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沪科版九年级上册期末仿真模拟集训卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知反比例函数（）的图象经过点，那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点，是边，的中点，若的面积为1，则四边形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
4．如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是 （　　）
A． B． C． D．
5．如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形曲线的薄壳屋顶已知它的拱宽为米，拱高为米为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式图是以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立的平面直角坐标系，则图中的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　）
A． B．
C． D．
7． 如图下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
8． 如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 ，则 　 　.
12．如图，A.B是双曲线y＝ 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为　 　.
13．在△ABC中，（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝　 　．
14．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是　 　．
15．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为，若，则的值为　 　．
16．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为 　 　．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O.
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积.
18．（8分）某服装专卖店11月份销售品牌服装，成本价为80元/件，上旬售价是120元/件，每天可卖出20件.市场调查反映：如调整单价，每涨价1元，每天要少卖出1；每降价1元，每天可多卖出2件.调整价格时也要兼顾顾客利益.
（1）若专卖店11月中旬每天获得1200元利润，试求出是如何确定售价的.
（2）假如你是这家服装专卖店的老板，11月下旬你如何确定售价每天获润利最大，并求出最大利润.
19．（8分）某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为y（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
20．（8分）如图，足球运动员在O点处将球射向球门，球射门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．
（1）求球运动路线的函数表达式．
（2）若球门在O点正前方10米，球门高度是2.44米，问该球能否射入球门？
21．（8分）如图，在Rt△BC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．
22．（8分）已知关于x的反比例函数y=(m-2)xm2-5
（1）求m的值；
（2）它的图像位于哪些象限
23．（8分）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）如图1，矩形ABCD中，已知 ， ，点E是线段BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.将 沿直线AE翻折，点B的对应点为点 ，延长 交CD于点M.
（1）求证： ；
（2）如图2，若点 恰好落在对角线 上，求 的值.
25．（8分）若抛物线 （a、b、c是常数， ）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线 与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
（1）若直线 与抛物线 具有“一带一路”关系，求m、n的值．
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数 的图象上，它的“带线” 的解析式为 ，求此路的解析式．
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沪科版九年级上册期末仿真模拟集训卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知反比例函数（）的图象经过点，那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数解析式可得：
k=2×(-4)=-8
∴反比例函数解析式为
当x=1时，y=-8，A错误
当x=-2时，y=4，B正确，D错误
当x=-1时，y=8，C错误
故答案为：B
【分析】根据待定系数法将点代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，再将各点代入反比例函数解析式进行判断即可求出答案.
2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=，BC=m，
∴sinα=，
∴AB=，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的边角关系知：sinα=，可求得AB=.
3．如图，在中，点，是边，的中点，若的面积为1，则四边形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点，是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴的面积为4，
∴四边形的面积为3，
故答案为：D.
【分析】先证明DE是的中位线，再利用中位线的性质证明，最后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
4．如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AC＝CG，
∴，A不符合题意；
∵，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，B不符合题意．
∵，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴，C符合题意；
∵，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形曲线的薄壳屋顶已知它的拱宽为米，拱高为米为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式图是以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立的平面直角坐标系，则图中的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】设图②中的抛物线的解析式为，
将点A（-2，0），B（2，0），C（0，0.8）代入，
可得，
解得：，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法设图②中的抛物线的解析式为，再将点A、B、C的坐标代入求出a、b、c的值即可.
6．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为，
平移后抛物线的顶点为，
新抛物线解析式为，
故答案为：C.
【分析】将抛物线y=ax2+bx+c向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度可得y=a(x-m)2+b(x-m)+c-n，据此解答.
7． 如图下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，
补充，
∴，A不符合题意；
B、，
补充，
∴，B不符合题意；
C、，
补充，
∴，C不符合题意；
D、根据相似三角形的判定可知补充无法证明，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定定理结合题意对选项逐一判定即可求解。
8． 如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
由勾股定理得，
在中，
，
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据特殊角的三角函数值即可求解。
9．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接AF，
∵，，为中点，
∴，
∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，
在AB上取点G，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，
在中，，
故答案为：D．
【分析】连接AF，由直角三角形斜边中线的性质求出AF=DE=3，从而得知点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，求出此时CG的长即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图，连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．
由，令，则，
解得，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
，
当为与轴交点时最小，最小值为的长，
Q（0，2），，
，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
则的最小值是．
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 ，则 　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=3k，b=5k，
∴ ，
故答案为： .
