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第四章
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章末复习课
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一、三角函数求值
二、三角函数式的化简与证明
三、三角恒等变换与函数、向量的综合运用
内容索引
三角函数求值
一
1.三角函数的求值问题通常包括三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.
2.通过三角函数求值，提升学生的数学运算素养.
　　 已知tan的值.
例 1
==2cos α.
∵tan=∴tan α=-3，
∵α∈
∴=2=-.
三角函数的求值问题通常包括三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.
给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角.
反
思
感
悟
跟踪训练 1
(1)的值为
A.- B. C. D.
√
原式==.
(2)已知α，β为锐角，cos α=则cos β的值为　　 .
∵α是锐角，cos α=
∴sin α=.
∴tan β=tan[α-(α-β)]=.
∴
又sin2β+cos2β=1，且β是锐角，故cos β=.
二
三角函数式的化简与证明
1.本章涉及的公式有两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，熟记公式是解答化简与证明题的基础.
2.通过解决三角函数式的化简与证明问题，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.
例 2
　　 化简：.
原式=
=
=cos 2x.
反
思
感
悟
三角函数化简常用策略有切化弦、异名化同名、降幂公式、“1”的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一.
三角函数证明常用方法有从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边-右边=0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为0等.
证明：.
跟踪训练 2
∵左边=
=
=
==右边，∴原等式成立.
三角恒等变换与函数、向量的综合运用
三
1.向量坐标运算中的数量积、向量的平行与垂直、向量的模等与三角恒等变换知识交汇的一类题，是常考的一种重要题型，多是中档题.它通常应用向量的坐标运算及三角恒等变换等运算最终化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，再进一步研究其性质.
2.通过解决此类问题，有利于促进学生数学运算素养的提升.
　 已知函数f(x)=sin 2x+cos(x∈R).
(1)求 f(x)的最大值；
例 3
f(x)=sin 2x+cos
=sin 2x+
=
故f(x)的最大值为.
(2)设g(x)=则把函数f(x)的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，才可得到函数g(x)的图象？
设把函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度，则得到函数
y==的图象，
令2x+2t+(k∈Z)，得t=kπ-(k∈Z)，
∵t>0，∴当k=1时，t取得最小值.
故把函数f(x)的图象沿x轴至少向左平移个单位长度，才可得到函数g(x)的图象.
反
思
感
悟
研究三角函数的性质时，当问题以向量为载体时，一般通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换如降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简求解.
已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值；
跟踪训练 3
因为向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，
|a-b|=
=
所以2-2cos(α-β)=.
(2)若-求sin α的值.
因为0<α<<β<0，所以0<α-β<π，
因为cos(α-β)=
所以sin(α-β)=
所以sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=.一、三角函数求值
1.三角函数的求值问题通常包括三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.
2.通过三角函数求值，提升学生的数学运算素养.
例1　已知tan的值.
反思感悟　三角函数的求值问题通常包括三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.
给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角.
跟踪训练1　(1)的值为(　　)
A.- B.
C. D.
(2)已知α，β为锐角，cos α=则cos β的值为　　　　.
二、三角函数式的化简与证明
1.本章涉及的公式有两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，熟记公式是解答化简与证明题的基础.
2.通过解决三角函数式的化简与证明问题，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.
例2　化简：.
反思感悟　三角函数化简常用策略有切化弦、异名化同名、降幂公式、“1”的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一.
三角函数证明常用方法有从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边-右边=0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为0等.
跟踪训练2　证明：.
三、三角恒等变换与函数、向量的综合运用
1.向量坐标运算中的数量积、向量的平行与垂直、向量的模等与三角恒等变换知识交汇的一类题，是常考的一种重要题型，多是中档题.它通常应用向量的坐标运算及三角恒等变换等运算最终化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，再进一步研究其性质.
2.通过解决此类问题，有利于促进学生数学运算素养的提升.
例3　已知函数f(x)=sin 2x+cos(x∈R).
(1)求 f(x)的最大值；
(2)设g(x)=则把函数f(x)的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，才可得到函数g(x)的图象？
反思感悟　研究三角函数的性质时，当问题以向量为载体时，一般通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换如降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简求解.
跟踪训练3　已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值；
(2)若-求sin α的值.
答案精析
例1　解　
==2cos α.
∵tan==-，
∴tan α=-3，
∵α∈，∴cos α=-，
∴
=2cos α=2×
=-.
跟踪训练1　(1)B　[原式====.]
(2)
解析　∵α是锐角，cos α=，
∴sin α=，tan α=.
∴tan β=tan[α-(α-β)]
==.
∴=，
又sin2β+cos2β=1，且β是锐角，
故cos β=.
例2　解　原式
=
=
=
=cos 2x.
跟踪训练2　证明　∵左边=
=
==
=tan +=右边，∴原等式成立.
例3　解　(1)f(x)=sin 2x+cos
=sin 2x+
=sin 2x+cos 2x
=sin，
故f(x)的最大值为.
(2)设把函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度，则得到函数
y=sin
=sin的图象，
令2x+2t+=2kπ+2x-(k∈Z)，
得t=kπ-(k∈Z)，
∵t>0，∴当k=1时，t取得最小值.
故把函数f(x)的图象沿x轴至少向左平移个单位长度，才可得到函数g(x)的图象.
跟踪训练3　解　(1)因为向量
a=(cos α，sin α)，
b=(cos β，sin β)，
|a-b|=
==，
所以2-2cos(α-β)=，
所以cos(α-β)=.
(2)因为0<α<，-<β<0，
所以0<α-β<π，
因为cos(α-β)=，
所以sin(α-β)=，且sin β=-，cos β=，
所以sin α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×=.

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