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10.3　实际问题与二元一次方程组
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能找出实际问题中的数量关系 抽象能力
2.能应用二元一次方程组解决实际问题 模型观念、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.列二元一次方程组解决实际问题的步骤: (1)审清题意;(2)找准等量;(3)设未知数; (4)列方程组;(5)解方程组;(6)检验答案; (7)写出答案. 1.甲、乙两人共植树20棵,已知甲植树的棵数是乙的1.5倍.设甲植树x棵,乙植树y棵,则下列方程组中正确的是(C) A. B. C. D.
2.数学问题与实际问题的联系 2.甲、乙两人在相距18千米的两地,若同时出发相向而行,经2小时相遇;若同时同向而行,那么乙出发后经4小时追上甲,求甲、乙两人的速度,设甲的速度为x千米/时,乙的速度为y千米/时,则可列方程组为(B) A. B. C. D.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1 和差倍分问题(抽象能力、应用意识)
【典例1】近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A,B两种光伏车棚.已知修建4个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元,修建3个A种光伏车棚和2个B种光伏车棚共需投资12万元.
(1)求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元.
(2)若该社区拟修建m个A种光伏车棚和n个B种光伏车棚,当总投资金额为17万元时,求m+n的最大值.
【自主解答】(1)设修建每个A种光伏车棚需投资x万元,每个B种光伏车棚需投资y万元,根据题意,得,
解得.
答:修建每个A种光伏车棚需投资2万元,每个B种光伏车棚需投资3万元;
(2)根据题意得2m+3n=17,∴n=.
又∵m,n均为正整数,
∴或或,
∴m+n=6或7或8,∴m+n的最大值为8.
答:m+n的最大值为8.
【举一反三】
1.某校运动员分组训练,若每组7人,余3人;若每组8人,则缺5人,设运动员人数为x,组数为y,则列方程组为(C)
A. B.
C. D.
2.某学校为了增强学生体质,决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材,已知购买2根跳绳和5个毽子共需34元,购买4根跳绳和3个毽子共需40元,求购买1根跳绳和1个毽子分别需要多少元
【解析】设购买1根跳绳和1个毽子分别需要x元和y元,
根据题意得,
解得.
答:购买1根跳绳和1个毽子分别需要7元和4元.
【技法点拨】
和、差、倍、分间的关系
(1)较大量=较小量+剩余量;
(2)总量=各分量之和;
(3)总量=分量×倍数.
特别提醒
解答此类问题,要注意抓住题目中反映数量关系的关键词,如:和、差、倍、几分之几、比、大、小、增加、减少等,将这些关键词转化为相应的运算.
重点2 行程问题(模型观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P105T2补充)甲、乙两人练习跑步,如果乙先跑10米,则甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒,则甲跑4秒就可追上乙.
(1)求甲、乙的速度.
(2)让乙先跑15米,甲至少多少秒后可以追上乙
【自主解答】(1)设甲的速度为x米/秒,乙的速度为y米/秒,
依题意有 解得
答:甲的速度为6米/秒,乙的速度为4米/秒.
(2)设甲z秒后可以追上乙,
则6z=15+4z,解得z=7.5,
答:让乙先跑15米,甲至少7.5秒后可以追上乙.
【举一反三】
1.某快递公司要在规定的时间内把邮件从甲地送往乙地,快递车若以50千米/小时的速度行驶,会迟到24分钟;若以75千米/小时的速度行驶,可提前24分钟.则甲,乙两地的距离为　120千米　.
2.A地至B地的航线长9 360 km,一架飞机从A地顺风飞往B地需12 h,它逆风飞行同样的航线要13 h,求飞机无风时的平均速度.
【解析】设飞机无风时的平均速度为x km/h,风速为y km/h,
由题意得,,
解得.
答:飞机无风时的平均速度为750 km/h.
【技法点拨】
1.基本等量关系:(1)路程=速度×时间;
(2)总路程=分路程的和.
2.相遇问题:总路程=甲走的路程+乙走的路程.
3.追及问题:(1)速度差×追及时间=路程差;
(2)路程差÷速度差=追及时间;
(3)速度差=路程差÷追及时间.
4.环形问题:(1)同向:速度差×追及时间=环长;
(2)背向:环长=速度和×相遇时间.
重点3 数字问题(模型观念、应用意识)
【典例3】一个两位数,个位数字与十位数字的和为7,如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9,求原来的两位数.
【自主解答】设十位数字为x,个位数字为y,
根据题意,得,
解得,
∴原来的两位数为34.
