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第一单元 倍数和因数
1、0和1,2,3,4,5……这些数都是 (自然数) 。这个部分我们研究的是(非零自然数)。
2、9×4 = 36 36÷4 = 9 (36)能 被(4)和(9)整除 ，(4)和(9)能整除(36)。
倍数和因数是(成对)的，(没有)单独的因数和倍数,(4)和(9)都是(36)的因数 .(36)是(4)和(9)的倍数。
3、找一个数的因数可以先写成(乘法算式)，按组写出；也可以(依次写出)，不要漏写。
如 36的因数：(1,36 ，2,18 ，3,12 ，4,9 ，6)；或者：(1,2,3,4,6,9,12,18,36)。
4、一个自然数的因数中，最小的因数是(1)，最大的因数是(它本身)。1是所有(非零自然数)公有的因数。
5、一个自然数的倍数中，最小的倍数是（它本身），没有（最大的倍数）。
6、2,4,6,8,10……都是（2的倍数），也就是能被（2整除的数），它们又都是（ 偶数）（0也是偶数。）
1,3,5,7,9……不能被2整除，它们是（奇数） 。
2的倍数特征：（ 个位上是0,2,4,6,8的数）。判断时只需看（个位）。
5的倍数特征：（ 个位上是0或5的数就是5的倍数）。判断时只需看（个位）。
如果一个数（同时）能被2和5整除，那它一定是（偶数)，个位上是(0），也就是（整十数）。
7、一个数，如果各个数位上的数字（之和)是3的倍数，这个数就是 (3的倍数)。
判断一个数能否被3整除，不看(个位)，而是把几个数字(加起来)看是不是(3的倍数)。
一个数如果能被3整除，同时它又是一个偶数，那它一定能被 (6整除)，是(6的倍数)。
一个数如果能同时被2，5,3整除，那它就是能被3整除的(整十数)，最小的就是( 30).
在填能被3整除的数字时，先看已有(数字和）是几，再看（差）几就是(3)的倍数。如果可以填（1），那就还能填（4,7）；填（2），就可以填（2，5,8）；填（3），就可以填（0,3,6,9）
例如：在□填上适当的数使它能被3整除： 5□（1,4,7），22□（2,5,8) ，63□（0,3,6,9）；就可以分别有几种填法。
注意：如果有其他要求还要仔细分析选择：
如 5□ 能同时被2和3整除，就只能填（4） ； 22□能同时被3和9整除只能填（5）；
63□能同时被2,5,3整除就只能填（0） 。
8、像2,3,11,19这样的数，只有（1和它本身）两个因数，叫做（ 质数） 。
像4,6,12,24这样的数，除1和它本身外还有（别的因数）（至少3个），叫做 （合数） 。
（1）既不是质数也不是合数。（只有一个因数）
9、20以内的质数有：（2,3,5,7,11,13,17,19） 一共 （八）个，
20以内质数的和是（77），（2+3+5+7+11+13+17+19).10以内的质数的和是（17）(2+3+5+7)。
最小的质数是(2)，同时2也是质数中(唯一)的一个(偶数)，其他都是(奇数)。最小的合数是(4)。
最小的质奇数是(1)，最小的偶数是(0)，最小的自然数是(0)
10、一个合数可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数叫做它的 （质因数）。
如：42可以写成2,3,7相乘的形式，2，3，7都是质数，同时也是42的因数，因此2,3,7就叫做42的（质因数）。
把一个合数用（质数）相乘的形式表示出来，叫做（分解质因数） 。42=2 3 7
分解质因数一般可以用（短除法）去做，用（质数）做除数，除到商是(质数)为止；也可以先根据数想口诀，再看有没有合数，继续用口诀分解，直到全部都是(质数)为止。 56=2 2 2 7
如分解36的质因数：想口诀：四九三十六或者六六三十六都可以，36=4×9，然后二二得四，三三得九，36=2×2×3×3；或者 36=6×6，然后二三得六，36=2×3×2×3。注意：分解质因数必须写成（质数）相乘的形式。54=2 3 3 3
第二单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：把（单位“1”）平均分成若干份，表示这样的（一）份或（几）份的数，叫做(分数)。
2、分数单位：把(单位“1”)平均分成若干份，表示这样的(一)份的数叫做(分数单位）。即（几分之一）。
3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的（分子），除数相等于（分母）。
4、求一个数是另一个数的几分之几用（除法）计算，用（一个数÷另一个数）。
5、分数（未带单位）表示（两个量之间的倍数）关系(分率)用（1÷总份数）；分数（带有单位）表示（一个具体的数量），用（一个数÷另一个数）。
6、分数的大小比较：①（分母）相同的两个分数，分子（大）的就(大)，分子(小)的就(小)。②(分子)相同的两个分数，分母(小)的分数反而(大) ，分母大的分数反而(小) 。③ 异分母分数大小比较，先化成(同分母分数)（分数单位相同），再进行比较。
5、分子比分母(小)的分数叫做(真分数)，真分数(小于1)。
6、分子比分母(大)或分子和分母(相等)的分数叫做(假分数)，假分数(大于)1或(等于)1。分子是分母的(倍数)的假分数可以化成(整数），用（分子除以分母）。
7、由整数部分和分数部分组成的分数叫做(带分数)。
8、把假分数化成带分数，用(分子除以分母)，所得商作(整数部分)，余数作(分子)，分母(不变)。
9、把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作(分子)，分母(不变)。
10、分数的基本性质：分数的分子和分母同时(乘)或(除以)(相同的数）（0除外），分数的大小（不变），这叫做分数的(基本性质)。
11、最大公因数：几个数(共有)的因数叫做它们的(公因数)，其中(最大)的一个叫做(最大公因数)。可以用(短除法)求最大公因数。
12、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系：所有的(公因数)都是最大公因数的(因数)，最大公因数是它们的(倍数)。
13、互质数：只有(公因数1）的两个数叫做（互质数）。
14、两个数互质的特殊判断方法：① 1和任何大于1的自然数互质。② 2和任何奇数都是互质数。③ 相邻的两个自然数是互质数。④ 相邻的两个奇数互质。⑤ 不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
