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4　解直角三角形
课时学习目标 素养目标达成
1.了解解直角三角形的概念. 模型观念、几何直观
2.能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形. 模型观念、运算能力、几何直观
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,解直角三角形的过程如下: 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,∠A=α,那么BC的长是( ) A.5tan α B. C.5sin α D.5cos α 2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则cos A的值是( ) A. B. C. D. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则∠B= ,∠A= ,AB= .
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1已知两边解直角三角形(模型观念、运算能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P17习题T1变式)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素.
(1)b=,a=;
(2)a=b,c=2.
【举一反三】
(2024·怀化期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,点D在BC上,且BD=AD.
(1)求AB的长;
(2)求cos∠ADC的值.
【技法点拨】
解直角三角形数据的选择原则
原则一:已知两直角边时利用正切计算角的度数;已知一直角边和斜边时利用正弦或余弦计算角的度数;
原则二:解直角三角形的途径不唯一,计算过程中尽量选取原始数据,而不选取间接数据.
重点2已知一边一锐角解直角三角形(模型观念、运算能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P17习题T2变式)在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,根据下列条件解直角三角形:
(1)∠B=60°,a=3;
(2)∠A=2∠B,c-b=8.
【举一反三】
(2023·西宁中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=42°,则BC的长约为 .(结果精确到0.1.参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
素养当堂测评　　(10分钟·20分) 全解全析P172
1.(4分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=65°,AB=4,则AC的长为( )
A.4sin 65° B. C.4cos 65° D.4tan 65°
2.(4分·运算能力、几何直观)在△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=60°,BC=6,则AC=( )
A.3 B.4 C.5 D.12
3.(4分·模型观念、运算能力、几何直观)已知△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=6,那么AB的长是 .
4.(8分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°.根据下列条件解直角三角形.
(1)a=36,∠B=30°;
(2)a=19,c=19.4　解直角三角形
课时学习目标 素养目标达成
1.了解解直角三角形的概念. 模型观念、几何直观
2.能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形. 模型观念、运算能力、几何直观
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,解直角三角形的过程如下: 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,∠A=α,那么BC的长是(A) A.5tan α B. C.5sin α D.5cos α 2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则cos A的值是(B) A. B. C. D. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则∠B=　30°　,∠A=　60°　,AB=　2　.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1已知两边解直角三角形(模型观念、运算能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P17习题T1变式)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素.
(1)b=,a=;
(2)a=b,c=2.
【自主解答】(1)∵tan A===,∴∠A=60°.∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°.
∴c=2b=2.∴∠A=60°,∠B=30°,c=2.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=b,c=2,∴a=b=2,∴tan A==1,∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°,
∴a=b=2,∠A=45°,∠B=45°.
【举一反三】
(2024·怀化期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,点D在BC上,且BD=AD.
(1)求AB的长;
(2)求cos∠ADC的值.
【解析】(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,∴=tan B=,
解得AC=4,
在Rt△ABC中,AB===4;
(2)设CD=x,则AD=BD=8-x,
在Rt△ACD中,根据勾股定理得:AD2=CD2+AC2,
即(8-x)2=x2+16,
解得x=3,∴CD=3,AD=5,
则cos∠ADC==.
【技法点拨】
解直角三角形数据的选择原则
原则一:已知两直角边时利用正切计算角的度数;已知一直角边和斜边时利用正弦或余弦计算角的度数;
原则二:解直角三角形的途径不唯一,计算过程中尽量选取原始数据,而不选取间接数据.
重点2已知一边一锐角解直角三角形(模型观念、运算能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P17习题T2变式)在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,根据下列条件解直角三角形:
(1)∠B=60°,a=3;
(2)∠A=2∠B,c-b=8.
【解析】(1)∵∠B=60°,
∴∠A=90°-∠B=30°.
又∵a=3,
∴c=2a=6.
∴b===9;
(2)∵∠A=2∠B,∠A+∠B=90°,
∴∠B=30°,∠A=60°.∴c=2b.
∵c-b=8,∴b=8.
∴c=16.
∴a===8.
【举一反三】
(2023·西宁中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=42°,则BC的长约为 　8.0　.(结果精确到0.1.参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
素养当堂测评　　(10分钟·20分) 全解全析P172
1.(4分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=65°,AB=4,则AC的长为(A)
A.4sin 65° B. C.4cos 65° D.4tan 65°
2.(4分·运算能力、几何直观)在△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=60°,BC=6,则AC=(A)
A.3 B.4 C.5 D.12
3.(4分·模型观念、运算能力、几何直观)已知△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=6,那么AB的长是　10　.
4.(8分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°.根据下列条件解直角三角形.
(1)a=36,∠B=30°;
(2)a=19,c=19.
【解析】(1)∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠A=90°-∠B=60°,
∵a=36,
∴b=a·tan 30°=36×=12,
∴c=2b=24,
∴∠A=60°,b=12,c=24;
(2)∵∠C=90°,a=19,c=19,
∴b===19,
∴a=b=19,
∴∠A=∠B=45°,
∴b=19,∠A=∠B=45°.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 五”

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