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广西玉林市玉州区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2024八上·玉州期末）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，B，C中的图形都不能找到某条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分互相重台，所以不是轴对称图形，A、B、C不符合题意；
D、左右对折后可以互相重合，所以是轴对称图形，折线所在直线就是对称轴，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可.
2．（2024八上·玉州期末）下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、∵三角形具有稳定性，∴A符合题意；
B、∵平行四边形不具有稳定性，∴B不符合题意；
C、∵长方形不具有稳定性，∴C不符合题意；
D、∵正方形不具有稳定性，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
3．（2024八上·玉州期末）在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据高线的概念可得：选项C中AD为边BC上的高.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，据此判断.
4．（2024八上·玉州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵x3 x2＝x5，∴A不符合题意；
A、∵x12÷x4＝x8，∴B符合题意；
C、∵（x3）3＝x9，∴C不符合题意；
D、∵（ x3y2）2＝x6y4，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2024八上·玉州期末）若一个三角形的两条边的长为3和5，那么第三边的长可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
根据三角形三边关系可得：5 3＜x＜5＋3，
∴2＜x＜8．
∴第三边的长可能是3，
故答案为：C．
【分析】设第三边长为x，利用三角形三边的关系求出2＜x＜8，再求解即可.
6．（2024八上·玉州期末）若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使分式有意义，
∴x 3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：B．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
7．（2024八上·玉州期末）如图，在中，，是的平分线，于点E.若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC CD＝5 2＝3，
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质求出DE＝CD＝2，再利用线段的和差求出AD的长即可.
8．（2024八上·玉州期末）边长为a和（其中：）的两个正方形按如图的样子摆放，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据图形可得，阴影部分的面积为：（a＋b）2＋a2 （a＋b＋a）（a＋b）
＝a2＋2ab＋b2＋a2 （2a＋b）（a＋b）
＝a2＋2ab＋b2＋a2 （2a2＋2ab＋ab＋b2）
＝a2＋2ab＋b2＋a2 a2 ab b2
＝a2＋ab＋b2，
故答案为：C．
【分析】利用正方形的面积及三角形的面积公式和割补法求出阴影部分的面积，再利用整式的混合运算的计算方法化简即可.
9．（2024八上·玉州期末）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝(180° 120°)×＝30°，
∵AD⊥AB交BC于点D，AD＝6，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC ∠BAD＝120° 90°＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DC＝AD＝6，
在Rt△BAD中，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝2×6＝12，
∴BC＝BD＋DC＝12＋6＝18．
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和及角的运算求出∠C的度数，再求出∠DAC＝∠C＝30°，可得DC＝AD＝6，再结合∠B＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
10．（2024八上·玉州期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（　　）
A．30km B．36km C．40km D．46km
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，
根据题意可得：，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，
∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km，
故答案为：B．
【分析】设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，根据“乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的”列出方程，再求解即可.
11．（2024八上·玉州期末）如图，在中，平分，平分，点O是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接CO并延长至D，如图所示：
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA＋∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝α，
∴∠OCA＋∠OCB=，
∴∠ACB＝，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠IAB＋∠IBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝（180° ∠ACB）＝90° ，
∴∠AIB＝180° （∠IAB＋∠IBA）＝90°＋，
故答案为：C．
【分析】连接CO并延长至D，先利用三角形外角的性质求出∠AOD＝∠OCA＋∠OAC＝2∠OCA，∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝α，再利用角平分线的定义求出∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，最后利用角的运算和等量代换求出∠AIB＝180° （∠IAB＋∠IBA）＝90°＋即可.