15、求最大公因数的方法：① 倍数关系：最大公因数就是（较小数）。② 互质关系：最大公因数就是（1）。③ 一般关系：从大到小看（较小数的因数是否是较大数的因数）。
16、最简分数：分子和分母只有（公因数1）(是互质数)的分数叫做（最简分数）。
17、约分：把一个分数化成和它（相等），但分子和分母都比较（小）的分数，叫做（约分）。（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到（最简分数)为止）
18、最小公倍数：几个数(共有)的倍数叫做它们的(公倍数)，其中(最小)的一个叫最小公倍数。可以用(短除法)求最小公倍数。
19、两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系：几个数的公倍数是它们最小公倍数的(倍数)。
20、通分：把异分母分数分别化成和原来分数(相等)的(同分母)分数，叫做(通分)。（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。
21、求最小公倍数的方法：① 倍数关系： 最小公倍数就是(较大数)。② 互质关系： 最小公倍数就是(它们的乘积)。③ 一般关系：（大数翻倍）（从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数）。
22、约分和通分的依据都是（分数的基本性质）。
23、小数化分数的方法：一位小数表示（十分之几），两位小数表示（百分之几），三位小数表示（千分之几……），去掉（小数点）作（分子），能约分的必须约成（最简分数）。
24、分数化小数的方法：用（分子除以分母），除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留两位小数。）
25、判断分数是否能化成有限小数的方法：① 判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数；
② 把分数的分母分解质因数:如果分母中除了2和5以外，不含有其他（质因数），这个分数就（能化成有限小数）；如果分母中含有2和5（以外的质因数），这个分数就（不能化成有限小数）。
=0.5
第三单元 长方体和正方体
1、长方体和正方体都是（立体图形）。正方体也叫（立方体）。
2、相交于（一个顶点）的三条棱的长度分别叫做长方体的（长、宽、高）。 （长、宽、高都各有4条，分别平行并且相等）
3、长方体的特征；面：有（6）个面，都是（长方形）（特殊情况下最多有两个相对的面是正方形）。
相对的面（完全相同）。棱：有（12）条棱。相对的棱（长度相等）。 顶点：有（8）个顶点。
4、正方体的特征：
面：有（6）个面都是(正方形)，(6）个面（完全相同）。棱：有（12）条棱。12条棱的（长度相等），顶点：有（8）个顶点。
相同点
不同点
面
棱
长方体
都有6个面，
12条棱，
8个顶点。
6个面都是长方形。（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的棱的长度都相等
正方体
6个面都是正方形。
12条棱都相等。
5、正方体是特殊的长方体。6、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 7、正方体的棱长总和=棱长×12
8、至少要8个小正方体才能拼成一个稍大的正方体。
9、表面积：一个物体表面所有面的面积（之和）叫做（表面积）。
长方体或正方体(6）个面的（总面积），叫做它的（表面积）。
10、长方体的表面积： ①长方体有（上、下、前、后、左、右）（6）个面。
②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2???用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2
③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）正方形的两个面（完全相同），其余四个面（完全相同）。
11、正方体的表面积=棱长×棱长×6??? 用字母表示： S= 6a
12、表面积的常用单位有（平方米、平方分米、平方厘米），相邻两个面积单位之间的进率是（100） 。
1m =100dm 1 dm =100 cm 1 m=10000 cm
13、生活实际：油箱、罐头盒等都是 （上、下、前、后、左、右 ）（6）个面；游泳池、鱼缸等都只有（下、前、后、左、右）（5）个面；水管、烟囱等都只有（前、后、左、右）（ 4)个面。
14、长方体或正方体每(截断一次)会增加(两个)截面，所以这时的两个物体的表面积(大于)原来物体的表面积。
两个长方体或正方体拼成（一个大)的长方体或正方体会减少(两个)截面，所以这时的两个物体的表面积（小于）原来物体 的表面积。
15、长方体或正方体的长、宽、高同时(扩大)几倍，表面积会扩大(倍数的平方倍)。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的2 2=4倍）。
15、体积：物体所占（空间的大小）叫做物体的（体积）。（就是看物体含有多少个体积单位）
16、常用的体积单位有：立方米（ ） 、立方分米（ ） 、立方厘米（ ）
① 棱长是1 cm的正方体，体积是（1 cm ) ② 棱长是1 dm的正方体，体积是（1 dm ） ③ 棱长是1 m的正方体，体积 是（1 m ），相邻两个体积单位之间的进率是（1000?） . 1m =（1000）dm ? 1dm=（1000）cm
17、长方体的体积=(长×宽×高?)??? 用字母表示：V=（abh）
18、正方体的体积=（棱长×棱长×棱长）?用字母表示：V=(a ）（读作：a的立方，表示3个a相乘）
19、底面积：长方体或正方体（底面的面积）叫做底面积。
20、长方体和正方体的体积统一公式：长方体或正方体的体积=（底面积×高）用字母表示：V=Sh S= V÷h h= V÷S
21、容积：容器所能容纳物体的（体积），叫做它（的容积）。容积单位有：升（L）、毫升（ml） 1 L = 1000 ml
22、容积单位和体积单位的关系： （ 1 L = 1 dm 1 mL = 1 cm ）
23、容积的计算：长方体和正方体容器容积的计算方法，跟（体积）的计算方法相同，但要从（里面）量（长、宽、高）。（所以物体的体积大于它的容积）。
24、长方体或正方体的长、宽、高同时（扩大）几倍，体积就会扩大倍数的（立方倍）。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的2 2 2=8倍）。