【举一反三】
小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如表:
时刻 12:00 13:00 14:30
里程碑上的数 是一个两位数,数字之和为6 十位与个位数字与12:00所看到的正好颠倒了 比12:00看到的两位数中间多了个0
则12:00看到的两位数是多少
【解析】设小明12:00看到的两位数,十位数为x,个位数为y,即为10x+y;
则13:00看到的两位数为x+10y,12:00~13:00行驶的里程数为(10y+x)-(10x+y);
则14:30看到的数为100x+y,13:00~14:30行驶的里程数为(100x+y)-(10y+x);
由题意列方程组,得,
解得,所以12:00看到的两位数是15.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·模型观念、应用意识)小张家在小王家西边100米,他们同时从各自家里出发,前往小张家西边的博物馆.设小张每分钟走x米,小王每分钟走y米,如果出发10分钟后两人同时到达了博物馆,并且小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米,则可列方程组(A)
A. B.
C. D.
2.(4分·模型观念、应用意识)一行人去住店,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有空客房x间,这一行人共有y人,下列方程组中正确的是(B)
A. B.
C. D.
3.(4分·应用意识)学校的篮球数比排球数的2倍少3个,篮球数与排球数的比是3∶2,求两种球各有多少个 若设篮球有x个,排球有y个,根据题意列方程组为 　.
4.(8分·应用意识)我市为了打造湿地公园,今年计划改造一片绿化地种植A,B两种景观树.种植3棵A种、4棵B种景观树需要1 800元,种植4棵A种、3棵B种景观树需要1 700元.种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元
【解析】设种植每棵A种景观树需要a元,种植每棵B种景观树需要b元,
根据题意得:,
解得.
答:种植每棵A种景观树需要200元,种植每棵B种景观树需要300元.10.3　实际问题与二元一次方程组
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能找出实际问题中的数量关系 抽象能力
2.能应用二元一次方程组解决实际问题 模型观念、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
【新知要点】 【对点小练】
1.列二元一次方程组解决实际问题的步骤: (1)审清题意;(2)找准等量;(3)设未知数; (4)列方程组;(5)解方程组;(6)检验答案; (7)写出答案. 1.甲、乙两人共植树20棵,已知甲植树的棵数是乙的1.5倍.设甲植树x棵,乙植树y棵,则下列方程组中正确的是( ) A. B. C. D.
2.数学问题与实际问题的联系 2.甲、乙两人在相距18千米的两地,若同时出发相向而行,经2小时相遇;若同时同向而行,那么乙出发后经4小时追上甲,求甲、乙两人的速度,设甲的速度为x千米/时,乙的速度为y千米/时,则可列方程组为( ) A. B. C. D.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1 和差倍分问题(抽象能力、应用意识)
【典例1】近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A,B两种光伏车棚.已知修建4个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元,修建3个A种光伏车棚和2个B种光伏车棚共需投资12万元.
(1)求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元.
(2)若该社区拟修建m个A种光伏车棚和n个B种光伏车棚,当总投资金额为17万元时,求m+n的最大值.
【举一反三】
1.某校运动员分组训练,若每组7人,余3人;若每组8人,则缺5人,设运动员人数为x,组数为y,则列方程组为( )
A. B.
C. D.
2.某学校为了增强学生体质,决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材,已知购买2根跳绳和5个毽子共需34元,购买4根跳绳和3个毽子共需40元,求购买1根跳绳和1个毽子分别需要多少元
【技法点拨】
和、差、倍、分间的关系
(1)较大量=较小量+剩余量;
(2)总量=各分量之和;
(3)总量=分量×倍数.
特别提醒
解答此类问题,要注意抓住题目中反映数量关系的关键词,如:和、差、倍、几分之几、比、大、小、增加、减少等,将这些关键词转化为相应的运算.
重点2 行程问题(模型观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P105T2补充)甲、乙两人练习跑步,如果乙先跑10米,则甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒,则甲跑4秒就可追上乙.
(1)求甲、乙的速度.
(2)让乙先跑15米,甲至少多少秒后可以追上乙
【举一反三】
1.某快递公司要在规定的时间内把邮件从甲地送往乙地,快递车若以50千米/小时的速度行驶,会迟到24分钟;若以75千米/小时的速度行驶,可提前24分钟.则甲,乙两地的距离为 .
2.A地至B地的航线长9 360 km,一架飞机从A地顺风飞往B地需12 h,它逆风飞行同样的航线要13 h,求飞机无风时的平均速度.
【技法点拨】
1.基本等量关系:(1)路程=速度×时间;
(2)总路程=分路程的和.
2.相遇问题:总路程=甲走的路程+乙走的路程.
3.追及问题:(1)速度差×追及时间=路程差;
(2)路程差÷速度差=追及时间;
(3)速度差=路程差÷追及时间.
4.环形问题:(1)同向:速度差×追及时间=环长;
(2)背向:环长=速度和×相遇时间.
