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第2课时　方向角问题
知识点　应用解直角三角形解决方向角问题
1如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔35海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔的正东方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为(D)
A.35海里 B.35cos 37°海里
C.35tan 37°海里 D.35sin 37°海里
2(2024·晋中质检)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩,导航显示车辆应先沿北偏东60°方向行驶6 km至B地,再沿南偏东42°方向行驶一段距离后到达风景区C.若风景区C在A地的正东方向,则A,C两地的距离约为(D)
(结果精确到0.1;参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,≈1.73)
A.7.2 km B.7.4 km C.7.6 km D.7.9 km
3如图,C,D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄,CD=6 km,且D位于C的北偏东30°方向上,则AB的长为(B)
A.2 km B.3 km
C. km D.3 km
4(2024·泰安质检)如图,l是南北方向的海岸线,码头A与灯塔B相距24千米,海岛C位于码头A北偏东60°方向.一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶,沿线勘测石油资源,勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富.若规划修建从D处到海岸线的输油管道,则输油管道的最短长度是　(6-6)千米　.(结果保留根号)
5水务人员为考察水情,乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶.如图所示,在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达点B处,测得建筑物P在北偏西60°方向上,则建筑物P到航线AB的距离为　100　米.
6(2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险
(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848,cos 58°≈0.530,
tan 58°≈1.6)
解:过点A作AD⊥BC于D,
设AD=x海里,
由题意得,∠ABD=32°,∠ACD=45°,
BC=6海里,
在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,
∴AD=CD=x海里,
在Rt△ABD中,tan ∠ABD=,
∴BD=≈=6+x,解得x=10,
∵10>9,∴如果渔船不改变航线继续向西航行,没有触礁危险.
7 (2024·南通质检)已知B港口位于A观测点北偏东45°方向,且其到A观测点正北方向的距离BM的长为10 km,一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 km到达C处,测得C处位于A观测点北偏东75°方向,则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为　8　km.
8(2023·聊城中考)东昌湖西岸的明珠大剧院,隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示,城门楼B在角楼A的正东方向520 m处,南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向,南关桥C在南偏东56.31°方向(点A,B,C,P四点在同一平面内),求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m).
(参考数据:sin 68.2°≈0.928,cos 68.2°≈0.371,tan 68.2°≈2.50,sin 56.31°≈0.832,
cos 56.31°≈0.555,tan 56.31°≈1.50)
解:过P作PE⊥BC于E,过A作AD⊥PE于D,则四边形ADEB是矩形,
∴DE=AB=520 m,设PD=x m,在Rt△APD中,
∵∠PAD=68.2°,∴AD=≈ m,
∴BE=AD= m,
∴PE=PD+DE=(x+520)m,CE=BC-BE=(1 200-)m,
在Rt△PCE中,tan C=tan 56.31°==≈1.5,解得x=800,
∴PD=800 m,
∴PE=PD+DE=800+520=1 320(m),
答:明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1 320 m.
9(2023·广安中考)为了美化环境,提高民众的生活质量,市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如图,点C在点A的正东方向170米处,点E在点A的正北方向,点B,D都在点C的正北方向,BD长为100米,点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东58°方向.
(1)求步道DE的长度;
(2)点D处有一个小商店,某人从点A出发沿人行步道去商店购物,可以经点B到达点D,也可以经点E到达点D,请通过计算说明他走哪条路较近.(结果精确到个位)
(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60,≈1.73)
解:(1)过D作DF⊥AE,垂足为F,
由题意得:四边形ACDF是矩形,
∴DF=AC=170米,
在Rt△EFD中,∠DEF=58°,
∴DE=≈=200(米),
∴步道DE的长度约为200米;
(2)从A出发,经过点B到达点D路程较近,
理由:在Rt△EFD中,∠DEF=58°,
DF=170米,
∴EF=≈=106.25(米),
在Rt△ABC中,∠BAC=90°-30°=60°,AC=170米,
∴BC=AC·tan 60°=170(米),
AB===340(米),
∵BD=100米,
∴CD=BC+BD=(170+100)米,
∵四边形ACDF是矩形,
∴AF=DC=(170+100)米,
∴AE=AF-EF=170+100-106.25=(170-6.25)米,
∴某人从点A出发,经过点B到达点D路程为AB+BD=340+100=440(米),
某人从点A出发,经过点E到达点D路程为AE+DE=170-6.25+200≈488(米),
∵440米<488米,
∴从点A出发,经过点B到达点D路程较近.第2课时　方向角问题
知识点　应用解直角三角形解决方向角问题
1如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔35海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔的正东方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为( )
A.35海里 B.35cos 37°海里
C.35tan 37°海里 D.35sin 37°海里
2(2024·晋中质检)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩,导航显示车辆应先沿北偏东60°方向行驶6 km至B地,再沿南偏东42°方向行驶一段距离后到达风景区C.若风景区C在A地的正东方向,则A,C两地的距离约为( )
(结果精确到0.1;参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,≈1.73)
A.7.2 km B.7.4 km C.7.6 km D.7.9 km
3如图,C,D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄,CD=6 km,且D位于C的北偏东30°方向上,则AB的长为( )
A.2 km B.3 km
C. km D.3 km
4(2024·泰安质检)如图,l是南北方向的海岸线,码头A与灯塔B相距24千米,海岛C位于码头A北偏东60°方向.一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶,沿线勘测石油资源,勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富.若规划修建从D处到海岸线的输油管道,则输油管道的最短长度是 .(结果保留根号)
5水务人员为考察水情,乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶.如图所示,在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达点B处,测得建筑物P在北偏西60°方向上,则建筑物P到航线AB的距离为 米.
6(2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险
(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848,cos 58°≈0.530,
tan 58°≈1.6)
7 (2024·南通质检)已知B港口位于A观测点北偏东45°方向,且其到A观测点正北方向的距离BM的长为10 km,一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 km到达C处,测得C处位于A观测点北偏东75°方向,则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为 km.
8(2023·聊城中考)东昌湖西岸的明珠大剧院,隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示,城门楼B在角楼A的正东方向520 m处,南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向,南关桥C在南偏东56.31°方向(点A,B,C,P四点在同一平面内),求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m).
(参考数据:sin 68.2°≈0.928,cos 68.2°≈0.371,tan 68.2°≈2.50,sin 56.31°≈0.832,
cos 56.31°≈0.555,tan 56.31°≈1.50)
9(2023·广安中考)为了美化环境,提高民众的生活质量,市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如图,点C在点A的正东方向170米处,点E在点A的正北方向,点B,D都在点C的正北方向,BD长为100米,点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东58°方向.
(1)求步道DE的长度;
(2)点D处有一个小商店,某人从点A出发沿人行步道去商店购物,可以经点B到达点D,也可以经点E到达点D,请通过计算说明他走哪条路较近.(结果精确到个位)
(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60,≈1.73)

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