用内容索引课时对点练一两角和与差的正弦公式你能用类比的方法,借助诱导公式,推导出两角和与差的正弦公式吗?问题1提示 sin(α+β)=cos=cos=cossin β=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.名称 简记符号 公式 使用条件两角和的正弦公式 Sα+β sin(α+β)=___________________ α,β∈R两角差的正弦公式 Sα-β sin(α-β)=___________________ α,β∈Rsin αcos β+cos αsin βsin αcos β-cos αsin β(1)两角和与差的正弦公式的结构特征注 意 点<<<(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正,符号相同”.①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同,即两角和时用“+”,两角差时用“-”.注 意 点<<< (1)已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为A. B. C. D.例 1√因为角α的终边经过点(-3,4),则sin α=所以sin=.(2)已知α∈则α的值为 . 因为β∈所以sin β=.因为α∈所以α+β∈又sin(α+β)=所以cos(α+β)=-所以sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=由于α∈.(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.反思感悟解决给角求值问题的策略 (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于A.- B. C. D.跟踪训练 1√原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.(2)已知sin α=且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=所以cos α=所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.二两角和与差的正切公式提示 tan(α+β)==.用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗?问题2名称 公式 简记符号 条件两角和的正切公式 tan(α+β)=___________ Tα+β α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)两角差的正切公式 tan(α-β)=___________ Tα-β α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)(1)只有当α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)时,上述公式才能成立.(2)公式的符号变化简记为:“分子同,分母反”.注 意 点<<< (1)已知tan则tan α= . 例 2tan.方法一 .方法二 tan α=tan=.(2)已知tan α,tan β是方程x2+3则α+β= .∵tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个不同的根,∴tan α+tan β=-3tan αtan β=4,∴tan(α+β)==.∵tan α+tan β<0,tan αtan β>0,∴tan α<0,tan β<0,∵α,β∈∴α,β∈则α+β∈(π,2π),∴α+β=.反思感悟(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小. 如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A两点.(1)求sin(α+β)和tan(α-β);跟踪训练 2由A得sin α=∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-.而tan α=2,tan β=-∴tan(α-β)==3.(2)若α∈求2α-β的值.由α∈∴-π<α-β<0,又∵tan(α-β)=3,∴α-β∈∴2α-β∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==-1,∴2α-β=-.三两角和与差的正切公式的变形1.Tα+β的变形:tan α+tan β= . tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= .tan αtan β= .2.Tα-β的变形:tan α-tan β= . tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)= .tan αtan β= .tan(α+β)(1-tan αtan β)tan(α+β)1-tan(α-β)(1+tan αtan β)tan(α-β)-1 化简求值:(1);例 3原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.(2);原式==tan 60°=1.(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.∵tan 60°=∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°,∴tan 23°+tan 37°+.反思感悟(1)分析式子结构,正确选用公式形式:Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.利用公式Tα±β化简求值的两点说明反思感悟(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1= ”“”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简求值. 化简求值:(1);跟踪训练 3=tan(45°-15°)=tan 30°=.(2)tan 10°·tan 20°+(tan 10°+tan 20°).∵tan(10°+20°)=∴tan 10°+tan 20°=(1-tan 10°·tan 20°).∴原式=tan 10°·tan 20°+(1-tan 10°·tan 20°)=tan 10°·tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.四两角和与差的正弦、正切公式的综合应用 已知tan α=-α,β∈(0,π).求:(1)tan(α+β)的值;(2)函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.例 4∵cos β=β∈(0,π),∴sin β=∴tan β==2.又tan α=-∴tan(α+β)==1.(2)函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.∵tan α=-α∈(0,π),∴sin α=.又由(1)知,sin β=∴f(x)=(sin xcos α-cos xsin α)+cos xcos β-sin xsin β=-sin x=-sin x,∴函数f(x)的最大值为.反思感悟(1)看角:注意已知角和所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧;(2)看名:恰当地利用同角的三角函数关系式进行转换,尽量减少函数的名称;(3)看式子的结构和特征:恰当地找到有相同结构和特征的公式进行变换.利用三角函数公式解题时的三看 已知tan(α+β)=2tan α.求证:3sin β=sin(2α+β).跟踪训练 4由已知得∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.∵sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3cos(α+β)sin α,3sin β=3sin[(α+β)-α]=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=3cos(α+β)sin α,∴3sin β=sin(2α+β).1.知识清单:(1)两角和与差的正弦、正切公式的推导.(2)公式的正用、逆用、变形用.(3)两角和与差的正弦、正切公式的综合应用.2.方法归纳:构造法、转化法.3.常见误区:求值或求角时忽视角的范围、公式中加减符号易记错.随堂演练五12341.sin 105°的值为A. B. C. D.√sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=.2.若cos α=-等于A.- B. C.- D.1234√∵cos α=-且α是第三象限的角,∴sin α=-∴sin=-.3.已知A,B都是锐角,且tan A=则A+B= . 1234∵B为锐角,sin B=∴cos B=∴tan(A+B)==1.又∵04.计算:tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°= . 1234原式=tan(72°-42°)(1+tan 72°tan 42°)-tan 72°tan 42°=tan 30°(1+tan 72°tan 42°)-tan 30°tan 72°tan 42°=tan 30°=.