【分析】设a=3k，b=5k，代入原式计算即得结果.
12．如图，A.B是双曲线y＝ 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD= BE.
设A(x， )，则B(2x， )，CD= ，AD= ，
∵△ADO的面积为1，
∴ AD OC=1， ( ) x=1，解得k= .
故答案为：.
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，易得CD是△OBE的中位线，则CD=BE，设A（x，） ，则B（2x，），CD=，AD= ，然后根据△ADO的面积就可得到k的值.
13．在△ABC中，（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝　 　．
【答案】75°
【解析】【解答】解：∵（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA﹣ ＝0，tanB﹣1＝0，
则cosA＝ ，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
【分析】先根据非负数的性质确定cosA= ，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．
14．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是　 　．
【答案】20米
【解析】【解答】解：如图：AC⊥BC，AC=10
在Rt△ABC中，
∴∠B=30°
∴AB=2AC=20
故答案为：20
【分析】构造直角三角形，根据锐角三角形函数定义可求出∠B值，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
15．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为，若，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵=25，=9，且AD为BC边的中线，
∴，
，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A'E∥AB，
∴△DA'E∽△DAB，
则，即，
解得A'D=1.5或A'D=(舍)，
故答案为：1.5.
【分析】先证明△DA'E∽△DAB，再利用相似三角形的性质求得A'D便可.
16．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，
∴，
解得：x=，
则EH=．
故答案为：．
【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O.
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠ABE=∠ACF，∠BAC=∠EAF，结合角的和差关系可得∠BAE=∠CAF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）易证△ABO∽△FCO，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
18．（8分）某服装专卖店11月份销售品牌服装，成本价为80元/件，上旬售价是120元/件，每天可卖出20件.市场调查反映：如调整单价，每涨价1元，每天要少卖出1；每降价1元，每天可多卖出2件.调整价格时也要兼顾顾客利益.
（1）若专卖店11月中旬每天获得1200元利润，试求出是如何确定售价的.
（2）假如你是这家服装专卖店的老板，11月下旬你如何确定售价每天获润利最大，并求出最大利润.
【答案】（1）解：①设降价x元，依题意得：
解得：，
∴为兼顾顾客利益，应降价20元销售.
②设涨价y元，依题意得：
∴此方程无解.
综上所述，为兼顾顾客利益，应降价20元销售.
（2）解：①设涨价a元，每天的利润为元，则
当时，的最大值为900元
当定价为130元/件时，每天可获得的最大利润为900元.
②设降价b元，每天的利润为元，则
当时，的最大值是1250元，此时售价为105元
当定价定为105元/件时，可获得最大利润1250元.
根据以上分析，11月下旬售价定为105元/件时，每天的利润最大，最大利润为1250元.
【解析】【分析】（1）①设降价x元，由题意可得每件的利润为(120-80-x)，销售量为(20+2x)，根据每件的利润×销售量=总利润建立关于x的方程，求解即可；②设涨价y元，同理求解即可；
（2）①设涨价a元，每天的利润为W1元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W1与a的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答；②设降价b元，每天的利润为W2元，同理求出W2的最大值以及对应的售价，然后进行比较可得最大利润.
19．（8分）某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为y（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴当时，y有最大值200.
故当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元.
【解析】【分析】（1）由题意可得每千克的利润为(x-20)元，根据每千克的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式；
（2）根据（1）的关系式结合二次函数的性质进行解答.
20．（8分）如图，足球运动员在O点处将球射向球门，球射门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．
（1）求球运动路线的函数表达式．
（2）若球门在O点正前方10米，球门高度是2.44米，问该球能否射入球门？
【答案】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为（6，3）且经过原点，可设所求函数表达式为 y=a(x-6) 2+3，
把（0，0）代入上式，得 0=a(0-6) 2+3，解得a =- ，
∴球运动路线的函数表达式为： ；
（2）解：当 x=10 时，
∵ ＜2.44，
∴该球能射入球门.
