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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若等腰三角形的一个角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
解：当是顶角时，底角：，
当是底角时，它的另一个底角等于，
所以它的一个底角是或，
故选：D．
2．如图，在中，D，E分别是边，上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．下列各语句是真命题的是（ ）
A．三个角对应相等的三角形全等 B．等边对等角
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D．三角形任何两边的和大于第三边
解：A、三个角对应相等的三角形全等，是假命题，本选项不符合题意；
B、等角对等边，是假命题，成立的条件是在同一个三角形中，本选项不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线，是假命题，应该是等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，本选项不符合题意；
D、三角形任何两边的和大于第三边，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
4．下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．
解：A、∵，故不能判定是直角三角形，符合题意；
B、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴，即，故是直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
5．如图，在中，，，D为中点，E，F分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的长度不变；③的度数不变；④四边形的面积为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
是等腰直角三角形，
的长度是变化的，
的长度是变化的，
故②错误；
，
，
，
故③正确；
，
，
，
故④正确．
故选C．
6．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，整理得，．
故选：B．
7．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　）
A．17 B．18 C．20 D．22
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴的周长为．
故选：C．
8．如图，在中，，是的角平分线，于点E，给出四个结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵是的角平分线，
∴，
∵于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①②③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④不符合题意．
∴其中正确的有3个．
故选：B．
9．如图，边长为的等边三角形中，是上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边三角形，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，作交于，连接、、，
∵△ABC是等边三角形，
，
又，
，
是等边三角形，
，
∵△ABC是等边三角形，是上的中线，
垂直平分，，
又点在上，
．
∵△ADE是等边三角形，
，，
，
，
，
，
的周长的周长，
当最小时，的周长有最小值，
连接，
，
是上中线，
又∵△ABC是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，
的最小值为，
周长的最小值为．故选：A．
10．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∵，，，
∴，
∴ ，故②正确；
连接，过分别作于，于，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分，故③正确；
如图，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的结论有①②③④，
故选：．
二、填空题:(每小题3分共15分)
11．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形．
解：，，
，
这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
12．若等腰三角形的一个外角是，则其底角为 ．
解∵等腰三角形的一个外角是，
∴与这个外角相邻的内角是，
（1）角是顶角时，它的底角是；
（2）角是底角时，不成立，
∴其底角为．
故答案为：39
13．如图，在中，，，，则的长为 ．
解：在中，
，，，
，
在中，
，
，
．
故答案为：
14．在∵△ABC中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，始终经过点C，斜边交于点D．在点P滑动过程中，为等腰三角形时，则点P与点B的距离为 ．
解：在点P滑动过程中，为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当时，则，
∴，
过点P作于E，如图1所示：
则是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，如图2所示：
在中，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴
③当时，则，
此时点B于点P重合，点D于点A重合，如图3所示：
∴，
综上所述：点P与点B的距离为0或或．
故答案为：0或或．
15．如图，，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是 ．
解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、．
∵点关于的对称点为，
，
∵点关于的对称点为，
，
，
∵的周长的最小值，
，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：30．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）如图，已知：，，，在同一直线上，，．求证：．
证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
17．（7分）如图，是的角平分线，是的中点，，交于点，交于点．
(1)若，，则___________度；
(2)若，求的长．
（1）解：，，
，，
，
，
平分，
，
，
故本题答案为：35；
（2）是的中点，，
，
，
，
，
，
．
18．（8分）如图，在，，平分，于点E，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（1）证明：∵，平分，，
∴
∵，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，平分，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，，
∴．
19．（8分）如图，已知．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
解（1）∵，
∴．
∴．
∴．
（2）∵，
∴，．∴．
∴．
20．（8分）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接．
(1)如图的周长为18，求的长．
(2)，求的度数．
（1）解：∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵的周长，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
21．（9分）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)判断的形状并说明理由．
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
．
，
．
，
在和中，
，
，
；
（3）解：是等边三角形．
理由如下：
，，
是等边三角形．
22．（9分）【问题提出】
（1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证：
①．
②．
【问题解决】
（2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积．
解：（1）①∵于点D，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
② ∵，
∴，，
∴，
即；
（2）作于点G，于点H，
∵，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）同理可得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
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第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若等腰三角形的一个角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图，在中，D，E分别是边，上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各语句是真命题的是（ ）
A．三个角对应相等的三角形全等 B．等边对等角
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D．三角形任何两边的和大于第三边
4．下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．
5．如图，在中，，，D为中点，E，F分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的长度不变；③的度数不变；④四边形的面积为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　）
A．17 B．18 C．20 D．22
8．如图，在中，，是的角平分线，于点E，给出四个结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，边长为的等边三角形中，是上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边三角形，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题:(每小题3分共15分)
11．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形．
12．若等腰三角形的一个外角是，则其底角为 ．
13．如图，在中，，，，则的长为 ．
14．在∵△ABC中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，始终经过点C，斜边交于点D．在点P滑动过程中，为等腰三角形时，则点P与点B的距离为 ．
15．如图，，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是 ．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）如图，已知：，，，在同一直线上，，．求证：．
17．（7分）如图，是的角平分线，是的中点，，交于点，交于点．
(1)若，，则___________度；
(2)若，求的长．
18．（8分）如图，在，，平分，于点E，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（8分）如图，已知．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
20．（8分）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接．
(1)如图的周长为18，求的长．
(2)，求的度数．
21．（9分）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)判断的形状并说明理由．
22．（9分）【问题提出】
（1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证：
①．
②．
【问题解决】
（2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积．
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