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南宁市 2025届高中毕业班第一次适应性测试数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|y= x-2}，则A∩B=
A. {1,2} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4}
z= 2+ i2.复数
4- 的实部为i
A. 6 B. 2 C. 7 D. 7
17 5 17 15
3.若非零向量 a， b满足 a = 2 b ，且 a-3b ⊥ a，则 cos a,b =
A. 1 B. 3 C. 1 D. 2
3 4 6 3
4.已知 sinα= tanβ= 1 ，则 cos2αtan2β=
3
A. 7 B. - 7 C. 7 D. - 7
12 12 24 24
5.如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为 1cm，杯内的底部半径为 3cm，当杯子盛满水时，
杯子上端的水面直径为 12cm，且杯子的容积为 252πcm3，则该杯子的高度为
A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm
6.已知函数 f x = x3- 3x， a= log32， b= log0.253， c= log52，则
A. f b < f c < f a B. f c < f a < f b
C. f c < f b < f a D. f a < f c < f b
7.将函数 f x = sin 2ωx+ π ω>0 π 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g x 的图象，6 6
若曲线 y= g x 关于直线 x= π 对称，则 g x 的最小正周期的最大值为
12
A. π B. π C. π D. π
4 6 2 8
x
3 +1， x≤1，8.已知函数 f x = 若函数 g x = f x -m零点的个数为 3或 4，则2 x2-6x+8 ，x>1，
m的取值范围是
A. 2,4 B. [2,6) ∪ {1} C. 0,1 ∪{2} D. (0,1]∪ 2,4
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二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.已知点P 4m+3,-3m-4 ，若点Q在圆C： x-1 2 + y2= 1上，则
A. 点P在直线 3x+ 4y+ 7= 0上 B. 点P可能在圆C上
C. PQ 的最小值为 1 D. 圆C上至少有 2个点与点P的距离为 1
10.下列命题是真命题的是
A. 若随机变量X B 10,0.2 ，则D X = 1.6
B. 若随机变量X N 1,4 ，则P X<0 =P X>2
C. 数据 x1,x2,x3,x4,x5与数据 x1+ 1,x2+ 1,x3- 1,x4+ 1,x5+ 1的中位数可能相等
D. 数据 x1,x2,x3,x4,x5与数据 x1+ 1,x2+ 1,x3- 1,x4+ 1,x5+ 1的极差不可能相等
2
11.已知函数 f x = x2+ ，则
x2
A. f x 为偶函数
B. 曲线 y= f x 在点 (1,3)处的切线斜率为-2
C. x∈ 0,1 ， f x ≤ f 1x
D. 不等式 f x + exlnx> 1.8对 x∈ 0,+∞ 恒成立
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
x2 y2 y2 x2
12.若双曲线M： - = 1与双曲线N： - + = 1 m>0 的焦距相等，则N的离7 9 m m 8
心率为 ．
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c， asinA+ bsinB= csinC- 3bsinA，
则C= ．
14.数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制、五进制．五进制是“逢五进
一”的进制，由数字 0， 1， 2， 3， 4来表示数值，例如五进制数 324转化成十进制数为 3
× 52+ 2× 51+ 4= 89．若由数字 1， 2， 3， 4组成的五位五进制数，要求 1， 2， 3， 4每
个数字都要出现，例如 12334，则不同的五位五进制数共有 个．若从由数字 2， 3，
4(可重复)组成的三位五进制数中随机取 1个，则该数对应的十进制数能被 3整除的概率为
．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.某企业有甲、乙两条生产线，每条生产线都有A，B，C三个流程，为了比较这两条生产