【解析】【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，3）且经过原点，可设所求函数表达式为 y=a(x-6) 2+3，进而将点（0，0）代入算出a的值即可；
（2）将x=10代入（1）所求的解析式算出对应的函数值，再将该函数值与球门的高度进行比较大小即可得出答案.
21．（8分）如图，在Rt△BC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．
【答案】（1）解：∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝3.
∴BC＝
（2）解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝3
∴sinA＝
【解析】【分析】（1）由已知，利用勾股定理即可求得BC的长；
（2）利用即可求解.
22．（8分）已知关于x的反比例函数y=(m-2)xm2-5
（1）求m的值；
（2）它的图像位于哪些象限
【答案】（1）解：∵y=(m-2)xm2-5 是关于x的反比例函数，
∴m2-5=-1，且m-2≠0
∴m的值是-2
（2）解：当m=-2时，m-2=-2-2=-4 <0
∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的定义得出m2-5=-1，且m-2≠0 ，求出m=-2，即可求解；
（2） 当m=-2时，m-2 <0，即可得出反比例函数的图象位于第二、四象限 .
23．（8分）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入中，得
解得
∴．
（2）解：①设直线的表达式为，把，代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵P在上运动，
∴当时，有最大值；
②存在这样的Q点，Q点的坐标为 或或
【解析】【解答】解：（2）②第一种情况，对角线，因为的斜率为1，，而菱形的对角线平分角，可得到，所以菱形为正方形；
则此时点N的纵坐标为，有
解得或(舍去)，
则，
，
∴Q
第二种情况：当作为菱形的一条边时，有
，，
所以
解得或0(舍去)，
∴
∴此时Q点坐标为．
第三种情况：当P在B点右侧时，如下图，有，
，，
∴，解得或0(舍去)，
∴
∴
此时Q点的坐标为：
综上所述，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）①利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出，利用二次函数的性质求解即可；
②分类讨论：第一种情况，对角线，第二种情况：当作为菱形的一条边时，有，第三种情况：当P在B点右侧时，再分别画出图象并求解即可。
24．（8分）如图1，矩形ABCD中，已知 ， ，点E是线段BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.将 沿直线AE翻折，点B的对应点为点 ，延长 交CD于点M.
（1）求证： ；
（2）如图2，若点 恰好落在对角线 上，求 的值.
【答案】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∴ .
（2）解：由（1）可知 是等腰三角形， .
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）先由矩形性质得到 ，进而得到 ，再由折叠得到 ，得到 .
（2）先由勾股定理得到AC，进而得到 ，由 .
25．（8分）若抛物线 （a、b、c是常数， ）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线 与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
（1）若直线 与抛物线 具有“一带一路”关系，求m、n的值．
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数 的图象上，它的“带线” 的解析式为 ，求此路的解析式．
【答案】（1）解：令直线y＝mx＋1中x＝0，则y＝1，即该直线与y轴的交点为(0，1)，将(0，1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中，得n＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1，0)代入到直线y＝mx＋1中，得0＝m＋1，解得m＝－1，
（2）解：将y＝2x－4代入到y＝ 中，得2x－4＝ ，即2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴该“路线”L的顶点坐标为(－1，－6)或(3，2)，
令“带线”l：y＝2x－4中x＝0，则y＝－4，
∴“路线”L的图象过点(0，－4)，
设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2，由题意得：
－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2，解得m＝2，n＝ ，
∴此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.
【解析】【分析】(1)令直线y＝mx＋1中x＝0，则y＝1，所以该直线与y轴的交点为(0，1)，将(0，1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中，得n＝1，可求出抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1，0)代入到直线y＝mx＋1中，得0＝m＋1，解得m＝－1，(2)将y＝2x－4和y＝ 联立方程可得2x－4＝ ，即2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以该“路线”L的顶点坐标为(－1，－6)或(3，2)，令“带线”l：y＝2x－4中x＝0，则y＝－4，所以 “路线”L的图象过点(0，－4)，设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2，由题意得：－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2，解得m＝2，n＝ ，所以此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.
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