课时对点练六答案对一对12345678910111213141516题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C A B A ACD - -题号 11 12 13 14 15答案 C C - A9.(1)∵tan=2,∴=2,即=2,解得tan α=.(2)∵tan α=,tan β=,答案123456789101112131415169.∴原式====tan(β-α)===.答案1234567891011121314151610.(1)若选①,tan(π+α)=tan α==3,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,解得sin α=,cos α=,所以sin=sin αcos -cos αsin=×-×=.答案1234567891011121314151610.若选②,因为sin(π-α)-2sin=cos(-α),化简得sin α=3cos α,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,解得sin α=,cos α=,所以sin答案1234567891011121314151610.=sin αcos -cos αsin=×-×=.若选③,因为3sin=cos,化简得3cos α=sin α,答案1234567891011121314151610.又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,解得sin α=,cos α=,所以sin=sin αcos -cos αsin=×-×=.答案1234567891011121314151610.(2)因为0<β<α<,且cos(α+β)=-,所以<α+β<π,sin(α+β)==,所以sin β=sin=×-×=,又因为0<β<,所以β=.答案1234567891011121314151616.(1)由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,∴4cos αsin β+4sin αcos β-2(4cos αcos β-4sin αsin β)=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,则4cos α·4cos β-sin αsin β=0,∴a∥b.答案123456789101112131415161.sin 61°cos 31°-sin 29°sin 31°等于A.- B. C. D.12345678910111213141516基础巩固答案√sin 61°cos 31°-sin 29°sin 31°=sin 61°cos 31°-cos 61°sin 31°=sin(61°-31°)=sin 30°=.2.若锐角α,β满足cos α=则sin β的值是A. B. C. D.12345678910111213141516√∵cos α=∴0<α+β<.∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=.答案3.在△ABC中,A=则sin C等于A. B.C. D.√12345678910111213141516答案12345678910111213141516因为cos B=且0所以sin B=所以sin C=sin(A+B)=sinsin B=.答案4.若α+β=则(1-tan α)(1-tan β)等于A. B.2 C. D.5√∵α+β=∴tan(α+β)==-1,∴tan α+tan β=tan αtan β-1,∴(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.12345678910111213141516答案5.若α是锐角,且满足sin则sin α的值为A. B.C. D.12345678910111213141516√答案12345678910111213141516答案因为α是锐角,且sin>0,所以α-也为锐角,所以cos=sin α=sin=sin=.6.(多选)下列式子结果为的是A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°B.tan 50°-tan 20°-tan 50°tan 20°C.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)D.12345678910111213141516√答案√√12345678910111213141516对于A,B,利用正切的变形公式可得A项结果为项结果对于C,原式可化为.答案123456789101112131415167.= . ==tan(15°-45°)=tan(-30°)=-.答案-8.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . ∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, ①cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, ②①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)=-.-12345678910111213141516答案9.已知tan.(1)求tan α的值;12345678910111213141516∵tan=2,∴=2,即.答案(2)求的值.12345678910111213141516∵tan α=∴原式===tan(β-α)==.答案1234567891011121314151610.在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问题.已知0<β<α<. (1)求sin;注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.答案12345678910111213141516若选①,tan(π+α)=tan α==3,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<解得sin α=所以sin=.答案12345678910111213141516若选②,因为sin(π-α)-2sin=cos(-α),化简得sin α=3cos α,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<解得sin α=所以sin=.答案12345678910111213141516若选③,因为3sin化简得3cos α=sin α,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<解得sin α=所以sin=.答案12345678910111213141516(2)求β.答案因为0<β<α<所以<α+β<π,sin(α+β)=所以sin β=sin=又因为0<β<.11.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形12345678910111213141516√综合运用答案12345678910111213141516∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C),由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B sin Bcos C-cos Bsin C=0 sin(B-C)=0.∵0∴-π∴B=C.答案12.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为A.16 B.8 C.4 D.212345678910111213141516√答案由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.13.若sin则角α+β的值为 . 12345678910111213141516答案12345678910111213141516答案∵∴-.∴coscos12345678910111213141516答案∴sin(α+β)=sin=sin=又.1234567891011121314151614.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= . 答案-12345678910111213141516方法一 由题意得tan(α+β)=因为α∈β∈k,m∈Z,则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0,则α+β∈((2m+2k)π+(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,则sin(α+β)<0,答案12345678910111213141516则联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.方法二 因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0,cos α=答案12345678910111213141516cos β=则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β===.答案15.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为A. B.