25、排水法：（计算不规则物体的体积）
26、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
把长方体或正方体拼成一个大的长方体（或正方体）后，表面积减少了，体积不变。
一厘米：拇指宽； 一分米：一搾长； 一米:米尺长。
一平方厘米：指甲表面大小 ；一平方分米：粉笔盒一面大小； 一平方米：粉笔盒一百个一面的大小 。
一立方厘米：拇指尖的体积； 一立方分米：粉笔盒一个的体积；一立方米：大约12个学生的体积 。
第四单元 分数的加法和减法
1、同分母分数加、减法：同分母分数相加、减，分母（不变），只把分子（相加减）。计算的结果，能约分的要约成（最简分数）。
2、分母不同，也就是（分数单位不同），不能（直接）相加、减。
3、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减，要先（通分），再按照（同分母分数加减法）的方法进行计算。
4、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的（顺序相同）。在一个算式中，如果有（括号），应先算（括号里面的），再算（括号外面的）；如果只含有（同一级）运算，应从（左到右依次）计算。
5、整数加法的（交换律、结合律）对分数加法（同样适用）。
第五单元 简易方程
1、在含有字母的式子里，数字和字母。字母和字母之间的（乘号）可以记作“·”，也可以（省略不写），数通常写在字母的（前面）。（加号、减号除号以及数与数之间）的乘号（不能省略）。
2、a×a可以写作（a·a0或 ， 读作（a的平方）。??2a表示（a+a）
3、等式：表示相等关系的（式子）叫（等式）。
4、等式的性质：等式（左右两边）同时加、减、乘、除（相同的数）（0除外），等式（依然成立）。
5、方程：含有未知数的（等式)叫做(方程)。使方程左右两边相等的(未知数)的值，叫做(方程的解)。求方程的解的过程叫做解方程。解方程的格式要求：①必须写(“解”并打上：)。②所有 = 对齐。③自觉进行(验算)。
6、10个数量关系式：加法：和=(加数+加数) ??一个加数=(和-另一个加数)
减法：差=(被减数-减数) ???? 被减数=(差+减数)???? ? 减数=(被减数-差)
乘法：积=(因数×因数)?? ???一个因数=(积÷另一个因数)
除法：商=(被除数÷除数) ??? 被除数=(商×除数) ???? 除数=(被除数÷商)
7、所有的方程都是(等式)，但等式(不一定)都是方程。
8、方程的解是(一个数)，解方程是一个(计算过程)。
9、列方程解决问题的(步骤)：
?①弄清题意，找出未知数，用X表示。②分析找出数量之间的(等量关)，列方程。③解方程。④验算，写出答语。
第六单元 折线统计图
折线统计图：用一个单位长度表示一定的(数量)，根据数量的(多少)，描出(各点)，然后把(各点)用线段(顺次连接起来)的统计图。
折统计图的特点：不但可以表示(数量的多少)，而且能清楚地反映数量的(增减变化趋势)。
常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长 ）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 （V:体积 a:棱长 ）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab
4、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）
表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形 (s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高
6、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高 s=ah
7、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
1、总数÷总份数＝平均数 2、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
3、和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)
4、差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)
5、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇
换算方法：把高级单位化成低级单位乘进率；把高级单位聚成低级单位除以进率
常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月 平年2月28天,闰年2月29天,平年全年365天,闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒1时=3600秒  运算定律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，a+b=b+a 。
2. 加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变， （a+b)+c=a+(b+c) 。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，
(a×b)×c=a×(b×c) 。
5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，(a+b)×c=a×c+b×c 。
6. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，a-b-c=a-(b+c) 。
运算顺序
1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。
4. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5. 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 6. 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。
应用题 （一）整数和小数的应用