重点3 数字问题(模型观念、应用意识)
【典例3】一个两位数,个位数字与十位数字的和为7,如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9,求原来的两位数.
【举一反三】
小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如表:
时刻 12:00 13:00 14:30
里程碑上的数 是一个两位数,数字之和为6 十位与个位数字与12:00所看到的正好颠倒了 比12:00看到的两位数中间多了个0
则12:00看到的两位数是多少
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·模型观念、应用意识)小张家在小王家西边100米,他们同时从各自家里出发,前往小张家西边的博物馆.设小张每分钟走x米,小王每分钟走y米,如果出发10分钟后两人同时到达了博物馆,并且小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米,则可列方程组( )
A. B.
C. D.
2.(4分·模型观念、应用意识)一行人去住店,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有空客房x间,这一行人共有y人,下列方程组中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.(4分·应用意识)学校的篮球数比排球数的2倍少3个,篮球数与排球数的比是3∶2,求两种球各有多少个 若设篮球有x个,排球有y个,根据题意列方程组为 .
4.(8分·应用意识)我市为了打造湿地公园,今年计划改造一片绿化地种植A,B两种景观树.种植3棵A种、4棵B种景观树需要1 800元,种植4棵A种、3棵B种景观树需要1 700元.种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元 10.3　实际问题与二元一次方程组
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能找出销售、配套等问题中的数量关系 抽象能力
2.熟练应用二元一次方程组解决实际问题 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
【新知要点】 【对点小练】
1.销售问题中的数量关系: ①利润=　售价　-　进价　; ②售价=原价(标价)×; ③利润率= 　×100%= 　×100%. 1.为处理甲、乙两种积压服装,商场决定打折销售,已知甲、乙两种服装的原单价共为880元,现将甲服装打八折,乙服装打七五折,结果两种服装的单价共为684元,则甲、乙两种服装的原单价分别是(B) A.400元、480元　 B.480元、400元 C.560元、320元　 D.320元、560元
2.其他问题中的数量关系: 面积问题:①长方形的面积=　长×宽　; ②正方形的面积=　边长　×　边长　; ③圆的面积=(半径长)2×π. 工程问题:工作量=工作时间×　工作效率　. 2.如图是两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形,已知AB=5, CD=3,则此图形的面积为(B) A.6　 B.8　 C.10　 D.12
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二元一次方程组解决销售问题(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P105T6补充)某服装店用5 700元购进A,B两种新款服装,按标价售出后可获得毛利润3 600元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价、标价如表所示:
项目 A款 B款
进价(元/件) 60 100
标价(元/件) 100 160
(1)求这两款服装各购进的件数.
(2)如果A款服装按标价的九折出售,B款服装按标价的八折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元
【自主解答】(1)设A,B两款服装分别购进x件,y件,依题意列方程组得:
解得
答:A款服装购进45件,B款服装购进30件.
(2)由题意,得3 600-45×(100×0.9-60)-30×(160×0.8-100)=1 410(元).
答:如果A款服装按标价的九折出售,B款服装按标价的八折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入1 410元.
【举一反三】
1.打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多,商家打折促销,A商品打八折,B商品打九折,此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元,则打折前A商品和B商品每件的价格分别为(C)
A.75元、100元　 B.120元、160元
C.150元、200元　 D.180元、240元
2.五一期间,时代商场开展打折促销活动,某商品如果按原售价的八折出售,将盈利20元,而按原售价的六折出售,将亏损60元,则该商品的原售价为　400元　.
【技法点拨】
商品销售问题中的模型构建
1.商品利润=商品售价-商品进价
2.商品利润率=×100%
3.商品售价=商品标价×折扣=进价×(1+利润率)
4.单价×数量=总价
重点2 二元一次方程组解决配套及其他问题(应用意识、模型观念)
【典例2】某网店用24 000元的资金购进A,B两种玩具共700件,准备在“双十一”期间销售,A,B两种玩具的进价分别为60元、15元.
(1)网店本次购进A,B两种玩具的数量分别是多少
(2)该网店的A种玩具在“双十一”期间销售火爆,商家决定向厂家再次购进A种玩具,厂家接到定单后,马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具.一个A种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的,每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个,那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件,才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套
【自主解答】(1)设购进A种玩具的数量为x件,购进B种玩具的数量是y件,根据题意得:,解得,所以购进A种玩具300件,购进B种玩具400件;
(2)设加工甲种配件的有m人,加工乙种配件的有n人,
根据题意得,解得,
答:需要安排20名工人加工甲种配件,48名工人加工乙种配件,才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套.
