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(共25张PPT)
湘教版数学·七年级下册
平方根和算术平方根
这是一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，你能把它剪拼成一个正方形吗？
做一做
2
1
展开铺平
剪开拼图
这个正方形的面积是多少？它的边长呢？
沿虚线对折
沿虚线对折
1
1
1
1
1
1
1
1
这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数。
2
1
1
1
1
由 S正方形 = 边长2
S正方形 = 2
( ？ )2 = 2
抽 象
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，
因为 22 = 4，所以 2 是 4 的一个平方根.
因为(－2)2 = 4，所以 －2 也是 4 的一个平方根.
探 究
4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？
因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根.
类似地，边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根.
0 显然不是 4 的平方根.
所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2.
互为相反数
一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r.
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ，
读作“根号 a”；
正数 a 的负平方根记作 ，
这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”.
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
x2 = a
（x ≥ 0，a ≥ 0）
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作“正、负根号 a”
开平方 平方
互为逆运算
根据这种关系，可以求一个数的平方根.
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.一个正数只有一个算术平方根.
4 的平方根是________，
4 的算术平方根是________，
2 的算术平方根是________.
2 的平方根是________，
思 考
0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
0 有一个平方根，就是 0；
负数没有平方根.
平方根与算术平方根的区别与联系：
类别 名称 平方根 算术平方根
区别 定义不同
个数不同
表示方法不同
结果不同
联系 具有包含关系 存在条件相同 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的平方根.
两个，且互为相反数
一个
一正一负
正数
平方根包含了算术平方根
被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0.
例 1
分别求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）1.21.
解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，即 .
（2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ，
即 .
例 1
分别求下列各数的平方根：
（3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 .
（1）36；（2） ；（3）1.21.
例 2
分别求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）1.96；（3） .
解：（1）因为 102 = 100，
所以 .
（2）因为 1.42 = 1.96，所以 .
（3）因为 ( )2 = ，所以 .
说说你发现了什么规律？
正数越大，它的算术平方根也越大.
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
议一议
（1）|－81|； （2）(－5)2.
解：（1）|－81| = 81，由于 (±9)2 = 81，
因此 81 的平方根是 9 与－9，
即 .
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
议一议
（1）|－81|； （2）(－5)2.
（2）(－5)2 = 25，由于 (±5)2 = 25，
因此 25 的平方根是 5 与－5，
即 .
1. 分别求下列各数的平方根：
练 习
（1）64； （2） ；（3）6.25.
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
2. 分别求下列各数的算术平方根：
（1）81； （2） ；（3）0.16.
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
3. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1） 的值是±4；（2）(－4)2 的平方根是－4.
解：（1）不正确， ；
（2）不正确， (－4)2 的平方根是±4.
课堂小结
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
（1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0 有一个平方根，就是 0；
（3）负数没有平方根.
算术平方根： （a ≥ 0）
平方根： （a ≥ 0）
3. 平方根的表示方法
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业(共17张PPT)
湘教版数学·七年级下册
无理数
复习引入
什么叫有理数？
①整数和分数统称为有理数.
正整数
负整数
零
整数
正分数
负分数
分数
有理数
②有限小数和无限循环小数是有理数.
探 索
如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
1
1
a
2
a
2
S=a2=a
S=22=2
S=12=1
1 < a < 2
思 考
观察下列结果：
12 = 1，
1.42 = 1.96，
1.412 = 1.9881，
1.4142 = 1.999396，
1.41422 = 1.99996164，
…
22 = 4，
1.52 = 2.25，
1.422 = 2.0164，
1.4152 = 2.00225，
1.41432 = 2.00024449，
…
（1）分别根据上述结果，估计 2 的算术平方根 的大致范围；
（2）若将 写成一个小数，则它是一个怎样的小数？
（1）由于 12 < 2，2 < 22，所以 1 < < 2.
由于 1.42 < 2 < 1.52，所以 1.4 < < 1.5.
同理可得，1.4 < < 1.42，
1.414 < < 1.415，
1.4142 < < 1.4143.
表示 介于 1 与 2 之间
（2）若将 写成一个小数，则由（1）可以猜测
它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
= 1.414213562…
事实上，它是一个无限不循环小数，不可写成分数.
定 义
= 1.414213562…
像这样，若一个数是无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
π = 3.141592653…
= 1.732050807…
= 2.236067977…
无理数
无理数
分 类
正无理数
负无理数
， ，π
－ ，－ ，－π
议一议
下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.
（1）无限小数都是有理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）无理数都是带根号的小数.
无理数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
（有理数）
（有理数）
（无理数）
×
√
×
×
π = 3.1415926···
精确到小数点后面第二位 ___________.
精确到小数点后面第三位 ___________.
π ≈ 3.14
π ≈ 3.142
3.14，3.142，3.1416，··· 都是 π 的近似值，称它们为近似数.
根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
例 3
用计算器求下列各式的值.
（1） ；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
解：（1）依次按键：
显示结果：32.
所以， .
不同型号的
计算器，操作可能不同.
例 3
用计算器求下列各式的值.
（1） ；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
“精确到小数点后面第三位”也可以说成“精确到0.001”或“保留三位小数”.
（2）依次按键：
显示结果：2.828427125
所以， .
成立吗？若不成立，请举例说明.
做一做
由于 ( )2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a.
当 a 为负数时不成立.
练 习
1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数：
无理数：
（1） ；
2. 用计算机分别求下列各数的近似值
（结果精确到 0.001）.
（2） .
解：（1） ；
（2） .
课堂小结
1. 无理数的定义
2. 用计算器求正数的算术平方根或它的近似数.
若一个数是无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业

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