πC. D.π12345678910111213141516拓广探究√答案12345678910111213141516由题意知①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,则sin(A+B)=∴在△ABC中,sin C=.若C=又1-3cos A=4sin B>0,答案12345678910111213141516∴cos A<不符合题意.∴C=.答案1234567891011121314151616.设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;答案由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,∴4cos αsin β+4sin αcos β-2(4cos αcos β-4sin αsin β)=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.12345678910111213141516(2)若tan αtan β=16,求证:a∥b.答案由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,则4cos α·4cos β-sin αsin β=0,∴a∥b.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用[学习目标] 1.了解两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的推导过程.2.掌握两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切及其变形公式,并能灵活运用公式进行简单的恒等变换.一、两角和与差的正弦公式问题1 你能用类比的方法,借助诱导公式,推导出两角和与差的正弦公式吗?知识梳理名称 简记符号 公式 使用条件两角和的正弦公式 Sα+β sin(α+β)=_____________ α,β∈R两角差的正弦公式 Sα-β sin(α-β)= _____________ α,β∈R例1 (1)已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为( )A. B.C. D.(2)已知α∈则α的值为 . 反思感悟 解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.跟踪训练1 (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( )A.- B.C. D.(2)已知sin α=且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.二、两角和与差的正切公式问题2 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗?知识梳理名称 公式 简记符号 条件两角和的正切公式 tan(α+β)=_________ Tα+β α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)两角差的正切公式 tan(α-β)=_________ Tα-β α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)例2 (1)已知tan则tan α= . (2)已知tan α,tan β是方程x2+3则α+β= . 反思感悟 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.跟踪训练2 如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A两点.(1)求sin(α+β)和tan(α-β);(2)若α∈求2α-β的值.三、两角和与差的正切公式的变形知识梳理1.Tα+β的变形:tan α+tan β=_______________. tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= _______________.tan αtan β=_______________.2.Tα-β的变形:tan α-tan β=_______________. tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=_______________.tan αtan β=_______________.例3 化简求值:(1);(2);(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.反思感悟 利用公式Tα±β化简求值的两点说明(1)分析式子结构,正确选用公式形式:Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简求值.跟踪训练3 化简求值:(1);(2)tan 10°·tan 20°+(tan 10°+tan 20°).四、两角和与差的正弦、正切公式的综合应用例4 已知tan α=-α,β∈(0,π).求:(1)tan(α+β)的值;(2)函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.反思感悟 利用三角函数公式解题时的三看(1)看角:注意已知角和所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧;(2)看名:恰当地利用同角的三角函数关系式进行转换,尽量减少函数的名称;(3)看式子的结构和特征:恰当地找到有相同结构和特征的公式进行变换.跟踪训练4 已知tan(α+β)=2tan α.求证:3sin β=sin(2α+β).1.知识清单:(1)两角和与差的正弦、正切公式的推导.(2)公式的正用、逆用、变形用.(3)两角和与差的正弦、正切公式的综合应用.2.方法归纳:构造法、转化法.3.常见误区:求值或求角时忽视角的范围、公式中加减符号易记错.1.sin 105°的值为( )A. B.C. D.2.若cos α=-等于( )A.- B.C.- D.3.已知A,B都是锐角,且tan A=则A+B= . 4.计算:tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°= . 答案精析问题1 sin(α+β)=cos=cos=coscos β+sinsin β=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.知识梳理sin αcos β+cos αsin βsin αcos β-cos αsin β例1 (1)C [因为角α的终边经过点(-3,4),则sin α=,cos α=-,所以sin=sin αcos +cos αsin=×-×=.](2)解析 因为β∈,cos β=-,所以sin β==.因为α∈,β∈,所以α+β∈,又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-,所以sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×-×=,由于α∈,所以α=.跟踪训练1 (1)D [原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.](2)解 因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=,cos β=-,所以cos α=,sin β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.问题2 tan(α+β)==.用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).知识梳理 例2 (1)解析 tan=tan=.方法一 =,解得tan α=.方法二 tan α=tan===.(2)解析 ∵tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个不同的根,∴tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,∴tan(α+β)===.∵tan α+tan β<0,tan αtan β>0,∴tan α<0,tan β<0,∵α,β∈,∴α,β∈,则α+β∈(π,2π),∴α+β=.跟踪训练2 解 (1)由A,B,得sin α=,cos α=,sin β=,cos β=-,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=-+=-.而tan α=2,tan β=-,∴tan(α-β)===3.(2)由α∈,β∈,∴-π<α-β<0,又∵tan(α-β)=3,∴α-β∈,∴2α-β∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]===-1,∴2α-β=-.知识梳理1.tan(α+β)(1-tan αtan β)tan(α+β) 1-2.tan(α-β)(1+tan αtan β)tan(α-β) -1例3 解 (1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.(2)原式==tan(45°+15°)=tan 60°=1.