线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为 0.9， 0.9，
0.8，乙生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为 0.8， 0.85， 0.92．已知每个流程是
否优秀相互独立．
(1)求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率．
(2)为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对A，B，C三个流程进行赋分．当A流程
优秀时，赋 30分，当A流程不优秀时，赋 0分；当B流程优秀时，赋 40分，当B流程不
优秀时，赋 0分；当C流程优秀时，赋 50分，当C流程不优秀时，赋 0分．记甲生产线的
A，B，C流程的赋分分别为X1，Y1， Z1，乙生产线的A，B，C流程的赋分分别为X2，
Y2， Z2，计算E X1 +E Y1 +E Z1 与E X2 +E Y2 +E Z2 ，并据此判断甲、乙哪条生
产线更优秀．
y2 x2
16.已知抛物线M： x2= 4y的焦点F为椭圆N： + = 1 a>b>0 的一个焦点，且N的
a2 b2
短轴长为 4．
(1)求N的方程；
(2)过点F且倾斜角为 45°的直线 l与N交于A，B两点，线段AB的中垂线与 x轴交于点
E，求△ABE的面积．
17.如图，在四棱锥P-ABCD ABCD ∠DAB= π中，底面 是菱形， ，PD，BC的中点分别
3
为E，F，PA=PD，AD= 2，且平面PAD⊥平面ABCD． P
(1)证明：CE 平面PAF．
E
(2)若直线PB与平面PAF 30所成角的正弦值为 ，求棱PB的长． D C
20
F
A B
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2
18.设函数 f x = + ax．
ex+1
(1)证明：曲线 y= f x 关于点 (0,1)对称．
(2)已知 f x 为增函数．
①求 a的取值范围．
②证明：函数 g x = 1 ax2+ 2x- a- 2ln ex+1 存在唯一的极值点．
2
③若不等式 f -xex + f m-2ex < 2对 x∈ -4,2 恒成立，求m的取值范围．
19.定义：若存在 λ∈R， p∈ 1,+∞ ，使得数列 an+λ pn λ,p均为常数 是公差为 d的等差
数列，则称 an 是 λ,p,d 和比等差数列，也称 an 是和比等差数列，且 λ称为该和比等
差数列的系数．
(1)若数列 bn 是 (-2， 3，-4)和比等差数列，且 b1= 1，求 bn 的通项公式．
(2)设数列 an 的前n项和为Sn，且Sn= 2an+n2．
①试问 an 是否为和比等差数列？若是，求该和比等差数列的系数；若不是，请说明理
由．
n i 4
②证明： - < ．i=1 2i ai 3
第4页，共4页南宁市 2025届高中毕业班第一次适应性测试数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x ∣ y= x-2}，则A∩B=
A. {1,2} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4}
【答案】C
【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养．
因为A={1,2,3,4}，B={x ∣ x≥ 2}，所以A∩B={2,3,4}．
2+ i
2.复数 z= - 的实部为4 i
A. 6 B. 2 C. 7 D. 7
17 5 17 15
【答案】C
【解析】本题考查复数的四则运算与实部，考查数学运算的核心素养．
2+ i 4+ i
因为 z= 2+ i = = 7+6i- =
7 + 6 i z= 2+ i 7，所以
4 i 4- i 4+ i 17 17 17 4-
的实部为 ．
i 17
3.若非零向量 a， b满足 a = 2 b ，且 a-3b ⊥ a，则 cos a,b =
A. 1 B. 3 C. 1 D. 2
3 4 6 3
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的垂直与夹角公式，考查数学运算的核心素养．
- ⊥ - = 2- = =
a 2
由 a 3b a，得 a 3b a a 3a b 0，即 a b ，
3
a 2
所以 cos a，b = a b = 3 2 =
2
．
a b a 3
2
4.已知 sinα= tanβ= 1 ，则 cos2αtan2β=
3
A. 7 B. - 7 C. 7 D. - 7
12 12 24 24
【答案】A
【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
2
