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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第一章 整式的乘除
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知一个标准大气压下1的氢气的质量约为，这个数用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
2．根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
6．计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n) 的结果是（ ）
A．2m2n-3m+n2 B．2m2-3nm2+n2
C．2m2-3mn+n D．2m2-3mn+n2
7．成立的条件是( )
A．x为大于2的整数 B．x为小于2的整数
C．x为不等于2的整数 D．x为不大于2的整数
8．纳米是一种长度单位，1纳米= 10米.已知某种植物的花粉的直径约为45000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为　　　　　　　　　　（　　）
A． B． C． D．
9．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知为实数，且满足，当为整数时，的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或1 D．或
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．· ．
12．若，，则 ．
13．已知，，则
14．若展开是一个二次二项式，则a= ．
15．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）化简、求值：，其中，．
17．（7分）观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…
（1）根据以上结果，写出下列各式的结果，
①（x-1）（x4+x3+x2+x+1）= ；
②（x-1）（x9+x8+x7+…+x+1）= ；
③（x-1）（xn-1+xn-2+…+x+1）= （n为正整数）；
（2）（x-1）·m=x11-1．则m= ；
（3）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．
18．（8分）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释,例如,(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示:
(1)请你写出图3所表示的一个等式:　　　　　　　　　　.
(2)试画出一个图形,使它的面积能表示成(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.
19．（8分）位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，值得期待的是将于2023年9月开始正式营业．如图，在园区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
20．（8分）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，
探究一：当时，代数式的值为______，
当时，代数式的值为______，
可见，代数式的值随x的改变而改变．
探究二：把代数式进行变形，如：，
可得：当______时，代数式取得最小值，最小值为______．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究一、探究二，直接在横线处填空；
(2)当x取何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，长方形花园的面积取得最大值，最大值是多少？
21．（9分）观察下列各个等式的规律：
第一个等式：=1，第二个等式： =2，第三个等式：=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
22．（9分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：　 　；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示，，且为整数），并加以证明．
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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第一章 整式的乘除
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知一个标准大气压下1的氢气的质量约为，这个数用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
解：．
故选：．
2．根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A． B．
C． D．
解：长是a+3b,宽是：a+b,故选A.
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
解：，
故选A．
5．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
解：0.0000025=2.5×10-6．
故选：D．
6．计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n) 的结果是（ ）
A．2m2n-3m+n2 B．2m2-3nm2+n2
C．2m2-3mn+n D．2m2-3mn+n2
解：（-8m4n+12m3n2-4m2n3）÷（-4m2n），
=-8m4n÷（-4m2n）+12m3n2÷（-4m2n）-4m2n3÷（-4m2n），
=2m2-3mn+n2．
故选D．
7．成立的条件是( )
A．x为大于2的整数 B．x为小于2的整数
C．x为不等于2的整数 D．x为不大于2的整数
解：∵0的任何整数次幂都等于0,但是0的负指数幂没有意义,
∴2-x0,即x2,
故选B.
8．纳米是一种长度单位，1纳米= 10米.已知某种植物的花粉的直径约为45000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为　　　　　　　　　　（　　）
A． B． C． D．
解：任何一个数都可用科学记数法表示为，因为1纳米= 10米，所以45000纳米=米
9．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：第1项为，，
∴第2项为，，
∴第3项为，，
∴可以推出第项为，，
∴第5项为，，故结论①、②正确；
∵第2023项为，，
∴，
∴，
∴，
∴或1
当时，
当时，，
∴若第2023项的值为0，则或0，故结论③错误；
同理可得：第m项为，
∴当时，第m项的值为，故结论④正确，
综上可得：结论正确的个数为3个．
故选：C
10．已知为实数，且满足，当为整数时，的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或1 D．或
解：；设，则，
∴，
∵为整数，，
∴t为0或1，
当时，；
当时，；
∴的值为1或．
故选：C
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．· ．
解：由题意得：另一单项式为：．
故答案为．
12．若，，则 ．
解：∵ax=3，ay=5，
∴ax-y
=ax÷ay
=3÷5
=，
故答案为：．
13．已知，，则
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：675
14．若展开是一个二次二项式，则a= ．
解：原式=x2+（a+1）x+a，
根据x2+（a+1）x+a是一个关于x的二次二项式，得到a+1=0或a=0，
则a=-1或a=0．
故答案为：-1或0．
15．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ．
解：∵，
∴，
即，
∴，
设，
∴，
∵x，y为实数，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴对于，当时，S有最大值，
当时，S有最小值，
∴的最大值与最小值的和为．
故答案为：．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）化简、求值：，其中，．
解：先用整式乘法法则化简，然后把x，y的值代入即可．
试题解析：原式===；
当，时，原式==．
17．（7分）观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…
（1）根据以上结果，写出下列各式的结果，
①（x-1）（x4+x3+x2+x+1）= ；
②（x-1）（x9+x8+x7+…+x+1）= ；
③（x-1）（xn-1+xn-2+…+x+1）= （n为正整数）；
（2）（x-1）·m=x11-1．则m= ；
（3）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．
解：（1）根据等式变化规律可得：
①（x-1）（x4+x3+x2+x+1）= x5-1；
②（x-1）（x9+x8+x7+…+x+1）= x10-1；
③（x-1）（xn-1+xn-2+…+x+1）= xn-1（n为正整数）；
故答案为：①x5-1；②x10-1；③xn-1；
（2）∵（x-1）（x10+x9+x8+…+x+1）= x11-1，
∴m=x10+x9+x8+…+x+1，
故答案为：x10+x9+x8+…+x+1；
（3）∵（2-1）（226+225+…+2+1）= 227-1，
∴226+225+…+2+1=227-1．
18．（8分）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释,例如,(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示:
(1)请你写出图3所表示的一个等式:　　　　　　　　　　.
(2)试画出一个图形,使它的面积能表示成(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.
解：（1）∵长方形的面积=长×宽，
∴图3的面积=（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，
故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，
故答案为（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；
（2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2，
∴长方形的面积=长×宽=（a+b）（a+3b），
由此可画出的图形为：
19．（8分）位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，值得期待的是将于2023年9月开始正式营业．如图，在园区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
（1）解：
平方米；
（2）当时，，
（元）．
20．（8分）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，
探究一：当时，代数式的值为______，
当时，代数式的值为______，
可见，代数式的值随x的改变而改变．
探究二：把代数式进行变形，如：，
可得：当______时，代数式取得最小值，最小值为______．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究一、探究二，直接在横线处填空；
(2)当x取何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，长方形花园的面积取得最大值，最大值是多少？
解（1）探究一：当时，代数式，
当时，代数式，
探究二：∵，
∴当时，代数式取得最小值，最小值为2，
故答案为：6、11、、2；
（2）
当时，取得最小值，最小值为；
（3）设米，则米
长方形花园的面积为
∴当米时，长方形花园的面积取得最大值，最大值是200平方米．
21．（9分）观察下列各个等式的规律：
第一个等式：=1，第二个等式： =2，第三个等式：=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
解：（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：=4；
（2）第n个等式是：=n．证明如下：
∵= = =n
∴第n个等式是：=n．
22．（9分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：　 　；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示，，且为整数），并加以证明．
（1）解：由题意得：
第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
猜想：第个等式：，
证明：等式左边，
等式右边，
等式左边等式右边，
成立．
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