(3)∵tan 60°==,∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°,∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.跟踪训练3 解 (1)==tan(45°-15°)=tan 30°=.(2)∵tan(10°+20°)==,∴tan 10°+tan 20°=(1-tan 10°·tan 20°).∴原式=tan 10°·tan 20°+×(1-tan 10°·tan 20°)=tan 10°·tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.例4 解 (1)∵cos β=,β∈(0,π),∴sin β=,∴tan β==2.又tan α=-,∴tan(α+β)===1.(2)∵tan α=-,α∈(0,π),∴sin α=,cos α=-.又由(1)知,sin β=,cos β=,∴f(x)=(sin xcos α-cos xsin α)+cos xcos β-sin xsin β=-sin x-cos x+cos x-sin x=-sin x,∴函数f(x)的最大值为.跟踪训练4 证明 由已知得=,∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.∵sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3cos(α+β)sin α,3sin β=3sin[(α+β)-α]=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=3cos(α+β)sin α,∴3sin β=sin(2α+β).随堂演练1.C 2.A 3. 4.作业33 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(分值:100分)单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分1.sin 61°cos 31°-sin 29°sin 31°等于( )A.- B.C. D.2.若锐角α,β满足cos α=则sin β的值是( )A. B.C. D.3.在△ABC中,A=则sin C等于( )A. B.C. D.4.若α+β=则(1-tan α)(1-tan β)等于( )A. B.2C. D.55.若α是锐角,且满足sin则sin α的值为( )A. B.C. D.6.(多选)下列式子结果为的是( )A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°B.tan 50°-tan 20°-tan 50°tan 20°C.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)D.7.= . 8.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 9.(10分)已知tan.(1)求tan α的值;(4分)(2)求的值.(6分)10.(12分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问题.已知0<β<α<. (1)求sin;(6分)(2)求β.(6分)注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.11.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形12.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为( )A.16 B.8C.4 D.213.若sin则角α+β的值为 . 14.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= . 15.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为( )A. B.πC. D.π16.(12分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(6分)(2)若tan αtan β=16,求证:a∥b.(6分)答案精析1.D 2.C 3.A 4.B5.A [因为α是锐角,且sin=>0,所以α-也为锐角,所以cos===,sin α=sin=sincos+cossin=×+×=.]6.ACD [对于A,B,利用正切的变形公式可得A项结果为,B项结果为;对于C,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=;对于D,原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.]7.-8.-解析 ∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, ①cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, ②①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)=-.9.解 (1)∵tan=2,∴=2,即=2,解得tan α=.(2)∵tan α=,tan β=,∴原式====tan(β-α)===.10.解 (1)若选①,tan(π+α)=tan α==3,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,解得sin α=,cos α=,所以sin=sin αcos -cos αsin=×-×=.若选②,因为sin(π-α)-2sin=cos(-α),化简得sin α=3cos α,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,解得sin α=,cos α=,所以sin=sin αcos -cos αsin=×-×=.若选③,因为3sin=cos,化简得3cos α=sin α,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,解得sin α=,cos α=,所以sin=sin αcos -cos αsin=×-×=.(2)因为0<β<α<,且cos(α+β)=-,所以<α+β<π,sin(α+β)==,所以sin β=sin=×-×=,又因为0<β<,所以β=.11.C [∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C),由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B sin Bcos C-cos Bsin C=0 sin(B-C)=0.∵0∴-π∴B=C.]12.C [由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.]13.解析 ∵<α<,<β<,∴-<-α<0,<+β<.∴cos==,cos=-=-,∴sin(α+β)=sin=sincos-cossin=×-×=,又<α+β<π,∴α+β=.14.-解析 方法一 由题意得tan(α+β)===-2,因为α∈,β∈,k,m∈Z,则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0,则α+β∈((2m+2k)π+,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,则sin(α+β)<0,则=-2,联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.方法二 因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0,cos α==,cos β==,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β====-.15.A [由题意知①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,则sin(A+B)=,∴在△ABC中,sin C=,∴C=或C=.若C=,则A+B=,又1-3cos A=4sin B>0,∴cos A<,又<,∴A>,不符合题意.∴C=.]16.(1)解 由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,∴4cos αsin β+4sin αcos β-2(4cos αcos β-4sin αsin β)=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)证明 由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,则4cos α·4cos β-sin αsin β=0,∴a∥b. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第四章 §2 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 学案(含答案).docx 第四章 §2 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用.pptx 第四章 作业33 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(含解析).docx