cos2α= 1- 2sin2α= 1- 2 = 7 2tanβ因为 ，所以 tan2β= = 3 = 3 ，
9 9 1-tan2β 1- 1 49
所以 cos2αtan2β= 7 × 3 = 7 ．
9 4 12
5.如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为 1cm，杯内的底部半径为 3cm，当杯
子盛满水时，杯子上端的水面直径为 12cm，且杯子的容积为 252πcm3，则该
杯子的高度为
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A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm
【答案】B
【解析】本题考查圆台体积的实际应用，考查直观想象的核心素养与应用意识．
π
当杯子盛满水时，设杯内水的高度为 hcm，则杯子的容积为 h 32+3×6+62 = 21hπ=
3
252π，解得 h= 12，所以该杯子的高度为 12+ 1= 13cm．
6.已知函数 f x = x3- 3x， a= log32， b= log0.253， c= log52，则
A. f b < f c < f a B. f c < f a < f b
C. f c < f b < f a D. f a < f c < f b
【答案】D
【解析】本题考查对数函数与导数的综合，考查逻辑推理的核心素养．
0< c< a= log32< 1， b= log0.253=-log43∈ -1,0 ． f x = 3x2- 3，当 x∈ -1,1 时，
f x < 0， f x 单调递减，因为-1< b< c< a< 1，所以 f a < f c < f b ．
f x = sin 2ωx+ π7.将函数 ω>0 π 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g x 的图象，6 6
若曲线 y= g π x 关于直线 x= 对称，则 g x 的最小正周期的最大值为
12
A. π B. π C. π D. π
4 6 2 8
【答案】A
【解析】本题考查三角函数图象的变换与三角函数的性质，考查逻辑推理的核心素养．
依题意可得 g x = sin 2ω x- π + π π6 6 ．因为曲线 y= g x 关于直线 x= 对称，所以12
2ω π - π + π = kπ+ π k∈Z ，解得 ω=-6k- 2 k∈Z ．又 ω> 0，所以 ω的最小值12 6 6 2
2π π
为 4，所以 g x 的最小正周期的最大值为 = ．
2×4 4
3x+1， x≤1，
8.已知函数 f x = 若函数 g x = f x -m零点的个数为 3或 4，则2 x2-6x+8 ，x>1，
m的取值范围是
A. 2,4 B. [2,6) ∪ {1} C. 0,1 ∪{2} D. (0,1]∪ 2,4
【答案】D
y
【解析】本题考查指数函数、分段函数与零点的综合，考查直观想
6
象与逻辑推理的核心素养． °
当 x≤ 1时， f x = 3x+ 1∈ (1,4]，且 f x 单调递增．当 x> 1 4
时， f x = 2 x-3 2 -1 ．作出 f x 的大致图象，如图所示．
2
令 g x = f x -m= 0，得 f x =m，因为 g x = f x -m零点
1
的个数为 3或 4，所以直线 y=m与 f x 的图象有 3个或 4个交
O 1 3 x
点，由图可知，m的取值范围是 (0,1]∪ 2,4 ．
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二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.已知点P 4m+3,-3m-4 ，若点Q在圆C： x-1 2 + y2= 1上，则
A. 点P在直线 3x+ 4y+ 7= 0上 B. 点P可能在圆C上
C. PQ 的最小值为 1 D. 圆C上至少有 2个点与点P的距离为 1
【答案】AC
【解析】本题考查点、直线与圆的位置关系，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．
因为 3 4m+3 + 4 -3m-4 =-7，所以点P在直线 3x+ 4y+ 7= 0上，A正确．
10
因为圆C的圆心C 1,0 到直线 3x+ 4y+ 7= 0的距离 d= = 2> 1，所以直线 3x+ 4y+
5
7= 0与圆C相离，B错误．
PQ 的最小值为 d- 1= 1，则圆C上只有 1个点与点P的距离为 1，C正确，D错误．
10.下列命题是真命题的是
A. 若随机变量X B 10,0.2 ，则D X = 1.6
B. 若随机变量X N 1,4 ，则P X<0 =P X>2
C. 数据 x1,x2,x3,x4,x5与数据 x1+ 1,x2+ 1,x3- 1,x4+ 1,x5+ 1的中位数可能相等
