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湘教版数学·七年级下册
旋 转
情境导入
分别观察正在运行的钟表指针、电风扇的叶片和汽车的雨刮器，你能发现它们都是在绕哪个点旋转吗？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
把图形（Ⅰ）上的每一个点与定点的连线绕点 O 按同一个方向旋转角 α，得到图形（Ⅱ）.
抽 象
Ⅰ
图形的这种变换叫作旋转.
这个定点 O 叫作旋转中心.
角 α 叫作旋转角.
α
Ⅱ
O
α
Ⅰ
Ⅱ
O
原位置的图形（Ⅰ）叫作原像，新位置的图形（Ⅱ）叫作图形（Ⅰ）在旋转下的像.
原像
像
图形（Ⅰ）上的每一个点 P 与它在旋转下的像点 P′ 叫作在这个旋转下的对应点.
P
P′
转动的方向分为顺时针与逆时针
如图，把△AOB 绕点 O 顺时针旋转后得到△A′OB′，
则点 B 的对应点是点______，线段 AB 的对应线段是
线段_______，∠A 的对应角是_______，旋转中心是
点_______，旋转角是___________________.
B′
A′B′
∠A′
O
∠AOA′ 和∠BOB′
例 1
已知 O 为 △ABC 外一点，以点 O 为旋转中心，把△ABC 顺时针旋转 120°，画出旋转后的三角形.
A′
C′
B′
A
C
B
O
（1）连接 OA，OB，OC；
（2）将 OA，OB，OC 绕点 O 顺时针旋转 120°，分别得到 OA′，OB′，OC′；
（3）连接 A′B′ ，B′C′ ，C′A′ 则△A′B′C′ 就是所要画的三角形.
归纳总结
确定一个图形的旋转时，必须明确：
旋转中心
旋转角
旋转方向
旋转三要素
说一说
如图，将△ABC 绕△ABC外一点 O 逆时针旋转角 α 得到△A′B′C′ ，其中点 A，B，C 的对应点分别是点 A′，B′，C′，且△ABC 内点 P 在这个旋转下的对应点是点 P′.
（1）比较 OA′ 与 OA 的长度，它们相等吗？
（2）比较 ∠POP′ 与 ∠AOA′ 的大小，它们相等吗？
OA′ = OA
∠POP′ =∠AOA′
（3）∠AOP 与 ∠A′OP′ 相等吗？
由于∠POP′ =∠AOA′，因此
∠AOP =∠AOA′－∠POA′ ，
=∠POP′－∠POA′
=∠A′OP′
旋转的基本性质：
文字语言 符号语言
对应点到旋转中心的距离相等
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.
OA = OA′
OB = OB′
OC = OC′
OP = OP′
∠AOA′ = ∠BOB′
= ∠COC′
= ∠POP′
做一做
（1）分别比较 AB 和 A′B′ ，BC 与 B′C′，AC 与 A′C′ 的长度，它们相等吗？
AB = A′B′ ，
BC = B′C′，
AC = A′C′
（2）分别比较 ∠ABC 和 ∠A′B′C′，∠BAC 与∠B′A′C′， ∠BCA 与 ∠ B′C′A′ 的大小，它们相等吗？
∠ABC = ∠A′B′C′ ，
∠BAC = ∠B′A′C′，
∠BCA = ∠ B′C′A′
旋转的基本性质：
文字语言 符号语言
旋转保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
AB = A′B′
BC = B′C′
AC = A′C′
∠ABC =∠A′B′C′
∠BAC =∠B′A′C′
∠BCA =∠B′C′A′
例 2
如图，将△ABC 按逆时针方向旋转 45°，得到△AB′C′ .
（1）图中哪一点是旋转中心？
C′
B′
A
C
B
点 A 是旋转中心.
（2）∠B′AB 和∠C′AC 有什么关系？它们的度数是多少？
C′
B′
A
C
B
B 与 B′， C 与 C′ 是对应点.
因为两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角，
所以∠B′AB =∠C′AC = 45°.
（3）AB 与 AB′ ，AC 与 AC′ 有什么关系？
C′
B′
A
C
B
因为对应点到旋转中心的距离相等，
所以 AB = AB′ ，AC = AC′.
（4）BC 与 B′C′ 有什么关系？
因为旋转保持任意两点间距离不变，
所以 BC = B′C′.
C′
B′
A
C
B
（5）∠BAC 和∠B′AC 有什么关系？
因为保持旋转角的大小不变，
所以∠BAC =∠B′AC.
平移、轴对称、旋转变换的相同点和不同点
（1）相同点：都是平面内的一种运动方式，运动前后
不改变图形的形状和大小.
（2）不同点：
名称 运动方式
平移
轴对称
旋转
沿直线移动一定距离
沿一条直线翻折
按顺时针或逆时针方向移动一定的角度
练 习
1.如图，此图案可看成是由图中的哪一部分经过旋转得到？（用笔把该部分圈出来. ）
O
绕点 O 顺时针 (或逆时针)
旋转 90°，180°，270°得到的.
2. 如图， 在△ABO 中，∠O = 90°. 将△ABO 绕点 O 顺时针旋转 90°，作出旋转后的△A′B′O，△A′B′O 是直角三角形吗？它的哪个角是直角？
△A′B′O 是直角三角形，
∠A′OB′ = 90°.
巩 固
1. 如图，△ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到△A′B′C′，
则下列说法中错误的是（ ）
A. OA ＝OB
B. OC ＝OC′
C.∠AOA′ ＝∠BOB′
D.∠AOB ＝∠A′OB′
A
2. 如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，
使得点 B 的对应点 D 落在边 AC 的延长线上.
若 AB ＝15，AE ＝ 10，则线段 CD 的长为____.
5
课堂小结
旋转变换
定 义
性 质
基本事实
将图形（ Ⅰ ）上的每一个点，绕这个平面内一定点 O 按同一个方向旋转同一个角 α，得到图形（ Ⅱ ），我们把图形的这种变换叫作旋转，这个定点叫旋转中心，角 α 叫旋转角度.
旋转的三要素
旋转中心
旋转方向
旋转角度
定点
顺时针、逆时针
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角都相等
旋转不改变图形的形状和大小
对应点与旋转中心的连线所夹的角
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业

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