12．（2024八上·玉州期末）如图，点A是x轴上一个定点，点B是y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列结论：①；②；③随点B的移动，线段的值逐渐增大；④直线与x轴所夹的锐角恒为60°.其中正确结论是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵△OBD和△ABC是等边三角形，
∴OB＝BD，AB＝BC，∠OBD＝∠ABC＝∠ODB＝60°，
∴∠OBD ∠ABD＝∠ABC ∠ABD，
∴∠ABO＝∠CBD，
∴△BOA≌△BDC（SAS），
故①符合题意；
∵△BOA≌△BDC（SAS），
∴∠CDB＝∠AOB＝90°，
∴∠ODC＝90°＋60°＝150°，
故②符合题意；
∵△BOA≌△BDC（SAS），
∴CD＝OA，
∵点A是x轴上一个定点，
∴OA的长是定值，
∴CD的长是定值，
故③不符合题意；
延长CD交OA于M，如图所示：
∵∠ODM＝180° ∠ODC＝30°，∠MPD＝90° ∠BOD＝30°，
∴∠CMA＝∠ODM＋∠MOD＝60°，
∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°，
故④符合题意，
∴其中正确结论是①②④．
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证出△BOA≌△BDC，再利用全等三角形的性质及角的运算判断①、②和③，再延长CD交OA于M，可得∠ODM＝180° ∠ODC＝30°，∠MPD＝90° ∠BOD＝30°，再利用角的运算和等量代换判断④即可.
13．（2024八上·玉州期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：
【分析】根据单项式乘多项式即可求出答案.
14．（2024八上·玉州期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000051=，
故答案为：.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
15．（2024八上·玉州期末）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是　 　.
【答案】八边形
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n 2） 180°＝3×360°，
解得：n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【分析】设多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式及外角和列出方程（n 2） 180°＝3×360°，再求解即可.
16．（2024八上·玉州期末）若分式的值为0，则x的值为　 　.
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2 4＝0且x＋2≠0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
17．（2024八上·玉州期末）平面直角坐标系中有点、，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是　 　.
【答案】或
【知识点】点的坐标；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=，
∵以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，
可得：AC＝5或BC＝5，
①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，
过点C1作y轴的垂线段，交y轴于点E，
∴∠EAC1＋∠BAO＝90°，
∵C1E⊥EA，
∴∠EAC1＋∠EC1A＝90°，
∴∠BAO＝∠AC1E，
在△C1EA和△AOB中，
，
∴△C1EA≌△AOB（AAS），
∴EC1＝AO＝6，EA＝OB＝8，
∴EO＝EA＋AO＝14，
∴C1（6，14）；
②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，
同（1）中得△AOB≌△BDC2（AAS），
∴BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，
∴OD＝OB＋BD＝14，
∴C2（14，8），
综上所述，点C的坐标是（6，14）或（14，8），
故答案为：（6，14）或（14，8）．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再分类讨论：①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，再利用全等三角形的判定方法和性质求出BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，再分别求出ED和OD的长，即可得到点C的坐标.
18．（2024八上·玉州期末）在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为　 　.
【答案】12
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，延长BC到点T，使得CT＝CB，连接AT，
∵AC⊥BT，CB＝CT，
∴AB＝AT，
∴∠BAC＝∠TAC＝30°，
∴∠BAT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵∠EAD＝∠BAT＝60°，
∴∠BAD＝∠EAT，
在△BAD和△TAE中，
，
∴△BAD≌△TAE（SAS），
∴BD＝ET，
∵BC＝CT＝8，EC＝EB＝4，
∴ET＝12，
∴BD＝ET＝12，
故答案为：12．
【分析】延长BC到点T，使得CT＝CB，连接AT，先利用“SAS”证出△BAD≌△TAE，可得BD＝ET，再结合BC＝CT＝8，EC＝EB＝4，利用线段的和差及等量代换求出BD＝ET＝12即可.
19．（2024八上·玉州期末） 计算：
【答案】解：
；
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加）和完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）展开，再合并同类项即可.
20．（2024八上·玉州期末） 先化简，再求值：，（其中）.
【答案】解：原式
，
当时，
原式
.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
21．（2024八上·玉州期末） 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，，.
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）直接写出点，，的坐标；
（3）请在图中的x轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：点，，；
（3）解：如图，点P即为所求，点P的坐标.
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可；
（3）先作出点A关于x轴的对称点A‘，再连接A'B与x轴的交点即是点P.
22．（2024八上·玉州期末）如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：.
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵在和中
∴
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得．
23．（2024八上·玉州期末） 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费5280元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车每趟运费少200元.