D. 数据 x1,x2,x3,x4,x5与数据 x1+ 1,x2+ 1,x3- 1,x4+ 1,x5+ 1的极差不可能相等
【答案】ABC
【解析】本题考查二项分布、正态分布与统计，考查数据处理能力与逻辑推理的核心素养．
若随机变量X B 10,0.2 ，则D X = 10× 0.2× 1-0.2 = 1.6，A正确．
若随机变量X N 1,4 ，则P X<0 =P X>2 ，B正确．
若 x1,x2,x3,x4,x5分别为 1,2,3,4,5，这组数据的中位数为 3，极差为 4，则 x1+ 1， x2+ 1，
x3- 1， x4+ 1， x5+ 1分别为 2,3,2,5,6,这组数据的中位数为 3，极差为 4，C正确，D错
误．
2
11.已知函数 f x = x2+ ，则
x2
A. f x 为偶函数
B. 曲线 y= f x 在点 (1,3)处的切线斜率为-2
C. x∈ 0,1 ， f x ≤ f 1x
D. 不等式 f x + exlnx> 1.8对 x∈ 0,+∞ 恒成立
【答案】ABD
【解析】本题考查函数、不等式与导数的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
因为 f -x = f x x∈R ，所以 f x 为偶函数，A正确．
4
f x - f 1 = x2+ 2 - 1 +2x2 = 1 - x2= 1-x x∈ 0,1 1-x
4
，当 时， > 0，则
x x2 x2 x2 x2 x2
x∈ 0,1 ， f x > f 1 ，C错误． f x = 2x- 4 ，则 f 1 =-2， B正确．x x3
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设函数 g x = exlnx 1，则 g x = e (1 + lnx )，易证 g x 在 0, 上单调递减，在e
1 ,+∞ 1 2上单调递增，则 g x 2e min= g =-1，又 f x = x + ≥ 2 2，所以 f x +e x2
exlnx≥ 2 2- 1> 2× 1.4- 1= 1.8，D正确．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
x2 y2 y2 2
12.若双曲线M： - = 1与双曲线N - x： + = 1 m>0 的焦距相等，则N的离7 9 m m 8
心率为 ．
【答案】2
【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养．
依题意可得 7+ 9=m+m+ 8，解得m= 4，则N的离心率为 1+ m+8 = 2．
m
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c， asinA+ bsinB= csinC- 3bsinA，
则C= ．
5π
【答案】 (或 150°)
6
【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养．
由 asinA + bsinB = csinC - 3 bsinA及正弦定理，得 a2+ b2= c2- 3 ab，则 cosC =
a2+b2-c2 =- 3 ，因为C∈ 0,π 5π ，所以C= ．
2ab 2 6
14.数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制、五进制．五进制是“逢五进
一”的进制，由数字 0， 1， 2， 3， 4来表示数值，例如五进制数 324转化成十进制数为 3
× 52+ 2× 51+ 4= 89．若由数字 1， 2， 3， 4组成的五位五进制数，要求 1， 2， 3， 4每
个数字都要出现，例如 12334，则不同的五位五进制数共有 个．若从由数字 2， 3，
4(可重复)组成的三位五进制数中随机取 1个，则该数对应的十进制数能被 3整除的概率为
．
【答案】240 1；
3
【解析】本题考查五进制、古典概型与计数原理，考查数学抽象与逻辑推理的核心
素养．
若由数字 1， 2， 3， 4组成的五位五进制数，要求 1， 2， 3， 4每个数字都要出现，则需
要先从 1， 2， 3， 4这 4个数字中选取 1个数字作为重复出现的数字，再将不重复出现的 3
个数字从 5个位置中选 3个进行排列，最后剩余 2个位置排重复数字，故所求不同的五位五
进制数共有C1 34 A5= 240个．
数字 2， 3， 4组成的三位五进制数总共有 33= 27个．设这个三位五进制数从左到右的数字
分别为 a， b， c，转化成十进制后此数为 52a + 5b + c = 25a + 5b + c = 24a + 3b +
a+2b+c ，此数能被 3整除等价于 a+ 2b+ c能被 3整除．
因为 a+ 2b+ c∈ 8,16 ，所以能被 3整除的只有 9， 12， 15三种情况．
若 a+ 2b+ c= 9，则 (a,b,c)的取值有 2,2,3 ， 3,2,2 这 2种；若 a+ 2b+ c= 12，则