1 简单应用题 （1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。
（2） 解题步骤：
a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。
2 复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。
求比两个数的和多（少）几个数的应用题。 比较两数差与倍数关系的应用题。
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。
已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。
（4）解答连乘连除应用题。 （5）解答三步计算的应用题。
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。
d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。
( 3 ) 解答加法应用题：
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
(4 ) 解答减法应用题：
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。
b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
(5 ) 解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。
( 6) 解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。
C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
（7）常见的数量关系 总价= 单价×数量 路程= 速度×时间 工作总量=工作时间×工效 总产量=单产量×数量
3典型应用题
（1）平均数问题： 解题关键：在于确定（总数量）和与之（相对应的总份数）。
平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：（数量之和÷数量的个数=平均数）。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式 :（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数
最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为 ，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 （千米）
（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一） 总数量÷单一量=份数（反归一）
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）
（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）
（4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）÷2 = 大数 大数－差=小数 （和－差）÷2=小数 和－小数= 大数
例： 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数或几个数的数量。
解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）…剪去的长度。
（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律：
同时同地相背而行： 路程=速度和×时间。
同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）： 路程=速度差×时间。
同时相向而行： 相遇时间=速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）： 追及时间=路程速度差。
例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。
已知甲在乙的后面28千米（追击路程），28 千米里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷（16-9 =4 （小时）
（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速：船在静水中航行的速度 水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。 顺速=船速＋水速
逆水速度：船逆流航行的速度。 逆速=船速－水速
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。 解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所 需时间 路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）。
（9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人）
一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。
（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷（棵树-1） 总路程=株距×（棵树-1）
沿周长植树： 棵树=总路程÷株距 株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）
（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。
（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）
（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
鸡的只数 50-35=15 （只）
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