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算
【答案】（1）解：设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，
根据题意得出：，
解得：，
经检验得出：是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）解：设甲车每一趟的运费是a元，
根据题意得：，
解得：，
则乙车每一趟的费用是：（元），
单独租用甲车总费用是：（元），
单独租用乙车总费用是：（元），
4320＜5760，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据“租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成”列出方程，再求解即可；
（2）设甲车每一趟的运费是a元，根据“需支付运费5280元”列出方程，再求解即可.
24．（2024八上·玉州期末） 如图，在中，小明按以下步骤进行尺规作图：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；②作直线交于点D，交于点E，连接.
（1）按上述步骤完成小明的作图；
（2）若，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若，，求的面积.
【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）解：由（1）知为线段的垂直平分线，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴.
（3）解：由（2）知，，，．
∵，，，
∴，，，
∴，
∴三角形的面积== .
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作出线段AB的垂直平分线，交BC于点E，再连接AE即可；
（2）先证出，可得，，再求出，，最后利用角的运算求出即可；
（3）先求出，，，再求出，最后利用三角形的面积公式求出三角形的面积== 即可.
25．（2024八上·玉州期末） 阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明.
（1）仿照上面的方法，证明：
（2）分解因式：
（3）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵
，
∴，
∴，
∴的形状是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；因式分解-分组分解法；配方法的应用；整体思想
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法将等式的左边进行变形计算即可；
（2）将原式变形为，再利用因式分解求解即可；
（3）先将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质可得，即可得到的形状是等边三角形．
26．（2024八上·玉州期末） 如图，在中，点D为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰，，.
（1）特例探究：如图1，如果，.当点D在线段上时，求证：且；
（2）探究证明：如图2，如果，条件不变.当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，若是锐角三角形，，当点D在线段上运动时，判断线段与的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，，
∴
∴，．
∵，
∴，即．
∴，；
（2）解：当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立．
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：．
理由：过点A作交于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的概念
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算求出，即，从而得证；
（2）先利用“SAS”证出，可得，，再用角的运算求出，即可得到；
（3）过点A作交于点G，先利用“SAS”证出，可得，再利用角的运算求出，即可得到．
1 / 1广西玉林市玉州区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2024八上·玉州期末）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·玉州期末）下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
3．（2024八上·玉州期末）在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·玉州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·玉州期末）若一个三角形的两条边的长为3和5，那么第三边的长可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
6．（2024八上·玉州期末）若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·玉州期末）如图，在中，，是的平分线，于点E.若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024八上·玉州期末）边长为a和（其中：）的两个正方形按如图的样子摆放，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·玉州期末）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
10．（2024八上·玉州期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（　　）
A．30km B．36km C．40km D．46km
11．（2024八上·玉州期末）如图，在中，平分，平分，点O是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八上·玉州期末）如图，点A是x轴上一个定点，点B是y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列结论：①；②；③随点B的移动，线段的值逐渐增大；④直线与x轴所夹的锐角恒为60°.其中正确结论是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
13．（2024八上·玉州期末）计算：　 　．
14．（2024八上·玉州期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为　 　.
15．（2024八上·玉州期末）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是　 　.
16．（2024八上·玉州期末）若分式的值为0，则x的值为　 　.
17．（2024八上·玉州期末）平面直角坐标系中有点、，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是　 　.
18．（2024八上·玉州期末）在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为　 　.
19．（2024八上·玉州期末） 计算：
20．（2024八上·玉州期末） 先化简，再求值：，（其中）.
21．（2024八上·玉州期末） 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，，.
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）直接写出点，，的坐标；
（3）请在图中的x轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标.
22．（2024八上·玉州期末）如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：.
23．（2024八上·玉州期末） 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费5280元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车每趟运费少200元.
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算
24．（2024八上·玉州期末） 如图，在中，小明按以下步骤进行尺规作图：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；②作直线交于点D，交于点E，连接.
（1）按上述步骤完成小明的作图；
（2）若，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若，，求的面积.
25．（2024八上·玉州期末） 阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明.
（1）仿照上面的方法，证明：
（2）分解因式：
（3）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由.
26．（2024八上·玉州期末） 如图，在中，点D为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰，，.