a,b,c 的取值有 2,4,2 ， 2,3,4 ， 4,3,2 ， 3,3,3 ， 4,2,4 这 5种；若 a + 2b + c=
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15，则 (a,b,c)的取值有 4,4,3 ， 3,4,4 这 2种．故能被 3整除的数共有 2+ 5+ 2= 9个，
9 1
所求概率为 = ．
27 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.某企业有甲、乙两条生产线，每条生产线都有A，B，C三个流程，为了比较这两条生产
线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为 0.9， 0.9，
0.8，乙生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为 0.8， 0.85， 0.92．已知每个流程是
否优秀相互独立．
(1)求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率．
(2)为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对A，B，C三个流程进行赋分．当A流程
优秀时，赋 30分，当A流程不优秀时，赋 0分；当B流程优秀时，赋 40分，当B流程不
优秀时，赋 0分；当C流程优秀时，赋 50分，当C流程不优秀时，赋 0分．记甲生产线的
A，B，C流程的赋分分别为X1，Y1， Z1，乙生产线的A，B，C流程的赋分分别为X2，
Y2， Z2，计算E X1 +E Y1 +E Z1 与E X2 +E Y2 +E Z2 ，并据此判断甲、乙哪条生
产线更优秀．
【答案】 1 0.998 2 E X1 +E Y1 +E Z1 = 103；E X2 +E Y2 +E Z2 = 104
乙生产线更优秀
【解析】(1)设甲生产线的A，B，C流程优秀分别记为事件E，F，G，甲生产线的三个流
程中至少有一个优秀为事件H，则P E =P F = 0.9，P G = 0.8，

则P H = 1-P EFG = 1-P E P F P G = 1- 1-0.9 2 × 1-0.8 = 0.998． 5分
(2)E X1 +E Y1 +E Z1 = 0.9× 30+ 1-0.9 × 0+ 0.9× 40+ 1-0.9 × 0+ 0.8× 50
+ 1-0.8 × 0= 103， 8分
E X2 +E Y2 +E Z2 = 0.8× 30+ 1-0.8 × 0+ 0.85× 40+ 1-0.85 × 0+ 0.92× 50
+ 1-0.92 × 0= 104， 11分
因为 104> 103，所以乙生产线更优秀． 13分
【评分细则】
【1】第 (1)问中，直接得出所求概率为 1- 1-0.9 2 × 1-0.8 = 0.998，不扣分．
【2】第 (2)问中，也可以这样表述：
E X1 +E Y1 +E Z1 = 0.9× 30+ 0.9× 40+ 0.8× 50= 103， 8分
E X2 +E Y2 +E Z2 = 0.8× 30+ 0.85× 40+ 0.92× 50= 104， 11分
因为 104> 103，所以乙生产线更优秀． 13分
y2 x2
16.已知抛物线M： x2= 4y的焦点F为椭圆N： + = 1 a>b>0 的一个焦点，且N的
a2 b2
短轴长为 4．
(1)求N的方程；
(2)过点F且倾斜角为 45°的直线 l与N交于A，B两点，线段AB的中垂线与 x轴交于点
E，求△ABE的面积．
y2 x2 40 10
【答案】 1 + = 1 2
5 4 81
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【解析】(1)因为抛物线M :x2= 4y的焦点F的坐标为 (0,1)， 1分
所以 a2-b2= 1，即 a2- b2= 1， 2分
又N的短轴长为 2b= 4，所以 b= 2， 3分
所以 a2= 1+ b2= 5， 4分
y2 x2
故N的方程为 + = 1． 5分
5 4
(2)依题意得 l的方程为 y= x+ 1． 6分
y=x+1,由 y2 x2 得 9x2+ 8x- 16= 0． 7分+ =1,5 4
设A x1,y1 ，B x2,y2 ，则Δ= 82+ 36× 16> 0， x1+ x2=- 8 ， x1x 162=- ， 8分9 9
8 10 16 5
则 AB = 1+k2 x1-x2 = 2 x1+x 22 -4x1x2= 2 × = ． 10分9 9
x +x
设线段AB的中点为D x0,y0 ，则 x0= 1 2 =- 4 ， y0= x0+ 1= 5 ， 11分2 9 9
5 4
所以线段AB的中垂线方程为 y- =- x+ ， 12分9 9
令 y= 0 1 1，得 x= ，则点E的坐标为 ,0 ． 13分