【举一反三】
为了增强学生的安全防范意识,某校举行了一次安全知识抢答赛,抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一个得5分,每答错或不答一个扣1分.小红一共得到70分,则小红答对的题的个数为　15　.
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·应用意识)某车间有49名工人,每人每天能生产螺栓12个或螺母18个,设有x名工人生产螺栓,y名工人生产螺母,每天生产的螺栓和螺母恰好按1∶2配套,列方程组正确的是(A)
A.　 B.
C.　 D.
2.(4分·模型观念、应用意识)某商场新购进一种服装,每套售价1 000元,若将裤子降价10%,上衣涨价5%,调价后这套服装的单价比原来提高了2%,则调价前上衣的单价是(D)
A.200元　 B.480元
C.600元　 D.800元
3.(8分·应用意识)实验室需要一批无盖的长方体模型,一张大纸板可以做成长方体的侧面30个或长方体的底面25个,每个无盖的长方体由4个侧面和1个底面做成.现有26张大纸板,则用多少张做侧面,多少张做底面才能使之刚好配套
【解析】设用x张做侧面,y张做底面才可以使之刚好配套,没有剩余,根据题意得:,解得.
答:用20张做侧面,6张做底面才可以使之刚好配套,没有剩余.10.3　实际问题与二元一次方程组
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能找出销售、配套等问题中的数量关系 抽象能力
2.熟练应用二元一次方程组解决实际问题 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
【新知要点】 【对点小练】
1.销售问题中的数量关系: ①利润= - ; ②售价=原价(标价)×; ③利润率= ×100% = ×100%. 1.为处理甲、乙两种积压服装,商场决定打折销售,已知甲、乙两种服装的原单价共为880元,现将甲服装打八折,乙服装打七五折,结果两种服装的单价共为684元,则甲、乙两种服装的原单价分别是( ) A.400元、480元　 B.480元、400元 C.560元、320元　 D.320元、560元
2.其他问题中的数量关系: 面积问题:①长方形的面积= ; ②正方形的面积= × ; ③圆的面积=(半径长)2×π. 工程问题:工作量=工作时间× . 2.如图是两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形,已知AB=5, CD=3,则此图形的面积为( ) A.6　 B.8　 C.10　 D.12
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二元一次方程组解决销售问题(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P105T6补充)某服装店用5 700元购进A,B两种新款服装,按标价售出后可获得毛利润3 600元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价、标价如表所示:
项目 A款 B款
进价(元/件) 60 100
标价(元/件) 100 160
(1)求这两款服装各购进的件数.
(2)如果A款服装按标价的九折出售,B款服装按标价的八折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元
【举一反三】
1.打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多,商家打折促销,A商品打八折,B商品打九折,此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元,则打折前A商品和B商品每件的价格分别为( )
A.75元、100元　 B.120元、160元
C.150元、200元　 D.180元、240元
2.五一期间,时代商场开展打折促销活动,某商品如果按原售价的八折出售,将盈利20元,而按原售价的六折出售,将亏损60元,则该商品的原售价为 .
【技法点拨】
商品销售问题中的模型构建
1.商品利润=商品售价-商品进价
2.商品利润率=×100%
3.商品售价=商品标价×折扣=进价×(1+利润率)
4.单价×数量=总价
重点2 二元一次方程组解决配套及其他问题(应用意识、模型观念)
【典例2】某网店用24 000元的资金购进A,B两种玩具共700件,准备在“双十一”期间销售,A,B两种玩具的进价分别为60元、15元.
(1)网店本次购进A,B两种玩具的数量分别是多少
(2)该网店的A种玩具在“双十一”期间销售火爆,商家决定向厂家再次购进A种玩具,厂家接到定单后,马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具.一个A种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的,每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个,那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件,才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套
【举一反三】
为了增强学生的安全防范意识,某校举行了一次安全知识抢答赛,抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一个得5分,每答错或不答一个扣1分.小红一共得到70分,则小红答对的题的个数为 .
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·应用意识)某车间有49名工人,每人每天能生产螺栓12个或螺母18个,设有x名工人生产螺栓,y名工人生产螺母,每天生产的螺栓和螺母恰好按1∶2配套,列方程组正确的是( )
A.　 B.
C.　 D.
2.(4分·模型观念、应用意识)某商场新购进一种服装,每套售价1 000元,若将裤子降价10%,上衣涨价5%,调价后这套服装的单价比原来提高了2%,则调价前上衣的单价是( )
A.200元　 B.480元
C.600元　 D.800元
3.(8分·应用意识)实验室需要一批无盖的长方体模型,一张大纸板可以做成长方体的侧面30个或长方体的底面25个,每个无盖的长方体由4个侧面和1个底面做成.现有26张大纸板,则用多少张做侧面,多少张做底面才能使之刚好配套

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