（1）特例探究：如图1，如果，.当点D在线段上时，求证：且；
（2）探究证明：如图2，如果，条件不变.当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，若是锐角三角形，，当点D在线段上运动时，判断线段与的位置关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，B，C中的图形都不能找到某条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分互相重台，所以不是轴对称图形，A、B、C不符合题意；
D、左右对折后可以互相重合，所以是轴对称图形，折线所在直线就是对称轴，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、∵三角形具有稳定性，∴A符合题意；
B、∵平行四边形不具有稳定性，∴B不符合题意；
C、∵长方形不具有稳定性，∴C不符合题意；
D、∵正方形不具有稳定性，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据高线的概念可得：选项C中AD为边BC上的高.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵x3 x2＝x5，∴A不符合题意；
A、∵x12÷x4＝x8，∴B符合题意；
C、∵（x3）3＝x9，∴C不符合题意；
D、∵（ x3y2）2＝x6y4，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
根据三角形三边关系可得：5 3＜x＜5＋3，
∴2＜x＜8．
∴第三边的长可能是3，
故答案为：C．
【分析】设第三边长为x，利用三角形三边的关系求出2＜x＜8，再求解即可.
6．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使分式有意义，
∴x 3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：B．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC CD＝5 2＝3，
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质求出DE＝CD＝2，再利用线段的和差求出AD的长即可.
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据图形可得，阴影部分的面积为：（a＋b）2＋a2 （a＋b＋a）（a＋b）
＝a2＋2ab＋b2＋a2 （2a＋b）（a＋b）
＝a2＋2ab＋b2＋a2 （2a2＋2ab＋ab＋b2）
＝a2＋2ab＋b2＋a2 a2 ab b2
＝a2＋ab＋b2，
故答案为：C．
【分析】利用正方形的面积及三角形的面积公式和割补法求出阴影部分的面积，再利用整式的混合运算的计算方法化简即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝(180° 120°)×＝30°，
∵AD⊥AB交BC于点D，AD＝6，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC ∠BAD＝120° 90°＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DC＝AD＝6，
在Rt△BAD中，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝2×6＝12，
∴BC＝BD＋DC＝12＋6＝18．
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和及角的运算求出∠C的度数，再求出∠DAC＝∠C＝30°，可得DC＝AD＝6，再结合∠B＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
10．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，
根据题意可得：，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，
∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km，
故答案为：B．
【分析】设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，根据“乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的”列出方程，再求解即可.
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接CO并延长至D，如图所示：
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA＋∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝α，
∴∠OCA＋∠OCB=，
∴∠ACB＝，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠IAB＋∠IBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝（180° ∠ACB）＝90° ，
∴∠AIB＝180° （∠IAB＋∠IBA）＝90°＋，
故答案为：C．
【分析】连接CO并延长至D，先利用三角形外角的性质求出∠AOD＝∠OCA＋∠OAC＝2∠OCA，∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝α，再利用角平分线的定义求出∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，最后利用角的运算和等量代换求出∠AIB＝180° （∠IAB＋∠IBA）＝90°＋即可.
12．【答案】A
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵△OBD和△ABC是等边三角形，
∴OB＝BD，AB＝BC，∠OBD＝∠ABC＝∠ODB＝60°，
∴∠OBD ∠ABD＝∠ABC ∠ABD，
∴∠ABO＝∠CBD，
∴△BOA≌△BDC（SAS），
故①符合题意；
∵△BOA≌△BDC（SAS），
∴∠CDB＝∠AOB＝90°，
∴∠ODC＝90°＋60°＝150°，
故②符合题意；
∵△BOA≌△BDC（SAS），
∴CD＝OA，
∵点A是x轴上一个定点，
∴OA的长是定值，
∴CD的长是定值，
故③不符合题意；
延长CD交OA于M，如图所示：
∵∠ODM＝180° ∠ODC＝30°，∠MPD＝90° ∠BOD＝30°，
∴∠CMA＝∠ODM＋∠MOD＝60°，
∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°，
故④符合题意，
∴其中正确结论是①②④．
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证出△BOA≌△BDC，再利用全等三角形的性质及角的运算判断①、②和③，再延长CD交OA于M，可得∠ODM＝180° ∠ODC＝30°，∠MPD＝90° ∠BOD＝30°，再利用角的运算和等量代换判断④即可.