9 9
1 +1
因为点E到直线 l d= 9的距离 = 5 2 ，
2 9
所以△ABE 1 8 5 5 2 40 10的面积为 AB d= × = ． 15分
2 9 9 81
评分细则：
【1】第 (1)问中，未写“ a2-b2= 1”，但写了“a2- b2= 1”，不扣分．
【2】第 (2)问中，计算△ABE 1 8 5 5 2的面积时，也可以由 AB DE = × ，得到最
2 9 9
后的结果，所以解析过程中可以不求点E到直线 l的距离．
π
17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB= ，PD，BC的中点分别
3
为E，F，PA=PD，AD= 2，且平面PAD⊥平面ABCD． P
(1)证明：CE 平面PAF． E
(2) 30若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为 ，求棱PB的长． D C
20
F
210 A
【答案】 1 证明见解析 2 2或 B
7
【解析】17． (1)证明：取PA的中点M，连接ME，MF，则ME 1 AD， 1分
2
因为底面ABCD是菱形，F为BC的中点，所以CF 1 AD， 2分
2
所以ME FC，则四边形MECF是平行四边形，所以CE MF． 3分
又因为CE 平面PAF，MF 平面PAF，所以CE 平面PAF． 5分
(2)解：取AD的中点H，连接PH，BH，因为PA=PD，所以PH⊥AD， 6分
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PH⊥平面ABCD．
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7分
z
因为底面ABCD π是菱形，∠DAB= ，所以△ABD为正三角 P
3
形，所以BH⊥AD． E8分 M
以H为坐标原点，HA，HB，HP所在直线分别为 x， y， z D CH
F
轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 PH = a a>0 ，则 A B
x y
A 1,0,0 ，P 0,0,a ，B 0, 3,0 ，F -1, 3,0 ， 9分

AF = -2, 3,0 ，AP= -1,0,a ，PB= 0, 3,-a ． 10分

n AF=-2x+ 3y=0
设平面PAF的法向量为n= x,y,z ，则 11分n AP=-x+az=0,
令 x= 3a，则 y= 2a， z= 3，则n= 3a,2a, 3 ． 12分
设直线PB与平面PAF所成的角为 θ，

PB n
sinθ= cos n PB = = 3a则 = 30 ， 13分
PB n a2+3 7a2+3 20
解得 a2= 1 9或 ． 14分
7
故PB= a2+3= 2 210或 ． 15分
7
评分细则：
【1】第 (1)问中，未写“CE 平面PAF，MF 平面PAF”，扣 1分．
【2】第 (2)问中，证明“PH⊥平面ABCD”时，未写“平面PAD∩平面ABCD=AD”，
扣 1分．
f x = 218.设函数 + ax．
ex+1
(1)证明：曲线 y= f x 关于点 (0,1)对称．
(2)已知 f x 为增函数．
①求 a的取值范围．
1
②证明：函数 g x = ax2+ 2x- a- 2ln ex+1 存在唯一的极值点．
2
③若不等式 f -xex + f m-2ex < 2对 x∈ -4,2 恒成立，求m的取值范围．
1 2 1 1【答案】 证明见解析 1 ,+∞ 2 存在极小值点，证明见解析 3 2 -∞,- e3
2 2ex 2
【解析】(1)证明：因为 f -x = - ax= - ax= 2- - ax， 1分
e-x+1 ex+1 ex+1
所以 f -x + f x = 2，则曲线 y= f x 关于点 (0,1)对称． 2分
x
(2)①解：因为 f x 为增函数，所以 f x = -2e + a≥ 0恒成立， 3分
ex+1 2
2ex 2exa≥ = 2 ≤ 2 1则 ，因为 + = ， 4分 ex+1 2 ex+1 2 ex+e-x+2 2 2 2
x
当且仅当 x= 0 2e 1时，等号成立，则 的最大值为 ， 5分
ex+1 2 2
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所以 a≥ 1 1，即 a的取值范围是 ,+∞ ． 6分2 2
x
②证明： g x = ax+ 2- 2e = 2 + ax= f x ，所以 g x 为增函数． 7分
ex+1 ex+1
g -4 = 2 - 4a 2，因为 < 2， 4a≥ 2，所以 g -4 < 0， 8分
e-4+1 e-4+1
又 g 0 = 1> 0，所以 g x 在 (-4,0)上存在唯一的零点 x0． 9分