13．【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：
【分析】根据单项式乘多项式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000051=，
故答案为：.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
15．【答案】八边形
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n 2） 180°＝3×360°，
解得：n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【分析】设多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式及外角和列出方程（n 2） 180°＝3×360°，再求解即可.
16．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2 4＝0且x＋2≠0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
17．【答案】或
【知识点】点的坐标；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=，
∵以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，
可得：AC＝5或BC＝5，
①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，
过点C1作y轴的垂线段，交y轴于点E，
∴∠EAC1＋∠BAO＝90°，
∵C1E⊥EA，
∴∠EAC1＋∠EC1A＝90°，
∴∠BAO＝∠AC1E，
在△C1EA和△AOB中，
，
∴△C1EA≌△AOB（AAS），
∴EC1＝AO＝6，EA＝OB＝8，
∴EO＝EA＋AO＝14，
∴C1（6，14）；
②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，
同（1）中得△AOB≌△BDC2（AAS），
∴BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，
∴OD＝OB＋BD＝14，
∴C2（14，8），
综上所述，点C的坐标是（6，14）或（14，8），
故答案为：（6，14）或（14，8）．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再分类讨论：①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，再利用全等三角形的判定方法和性质求出BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，再分别求出ED和OD的长，即可得到点C的坐标.
18．【答案】12
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，延长BC到点T，使得CT＝CB，连接AT，
∵AC⊥BT，CB＝CT，
∴AB＝AT，
∴∠BAC＝∠TAC＝30°，
∴∠BAT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵∠EAD＝∠BAT＝60°，
∴∠BAD＝∠EAT，
在△BAD和△TAE中，
，
∴△BAD≌△TAE（SAS），
∴BD＝ET，
∵BC＝CT＝8，EC＝EB＝4，
∴ET＝12，
∴BD＝ET＝12，
故答案为：12．
【分析】延长BC到点T，使得CT＝CB，连接AT，先利用“SAS”证出△BAD≌△TAE，可得BD＝ET，再结合BC＝CT＝8，EC＝EB＝4，利用线段的和差及等量代换求出BD＝ET＝12即可.
19．【答案】解：
；
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加）和完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）展开，再合并同类项即可.
20．【答案】解：原式
，
当时，
原式
.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：点，，；
（3）解：如图，点P即为所求，点P的坐标.
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可；
（3）先作出点A关于x轴的对称点A‘，再连接A'B与x轴的交点即是点P.
22．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵在和中
∴
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得．
23．【答案】（1）解：设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，
根据题意得出：，
解得：，
经检验得出：是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）解：设甲车每一趟的运费是a元，
根据题意得：，
解得：，
则乙车每一趟的费用是：（元），
单独租用甲车总费用是：（元），
单独租用乙车总费用是：（元），
4320＜5760，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据“租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成”列出方程，再求解即可；
（2）设甲车每一趟的运费是a元，根据“需支付运费5280元”列出方程，再求解即可.
24．【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）解：由（1）知为线段的垂直平分线，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴.
（3）解：由（2）知，，，．
∵，，，
∴，，，
∴，
∴三角形的面积== .
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作出线段AB的垂直平分线，交BC于点E，再连接AE即可；
（2）先证出，可得，，再求出，，最后利用角的运算求出即可；
（3）先求出，，，再求出，最后利用三角形的面积公式求出三角形的面积== 即可.
25．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵
，
∴，
∴，
∴的形状是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；因式分解-分组分解法；配方法的应用；整体思想
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法将等式的左边进行变形计算即可；
（2）将原式变形为，再利用因式分解求解即可；
（3）先将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质可得，即可得到的形状是等边三角形．
26．【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，，
∴
∴，．
∵，
∴，即．
∴，；
（2）解：当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立．
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：．
理由：过点A作交于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的概念
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算求出，即，从而得证；
（2）先利用“SAS”证出，可得，，再用角的运算求出，即可得到；
（3）过点A作交于点G，先利用“SAS”证出，可得，再利用角的运算求出，即可得到．
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