当 x< x0时， g x < 0， g x 单调递减，当 x> x 时， g 0 x > 0， g x 单调递增， 10分
所以 g x 存在唯一的极值点，且该极值点为极小值点． 11分
③解：由 (1)知，曲线 y= f x 关于点 (0,1)对称，所以 h x = f x - 1为奇函数， 12分
由 f -xex + f m-2ex < 2，得 f -xex - 1+ f m-2ex - 1< 0，
所以 h -xex + h m-2ex < 0， 13分
即 h m-2ex <-h -xex = h xex ． 14分
因为 f x 为增函数，所以 h x = f x - 1为增函数，所以m- 2ex< xex， 15分
即m< x+2 ex，设函数 p x = x+2 ex，则 p x = x+3 ex．
当 x<-3时， p x < 0， p x 单调递减，
当 x>-3时， p x > 0， p x 单调递增． 16分
故m< p 1 1 x min= p -3 =- ，即m的取值范围为 -∞,- ． 17分e3 e3
评分细则：
【1】第 (1)问中，还可以这样表述：因为 f -x + f x = 2 - ax + 2 + ax =
e-x+1 ex+1
2ex + 2
x
= 2e +2 = 2，所以曲线 y= f x 关于点 (0,1)对称．
ex+1 ex+1 ex+1
【2】第 (2)问中，若 a的取值范围写为 a≥ 1 ，m的取值范围写为m<- 1 ，均不扣分．
2 e3
【3】第 (2)问中，可以从 (-∞,-4]中任取一个实数 t，均可得到 g t < 0．
19.定义：若存在 λ∈R， p∈ 1,+∞ ，使得数列 an+λ pn λ,p均为常数 是公差为 d的等差
数列，则称 an 是 λ,p,d 和比等差数列，也称 an 是和比等差数列，且 λ称为该和比等
差数列的系数．
(1)若数列 bn 是 (-2， 3，-4)和比等差数列，且 b1= 1，求 bn 的通项公式．
(2)设数列 an 的前n项和为Sn，且Sn= 2an+n2．
①试问 an 是否为和比等差数列？若是，求该和比等差数列的系数；若不是，请说明理
由．
n i 4
②证明：
i=1 2i-
< ．
ai 3
【答案】 1 b nn= 2× 3 - 4n- 1； 2 1 an 是和比等差数列，且该和比等差数列的系数为 3；
2 证明见解析
【解析】因为数列 bn 是 (-2， 3，-4)和比等差数列，所以 bn-2×3n 是公差为-4的等
差数列， 1分
又 b1= 1，所以 b1- 2× 3=-5，所以 b nn- 2× 3 =-5- 4 n-1 ， 2分
第8页，共9页
则 bn= 2× 3n- 4n- 1． 3分
(2)①解：因为 a1=S1= 2a1+ 1，所以 a1=-1． 4分
当n≥ 2时， an=Sn-Sn-1= 2an- 2an-1+ 2n- 1，
即 an= 2an-1- 2n+ 1． 5分
设 an+ xn+ y= 2 an-1+x n-1 +y n≥2 ， 6分
x=-2, x=-2,
整理得 an= 2an-1+ xn+ y- 2x，则 解得 7分y-2x=1, y=-3,
又 a1- 2- 3=-6，所以数列 an-2n-3 是首项为-6，公比为 2的等比数列， 8分
所以 a - 2n- 3=-6× 2n-1n =-3× 2n，即 an=-3× 2n+ 2n+ 3， 9分
所以 a nn+ 3× 2 = 2n+ 3，则数列 an+3×2n 是公差为 2的等差数列，所以 an 是和比等
差数列，且该和比等差数列的系数为 3． 10分
②证明：由①知， 2n- a nn= 3 2 -1 ≥ 3× 2n-1， 11分
n ≤ 1所以 - ×
n
． 12分
2n a 3 2n-1n
n i
设Tn= = 1 + 2 + 3 + + n ，
i=1 2i-1 1 2 22 2n-1
1 T = 1 + 2 + + n-1 n则 n + ， 13分2 2 22 2n-1 2n
1
T - 1 T = 1+ 1 + 1 + + 1 - n
1- n
所以 n n = 2 - n = 2- n+2 ，2 2 22 2n-1 2n 1- 1 2n 2n2
T = 4- n+2即 n ， 15分
2n-1
n i n
所以 - ≤
1 i = 4 - n+2 < 4 ，2i a 3 i-1 n-1i=1 i i=1 2 3 3×2 3
n
i 4故 - < ． 17分i=1 2i ai 3
评分细则：
【1】第 (1)问中，未写“ bn-2×3n 是公差为-4的等差数列”，直接由题意得到“bn- 2
× 3n= 1- 6- 4 n-1 "，不扣分．
【 2】第 ( 2 ) 问中，由“ a n = 2 a n-1 - 2 n + 1”直接得到“ a n - 2 n - 3 =
2 an-1-2 n-1 -3 ”，未用待定系数法求系数，不扣分．
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